第5章-频率特性2

1

本节主要内容：

1、奈氏判据的数学基础

2

、奈奎斯特稳定判据

3

、对数频率稳定判据5.3频域稳定判据21932年，奈奎斯特(Nyquist)提出了另一种判定闭环系统稳定性的方法，称为奈奎斯特稳定判据，简称奈氏判据。这个判据的主要特点是利用开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，奈氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系统稳定性的方法。因此，奈氏稳定判据在频率域控制理论中有着重要的地位。5.3频域稳定判据35-3-1奈氏判据的数学基础4复变函数的相角为若s平面上闭合曲线Γ以顺时针方向包围的Z个零点，则在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周。若s平面上的闭合曲线Γ以顺时针方向围绕着的P个极点旋转一周，则其在平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向围绕坐标原点旋转P周。见下张图示。

5-3-1奈氏判据的数学基础5由此可得幅角原理：设s平面闭合曲线Γ包围的Z个零点和P个极点，则s沿Γ顺时针运动一周时，在F(s)平面上，闭合曲线ΓF包围原点的圈数为：R=P-Z

R<0和R>0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R=0表示不包围平面的原点。5-3-1奈氏判据的数学基础65-3-1奈氏判据的数学基础75-3-1奈氏判据的数学基础83、s平面闭合曲线Γ的选择

系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数极点，即F(s)的零点的位置，因此当选择s平面闭合曲线Γ包围s平面的右半平面时，若Z=0，即闭环特征根均位于左半s平面，则闭环系统稳定。考虑到前述闭合曲线Γ应不通过F(s)的零点和极点的要求，Γ

可取下图所示的两种形式。5-3-1奈氏判据的数学基础95-3-1奈氏判据的数学基础105-3-1奈氏判据的数学基础115-3-1奈氏判据的数学基础12故对应的曲线为从点起，半径为、圆心角为的圆弧，即可从点起逆时针作半径无穷大、圆心角为的圆弧，如图5-31(a)中虚线所示。当开环系统含有等幅振荡环节时，设5-3-1奈氏判据的数学基础135-3-1奈氏判据的数学基础3)当开环系统含有等幅振荡环节时，设,复145-3-1奈氏判据的数学基础155-3-1奈氏判据的数学基础16（图b）（图c）（图d）（图e）5-3-1奈氏判据的数学基础175-3-2奈奎斯特稳定判据18例5－8已知单位反馈系统开环幅相曲线如图所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围。解:如图所示，开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为，5-3-2奈奎斯特稳定判据19系统开环传函由题设条件知，和当取时若令，可得对应的K值5-3-2奈奎斯特稳定判据20对应地，分别取和时，开环幅相曲线分别如图所示，图中按补作虚圆弧得半闭合曲线。5-3-2奈奎斯特稳定判据21根据曲线计算包围次数，并判断系统闭环稳定性：闭环系统稳定；闭环系统不稳定；闭环系统稳定；闭环系统不稳定。综上可得,系统闭环稳定时的K值范围为和。当K等于和20时，穿过临界点，且在这三个值的邻域，系统闭环稳定或不稳定，因此系统闭环临界稳定。5-3-2奈奎斯特稳定判据225-3-3对数频率稳定判据235-3-3对数频率稳定判据245-3-3对数频率稳定判据255-3-3对数频率稳定判据265-3-3对数频率稳定判据27例5-10已知某系统开环稳定，开环幅相曲线如图所示，试将开环幅相曲线表示为开环对数频率特性曲线，并运用对数稳定判据判断系统的闭环稳定性。解系统开环对数频率特性曲线如图所示，然而相角具有不惟一性，图中（a）和（b）为其中的两种形式。5-3-3对数频率稳定判据28因为开环系统稳定，。由开环幅相曲线知，不需补作虚直线。5-3-3对数频率稳定判据295-3-3对数频率稳定判据305-3-3对数频率稳定判据31

通过前面例子分析可知，若开环传递函数在开右半s平面的极点数P＝0，当开环传递函数的某些系数（如开环增益）改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统，称为条件稳定系统。相应地，无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。

5-3-4条件稳定系统32

控制系统参数的变化，可能会引起系统由稳定变为不稳定。为了使控制系统能可靠地工作，不但要求它能稳定，而且还希望有足够的稳定裕量，即具有一定的相对稳定性。对于开环稳定的系统，度量其闭环系统相对稳定性的方法是通过开环频率特性曲线与点（-1，j0）的接近程度来表征。开环奈氏图离点（-1，j0）越远，稳定裕度越大。一般采用相位裕度和幅值裕度来定量地表示相对稳定性。5.4稳定裕度331．相角裕度

系统开环频率特性上幅值为1时所对应的角频率称为截止频率，记为，即

定义相位裕度为

相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后度，则系统将处于临界稳定状态。5-4-1、相角裕度和幅值裕度的概念345-4-1、相角裕度和幅值裕度的概念355-4-1、相角裕度和幅值裕度的概念180036例5－12已知单位反馈系统设K分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。解：

K=4时5-4-1、相角裕度和幅值裕度的概念37K=10时分别作出K=4和K=10的开环幅相曲线即闭合曲线，如图所示。由奈氏判据知：

K=4时，系统闭环稳定，；

K=10时，系统闭环不稳定，。

5-4-1、相角裕度和幅值裕度的概念38例

5-13单位反馈系统开环传递函数为

分别求取K1=10及K1=100时的相角裕度和幅值裕度。

解相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。

K1=10时,

转折频率ω1=1,ω2=5。20lgK=20lg2=6dB。画出对数幅频特性曲线,如图5-34所示。

39图

5-34例

5-13的伯德图(幅频特性)

4020－20dB/decK1＝1020lgK0.101K1＝100wc510w－40dB/dec－60dB/decL(w)/dBcw40

由图可知:

得截止频率。相角裕度为

当K1从10变到100时,20lgK=20lg20＝26dB,同理得：

所以K1=100时对应的截止频率为 。相角裕度为

415.5闭环系统的频域性能指标

本节主要内容：

1控制系统的频带宽度

2系统带宽的选择

3闭环系统频域指标和时域指标的转换425-5-1控制系统的频带宽度43

根据带宽定义，对高于带宽频率的正弦输入信号，系统输出将呈现较大的衰减，因此选取适当的带宽，可以抑制高频噪声的影响。但带宽过窄又会影响系统正弦输入信号的能力，降低瞬态响应的速度。因此在设计系统时，对于频率宽度的确定必须兼顾到系统的响应速度和抗高频干扰的要求。2、I型和II型系统的带宽一阶系统的闭环传函为，所以带宽频率为5-5-1控制系统的频带宽度44二阶系统的闭环传函为系统幅频特性因为，得5-5-1控制系统的频带宽度5-5-1控制系统的频带宽度

令那么所以为的减函数。设两个控制系统存在以下关系：那么45按带宽定义可得即系统1的带宽频率为系统2的带宽频率的倍。设两个系统的单位阶跃响应分别为和，按拉氏变换，有即得系统1的上升时间和过渡时间为系统2的倍，即当系统的带宽扩大倍，系统的响应速度加快倍。46系统带宽与信号频谱的关系1周期信号的频谱设为周期函数，其周期为，若在区间内有界，且仅有有限个极值，即满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数其中复系数的集合为周期信号的频谱。47系统带宽与信号频谱的关系2非周期函数的频谱非周期函数可以看做是周期的周期函数。若为绝对可积函数，则可以表示为

和构成傅氏变换对，而表示的谐波的分布特性，也称为频谱。与周期信号不同，非周期信号的频谱为连续谱。48495-5-2闭环系统频域指标和时域指标的转换505-5-2闭环系统频域指标和时域指标的转换515-5-2闭环系统频域指标和时域指标的转换522、开环频域指标和时域指标的关系典型二阶系统开环传递函数为可求得相角裕度可求得5-5-2闭环系统频域指标和时域指标的转换53

对于二阶系统，一般要求：估算时域指标方法：（1）从开环对数频率特性曲线确定相角裕度（2）根据查对应的（3）由查得；由