第6章一阶电路

第6章一阶电路§6-1动态电路的方程及其初始条件一.动态电路

1.定义：由电容或电感等动态元件构成的电路称为动态电路。2.描述方程：当电路含有电感L或电容C时，电路方程是以电流或电压为变量的微分方程。3.一阶电路：由一个动态元件和电阻构成的电路称一阶电路。

二.电路的过渡过程1.过渡过程：电路由一个工作状态转变到另一个工作状态需要经历的一个过程，这个过程称为过渡过程。（1）S未动作前（一个工作状态）：i=0,uC=0i

=0,uC=Usi+–uCUsRC（2）S接通电源后很长时间（另一个工作状态）：

iUsS+–uCRC1·2（t=0）

2.稳态：电路的结构或元件的参数不再发生变化，经过一段时间后的工作状态称为稳态。例如一个工作状态到另一个工作状态中的过渡过程：这中间有个过渡过程三.过渡过程产生的原因1.电路内部含有储能元件：电感L、电容C

能量的储存和释放都需要一定的时间来完成2.电路结构发生变化支路接入或断开;参数变化换路四.稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间换路刚发生iL、

uC随时间变化代数方程组描述电路微分方程组描述电路iL、

uC随时间不变1.经典法时域分析法复频域分析法时域分析法2.拉普拉斯变换法3.状态变量法4.数值法五.分析方法激励u(t)响应i(t)1.换路:电路结构或参数的改变引起电路的变化称为换路。通常认为换路在t=0时刻进行；换路前瞬间称t=0-；换路后瞬间称t=0+;换路所经过时间为0－到0＋。

六.电路的初始条件微分方程初始条件为t=0+时u，i及其各阶导数的值2.电路的初始条件：定义：电路换路后瞬间（t=0+)时电路元件的参数初值独立初始条件：uc(0+),iL(0+)非独立初始条件:iC(0+),uL(0＋）,uR等靠换路定则求得要记住了!靠KCL、KVL求得3.换路定则的推导令t0=0-,t=0+,得：当i()为有限值时uC

(0+)=uC

(0-)q

(0+)=q

(0-)结论:换路瞬间，若电容电流保持为有限值时，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。0iucC+-电荷守恒（1）对于线性电容：当u为有限值时:iL(0+)=iL(0-)L

(0+)=L

(0-)结论换路瞬间，若电感电压保持为有限值时，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。令t0=0-,t=0+,则得：0（2）对于线性电感：iu-L+L磁通链守恒七.初始条件的确定2.非独立初始条件求解:利用独立初始条件在0+等效电路以及根据KCL、KVL的关系进行求解.3.画0+等效电路:把t=0+时电容电压和电感电流的初值分别用电压源、电流源替代,方向同原假定的电容电压、电感电流相同。由此获得的计算电路称为t＝0＋时的等效电路;电压源的等效值为uc(0+);电流源的等效值为iL(0+)。1.独立初始条件根据换路定则:

uc(0+)=uc(0-),iL(0+)=iL(0-)

4.由0+电路求所需各变量的0+值。(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0-电路求uC(0-)uC(0-)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)求iC(0+)iC(0-)=0iC(0+)+-10V+uC-10k40k例1：+-10ViiC+uC-S(t=0)10k40k（t<0－时）（t>0＋时）解：iL(0+)=iL(0-)=2A例2：t=0时闭合开关S,求uL(0+)0+等效电路+uL-10V142A求初始值的步骤1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0-)和iL(0-)。

2.由换路定律得uC(0+)和iL(0+)。14iL+uL-L10VS解：（t＝0）iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-RIS求iC(0+),uL(0+)0+等效电路uL+–iCRRIS+–IS例3：iLISLS(t=0)+–uLC+–uCRiC解：§6-2一阶电路的零输入响应2.零输入响应：动态电路没有外施电源激励，仅由动态元件的初始储能引起的电路响应。

1.一阶电路：仅含有一个动态元件且由一阶微分方程描的电路方程，称为一阶电路.二.RC电路零输入响应已知uC

(0-)=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR一.一阶电路的零输入响应

uC=uR=Ri解:求uC（t）和i（t）.ud0CCCU)0(u0utdRC==+-RCp+1=0特征根特征方程:则由换路定则:通解:

uC

(0+)=uC(0-)=U0续解iS(t=0)+–uRC+–uCR（t≥0＋）得:A=uc(0+)=U0若令:τ=RC,(τ称为一阶RC电路的时间常数)tU0uC0I0ti0将初始值代入:续解tRCctRCceRUdtduCtiteUtu1010)(0)(-+-=-=³=所求uc和i为:则RC一阶电路的响应可写为:(t≥0+)1.时间常数τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短。τ大过渡过程时间的长τ小过渡过程时间的短当电压初值一定：R大（C不变）i=u/R放电电流小放电时间长C大（R不变）W=0.5Cu2

储能大ucU0t0τ小τ大τ的单位讨论：U00.368U00.135U00.05U00.007U0工程上认为,经过3τ～5τ,过渡过程结束。1τ：电容电压衰减到初始电压36.8%所需的时间。t0τ

2τ

3

τ5τU0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

2.能量关系：设uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收能量：即：WC＝WR三.RL电路的零输入响应特征方程Lp+R=0特征根p=由初始值i(0+)=I0确定积分常数AA=i(0+)=I0i

(0+)=i

(0-)=iS(t=0)USL+–uLRR1求电感电压uL（t）

和电流i（t）解:令τ=L/R,称为一阶RL电路时间常数i(0＋)一定：L大起始能量大

R小放电过程消耗能量小放电慢τ大-RI0uLtI0ti0小结：4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响应,它们都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.τ体现了一阶电路的固有特性，衰减快慢取决于时间常数τ。

RC电路τ=RC,RL电路τ=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL

(0+)=iL(0-)=1AuV

(0+)=-10000V造成V电压表损坏。例1iLS(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10V分析:表明:猛的切断电感电流时,必须考虑磁场能量的释放,如能量较大,会出现电弧。t=0时,打开开关S,现象：电压表坏了电压表量程：50V试进行分析（t≥0＋）零状态响应：电路在储能元件零初始条件下由外施激励引起的电路响应。列方程：iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0§6-3一阶电路的零状态响应

一阶常系数非齐次线性微分方程解答形式为：对应的齐次方程的通解对应非齐次方程的特解一.RC电路的零状态响应与输入激励的变化规律有关。当某些激励的强制分量为电路的稳态解时，强制分量又称为稳态分量。变化规律由电路参数和结构决定全解:uC

(0+)=A+US=0A=-US由初始条件uC

(0+)=0确定积分常数A齐次方程的解：特解（强制分量）=US：通解（自由分量，暂态分量）强制分量(稳态)自由分量(暂态)RCtSCeRUtdudCi（t）-==tuc-USuC'uC"USti0iuc0（t≥0）能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中,也就是说,充电效率为50%.电容储存电能：电源提供能量：电阻消耗电能:RC+-US二.RL电路的零状态响应L+RiL=US)e1(RUitLRSL--=eUtdidLutLRSL-==iLS(t=0)US+–uRL+–uLR解iL(0-)=0求:电感电流iL(t)已知tuLUStiL00（t≥0＋）三.正弦电源激励下的零状态响应（以RL电路为例）

i(0-)=0iS(t=0)L+–uLRuS+-i(0-)=0utuS求：i

(t)

接入相位角选讲0

i(0-)=0iS(t=0)L+–uLRuS+-选讲i´强制分量(稳态分量)i自由分量(暂态分量)其解：将i´代入所对应的微分方程，得：用待定系数法确定Im和：引入则有RLZ选讲RLZ令：已知稳态解的方程是：则方程的左边可写为：所以有：解答为:讨论几种情况：2）

u=±/2即

u-=±/2确定积分常数A由1）合闸时

u=，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。则A=0,无暂态分量选讲（t≥0）u

=-/2时波形为最大电流出现在t=T/2时刻。-ImT/2iImti0选讲§6-4一阶电路的全响应一.一阶电路的全响应及其两种分解方式解答为:uC=uC'+uC"S(t=0)iUS+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0非齐次微分方程引例：通解:特解:uC'=USτ=RC其中全解：uC

(0+)=A+US=U0A=U0-US由初始值来确定A:（不为零）

所以:tuc暂态解稳态解全解uC"-USU0uC'USU0uc0全响应：非零初始状态的电路受到外加激励时电路中产生的响应，称为全响应。

全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)两种分解方式稳态解暂态解零状态响应零输入响应tuc(t)0US零状态响应全响应零输入响应U0

全响应=零状态响应＋零输入响应由上页推导可知：uC(t)又可表示为：+uC

(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–uC'RuC

(0-)=0uC(0-)=U0C+–uC"iS(t=0)+–uRRiS(t=0)US+–uRC+–uCR用电路图表示：零状态响应零输入响应二.三要素法分析一阶电路以一阶RC电路全响应说明:上式可写成:在直流激励下,电路的任意一个全响应可用f(t)表示,则:时间常数电容电压初值uc(0+)稳态分量,t∞电容电压,uc(∞)。ïîïíì¥+时间常数起始值稳态解三要素

)0(f

)(ft结论:根据三要素,可直接写出一阶电路在直流激励下的全响应,这种方法称为三要素法.一般步骤:1.利用换路定则以及KCL、KVL求出f(0+);2.在换路后的稳态电路中求出稳态分量f(∞);3.利用戴维宁定理计算RC或RL串联电路的时间常数τ。1A2例13F+-uC已知：t=0时合开关S求：换路后的uC(t)。解:tuc2(V)0.6670S(t=0)三.复杂一阶电路求解1.利用戴维宁定理或诺顿定理求出有源一端口等效电路（即Ri、Uoc）;2.串接上电感L或电容C,在等效的简单一阶电路中求解储能元件上的电流或电压；3.若还需求其他元件的电压、电流,则需在等效变换前的原电路中进行求解。 解题思路当电路中含有一个储能元件电感L(或电容C),而其他部分可构成有源一端口网络。利用三要素法求解一阶电路全响应的时间常数τ时，须在求τ之前进行电路等效变换。例1如图所示电路中，Us=10V,Is=2A,R=2,L=4H。试求S闭合后，电路中电流iL和i。解：（1）先移去电感支路，对a,b一端口求戴维宁等效电路;开路电压Uoc:等效电阻Req:Req=R=2abiS(t=0)aIs+-UsL··iLbReq··UociLL＋－R（2）画出等效电路求出三要素;（3）用三要素法求解iL;A（4）由原电路图求出i。A（t≥0）（t≥0）03-2i(t)·iLt例2.已知Us=10V,R1=R2=4,

R3=2,C=1F,电容原未充电,求开关闭合S后uc(t)。先移去电容，求一端口a、b的戴维南等效电路.Cuc(t)b·R1R3R2U1S(t=0)2U1·aUS·1解:Cuc(t)b·R1R3R2U12U1·aUS·1C（1）求ab一端口的戴维宁等效电路1).求开路电压uoc:(利用节点法)解之得:auocb1R1R3··R2U12U1·USi22）求等效电阻Req：（先求出短路电流iSc）bR1R3R2U12U1·USa·1iSCi3对节点1:由此流过R3的电流i3为:解得：所以（2）画出等效电路利用三要素法求解uC(t):CuC··uOCReq电容电压uC(t):§6-5一阶电路的阶跃响应一.单位阶跃函数:t(t)01uC(0-)=01.定义2.单位阶跃函数的延迟t(t-t0)t001任一时刻t0起始的阶跃函数:iS(t=0)1VCR··＋－u(t)3.由单位阶跃函数组成复杂的信号例21t1f(t)0例11t0tf(t)0(t)tf(t)10t0-

(t-t0)4.由单位阶跃函数来起始任意函数设：f(t)是对所有t都有定义的一个任意函数，它的波形如左图所示。0tf(t)t0如果需要让f(t)在t0以后才起作用，可利用单位阶跃函数来“起始”它，即：所对应的波形如下图所示。f（t）（t－t0）＝f（t）t≥t0＋0t≤t0－0tf(t)(t-t0)t0二.电路的阶跃响应:1.定义:电路对于阶跃输入的零状态响应称为阶跃响应。以单位阶跃响应为例2.电路的全响应:全响应=零输入响应+电路的阶跃响应tuc1t0iRiC+–ucuc(0-)=0求图示电路中电流ic(t)10k10kus+-ic100Fuc(0-)=00.510t(s)us(V)0例1:解:（方法一）把电路看成先充电,后放电的过程.例题100F+-icuC(0-)=05kuoc5V＋－uc所以：续解0.510t(s)us(V)0(t)t100.5-

(t-0.5)（方法二）10k10k+-ic100FuC(0-)=010k10k+-ic100FuC(0-)=0us续解续解+-ic1100FuC(0-)=05k10k10k+-ic100FuC(0-)=0等效（1）10k10k+-ic2100FuC(0-)=0（2）（3）分段表示为：（方法一解得的结果）t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形0.368（4）又可以写为：续解例2已知：电感无初始储能t=0时合S1,t=0.2s时合S2。求两次换路后的电感电流i(t)。解：0<t<0.2st>0.2sit(s)0.25(A)1.262i(t)10V1HS1(t=0)S2(t=0.2s)32例3+-已知:u(t)如图示,iL(0-)=0求:iL(t),并画波形.方法一2)0<t

1s

iL(0+)=0A

1)t<0siL()=1AiL(t)=1-e-t/6

Aτ=5/

(1//5)=6su(t)12120t(s)Vu(t)155HiL1+-55HiL1V0<t

<1siL(t)=0A

选讲3)1<t

2s

iL(t)=2+[0.154-2]e-(t-

1

)/6=2-1.846e-(t-

1

)/6AiL(∞)=2A，τ=6s续解iL(1+)=iL(1-)=1-e-1/6

=0.154A+-155HiL2V1<t

2s

4)t>2s

iL(2+)=iL(2-)=2-1.846e-(2

-

1

)/6=0.437AiL(∞)=0A，τ=6siL(t)=0.437e-(t-

2

)/6A155HiLt

>2siL(t)=0

t<01-e-t/6A0<t

12-1.846e-(t-

1

)/6A1<t

20.437e-(t-

2

)/6At>2所以：选讲

u(t)=(t)+(t-1)-2(t-2)(t)(1-e-t/6)(t)(t-1)(1-e-(t-1)/6)(t-1)-2(t-2)-2(1-e-(t-2)/6)(t-2)iL(t)=(1-e-t/6)(t)+(1-e-(t-1)/6)(t-1)

-2(1-e-(t-2)/6)(t-2)00.1540.43712t(s)iL(t)A方法二续解iL(t)=0

t<01-e-t/6A0<t

12-1.846e-(t-

1

)/6A1<t

20.437e-(t-

2

)/6At>2u(t)12120t(s)(t)(t-1)-2(t-2)选讲一.单位冲激函数1.单位脉冲函数p(t)§6-6一阶电路的冲激响应1/tp(t)02.单位冲激函数