高分子化学-缩聚和逐步聚合

逐步聚合反应最基本的特征

是在低分子单体转变成高分子的过程中反应是逐步进行的逐步聚合反应范围广泛绝大多数的缩聚反应非缩聚反应其它反应在高分子工业中占有重要地位

合成了大量有工业价值的聚合物2缩聚和逐步聚合反应2.1引言

表2-1非缩聚型的逐步聚合的反应示例2.2缩聚反应官能度的概念是指一个单体分子中能够参加反应的官能团的数目单体的官能度一般容易判断个别单体，反应条件不同，官能度不同，如缩聚反应是通过官能团相互作用而形成聚合物的过程单体常带有各种官能团：

－COOH、－OH、－COOR、－COCl、－NH2等进行酰化反应，官能度为1与醛缩合，官能度为31.缩聚反应单体体系对于不同的官能度体系，其产物结构不同1－n官能度体系一种单体的官能度为1，另一种单体的官能度大于1，即1－1、1－2、1－3、1－4体系只能得到低分子化合物，属缩合反应2－2官能度体系每个单体都有两个相同的官能团可得到线形聚合物，如缩聚反应是缩合反应多次重复结果形成聚合物的过程2官能度体系同一单体带有两个不同且能相互反应的官能团，得到线形聚合物，如2－3、2－4官能度体系如：苯酐和甘油反应苯酐和季戊四醇反应体形缩聚物

双官能度体系的成环反应

2－2或2官能度体系是线形缩聚的必要条件，但不是充分条件在生成线形缩聚物的同时，常伴随有成环反应成环是副反应，与环的大小密切相关环的稳定性如下：

5,6>7>8~11>3,4

环的稳定性越大，反应中越易成环五元环、六元环最稳定，故易形成，如环的稳定性与环上取代基或元素有关八元环不稳定，取代基或元素改变，稳定性增加如，二甲基二氯硅烷水解缩聚制备聚硅氧烷，在酸性条件下，生成稳定的八元环通过这一方法，可纯化单体2.缩聚反应分类

按反应热力学的特征分类平衡缩聚反应指平衡常数小于103的缩聚反应聚酯K4；聚酰胺K400

不平衡缩聚反应平衡常数大于103采用高活性单体和相应措施按生成聚合物的结构分类线形缩聚体型缩聚按参加反应的单体种类

均缩聚：只有一种单体进行的缩聚反应，2体系

混缩聚：共缩聚在制备无规和嵌段共聚物方面获得应用:无规共缩聚可适当降低聚合物的Tg、Tm可合成聚氨酯、聚酯型热塑弹性体两种分别带有相同官能团的单体进行的缩聚反应，即2-2体系，也称为杂缩聚共缩聚在均缩聚中加入第二种单体进行的缩聚反应在混缩聚中加入第三或第四种单体进行的缩聚反应2.3线形缩聚反应机理以二元醇和二元酸合成聚酯为例二元醇和二元酸第一步反应形成二聚体:1.线型缩聚的逐步特性三聚体三聚体四聚体2

三聚体和四聚体可以相互反应，也可自身反应，也可与单体、二聚体反应含羟基的任何聚体和含羧基的任何聚体都可以进行反应，形成如下通式：如此进行下去，分子量随时间延长而增加，显示出逐步的特征

n－聚体＋m－聚体

(n+m)－聚体＋水2.线型缩聚的可逆特性大部分线型缩聚反应是可逆反应，但可逆程度有差别可逆程度可由平衡常数来衡量，如聚酯化反应:

对所有缩聚反应来说，逐步特性是共有的，而可逆平衡的程度可以有很大的差别K值小，如聚酯化反应，K4，

副产物水对分子量影响很大K值中等，如聚酰胺化反应，K300～500

水对分子量有所影响K值很大，在几千以上，如聚碳酸酯、聚砜可看成不可逆缩聚根据平衡常数K的大小，可将线型缩聚大致分为三类：3.反应程度在缩聚反应中，常用反应程度来描述反应的深度反应程度：是参加反应的官能团数占起始官能团数的分数，用P表示反应程度是对任何一种参加反应的官能团而言对于等物质量的二元酸和二元醇的缩聚反应，设：体系中起始二元酸和二元醇的分子总数为N0

等于起始羧基数或羟基数t时的聚酯分子数为N，等于残留的羧基或羟基数反应程度与转化率根本不同

转化率：参加反应的单体量占起始单体量的分数是指已经参加反应的单体的数目

反应程度则是指已经反应的官能团的数目例如：一种缩聚反应，单体间双双反应很快全部变成二聚体，就单体转化率而言，转化率达100％；而官能团的反应程度仅50％反应程度与平均聚合度的关系

聚合度是指高分子中含有的结构单元的数目当P＝0.9，Xn=10一般高分子的Xn=100~200，P要提高到0.99~0.995

除环化反应外，还可能发生如下副反应官能团的消去反应包括羧酸的脱羧、胺的脱氨等反应，如：代入反应程度关系式4.缩聚过程中的副反应化学降解低分子醇、酸、水可使聚酯、聚酰胺等醇解、酸解、水解：降解反应使分子量降低，在聚合和加工中都可能发生二元酸脱羧温度(℃)己二酸300～320庚二酸290～310辛二酸340～360壬二酸320～340癸二酸350～370醇解酸解水解链交换反应聚酯、聚酰胺、聚硫化物的两个分子可在任何地方的酯键、酰胺键、硫键处进行链交换反应既不增加又不减少官能团数目，不影响反应程度不影响体系中分子链的数目，使分子量分布更均一不同聚合物进行链交换反应，可形成嵌段缩聚物特点表2自由基聚合和线性缩聚特征的比较2.4线型缩聚动力学

缩聚反应在形成大分子的过程中是逐步进行的,若每一步都有不同的速率常数，研究将无法进行原先认为，官能团的活性将随分子量增加而递减,聚合度增大后，分子活动减慢，碰撞频率降低；体系粘度增加，妨碍了分子运动；长链分子有可能将端基官能团包埋但实验结果推翻了这种观点

1.官能团等活性理论有上表可以得出结论：用一元酸系列和乙醇的酯化反应研究表明，n=1,2,3时，酯化速率常数迅速降低。但当n≥3以后，速率常数趋向定值，一直到n=17，都是如此。二元酸和乙醇的酯化反应情况也类同，即n≥3以后，速率常数趋向定值，并与一元酸的酯化速率常数相近。

Floryx提出了官能团等活性理论:

不同链长的端基官能团，具有相同的反应能力和参加反应的机会，即官能团的活性与分子的大小无关Flory解释如下：官能团之间的碰撞次数和有效碰撞几率与高分子的扩散速率无关体系粘度增大时，虽然整个高分子运动速率减慢，但链段运动和链端的官能团活动并未受到限制由于高分子的活动迟缓，扩散速率低，反而使两官能团之间碰撞的持续时间延长，有利于提高有效碰撞几率同时指出，官能团等活性理论是近似的，不是绝对的，这一理论大大简化了研究处理，可用同一平衡常数表示，整个缩聚过程可以用两种官能团之间的反应来表征2.线型缩聚动力学不可逆条件下的缩聚动力学在不断排出低分子副产物时符合不可逆条件以聚酯化反应为例，聚酯是酸催化反应慢k3是最慢的一步反应，由于不可逆，k4暂不考虑聚酯反应速率用羧基消失速率来表示：[C+(OH)2]是质子化羧基的浓度，难以确定，设法消去代入式考虑催化用酸HA的离解平衡代入式催化用酸HA:可以是二元酸本身，但反应较慢也可以是外加酸，如H2SO4，大大加速自催化缩聚反应

无外加酸，二元酸单体作催化剂，[HA]=[COOH]羧基与羟基浓度相等，以C表示，将式中的所有常数及[A－]合并成k表明自催化的聚酯反应呈三级反应积分由反应程度羧基数用羧基浓度C代替表明(Xn)2与反应时间t呈线性关系聚合度随反应时间缓慢增加，要获得高分子量，需要较长的时间以(Xn)2对t作图，直线的斜率可求得速率常数kC＝Co(1－P)，代入上式P～t关系式代入Xn～t关系式讨论为了加速反应，常外加酸作为聚酯化反应的催化剂反应速率将由自催化和酸催化两项组成：作为催化剂，[H+]不变，且ka[H+]>>kC，kC略去并令k`=ka[H+]，则

外加酸催化缩聚反应此时外加酸催化为二级反应Xn与反应时间t呈线性关系，由斜率可求得k`外加酸聚酯化的k`比自催化k大将近两个数量级工业生产总是以外加酸作催化剂来加速反应积分得将C＝Co(1－P)代入上式P～t关系式Xn～t关系式讨论

平衡缩聚动力学聚酯反应速率是正、逆反应速率之差聚酯化反应在小分子副产物不能及时排出时，逆反应不能忽视令羟基和羧基等当量，起始浓度为1，t时浓度为C起始1100t时水未排出CC1－C1－C水部分排出CC1－Cnw水未排出时水部分排出时引入平衡常数:K＝k1/k－1，k－1=k1/K,代入上两式根据反应程度关系式整理:水未排出时:水部分排出时:总反应速率与反应程度、平衡常数、低分子副产物含量有关其他逐步聚合的动力学问题虽然线性缩聚动力学的研究多限于聚酯化反应，但其他逐步聚合反应的动力学也可以参照上述进行研究。聚酯化反应中酸催化缩聚的速率常数k’远大于自催化的k。在有些情况下，自催化项可以忽略。在不能忽略的情况下，聚合速率须写作

催化剂使用与否，有以下几种情况。①无催化剂就能达到一定速率的聚合②须加酸或碱作催化剂的聚合③催化剂可用可不用的聚合2.5线型缩聚物的聚合度反应程度对聚合度的影响在任何情况下，缩聚物的聚合度均随反应程度的增大而增大反应程度受到某些条件的限制利用缩聚反应的逐步特性，通过冷却可控制反应程度，以获得相应的分子量体型缩聚物常常用这一措施1.影响聚合度的因素可逆反应原料非等当量比条件等当量不可逆在可逆缩聚反应中，平衡常数对P和Xn有很大的影响，不及时除去副产物，将无法提高聚合度密闭体系

两单体等当量，小分子副产物未排出

缩聚平衡对聚合度的影响正、逆反应达到平衡时，总聚合速率为零，则整理聚酯化反应，K=4，P=0.67，Xn只能达到3聚酰胺反应，K=400，P=0.95，21不可逆反应K=104，P=0.99，101解方程P>1此根无意义代入即在密闭体系非密闭体系在实际操作中，要采取措施排出小分子两单体等当量比，小分子部分排出时减压加热通N2,CO2平衡时当P1(>0.99)时缩聚平衡方程近似表达了Xn、K和nW三者之间的定量关系倒置在生产中，要使Xn>100，不同反应允许的nW不同

K值nW(mol/L)聚酯4<4×10－4（高真空度）聚酰胺400<4×10－2（稍低真空度）可溶性酚醛103可在水介质中反应反应程度和平衡条件是影响线形缩聚物聚合度的重要因素，但不能用作控制分子量的手段因为缩聚物的分子两端仍保留着可继续反应的官能团控制方法：端基封锁在两官能团等当量的基础上2.基团数比对聚合度的影响使某官能团稍过量或加入少量单官能团物质分三种情况进行讨论：单体aAa和bBb反应，其中bBb稍过量令Na、Nb分别为官能团a、b的起始数两种单体的官能团数之比为：下一步要求出聚合度Xn与r(或q)、反应程度P的关系式称为摩尔系数（是官能团数之比）bBb单体的分子过量分率（是分子数之比）为:r-q关系式设官能团a的反应程度为P则a官能团的反应数为NaP(也是b官能团的反应数)a官能团的残留数为Na－NaPb官能团的残留数为Nb－NaPa、b官能团的残留总数为Na＋Nb－2NaP

残留的官能团总数分布在大分子的两端，而每个大分子有两个官能团则，体系中大分子总数是端基官能团数的一半（Na＋Nb－2NaP）/2

体系中结构单元数等于单体分子数（Na＋Nb）/2表示了Xn与P、r或q之间的定量关系式当P＝1时，即官能团a完全反应当原料单体等当量比时即r=1或q=0讨论两种极限情况：

aAa、bBb等当量比，另加少量单官能团物质Cb

Nc为单官能团物质Cb的分子数摩尔系数和分子过量分率定义如下:aAa单体的官能团a的残留数Na－NaPbBb单体的官能团b的残留数Nb－NaP=Na－NaP两单体官能团(a＋b)的残留数2（Na－NaP）体系中的大分子总数体系中的结构单元数（即单体数）Na＋Nc和前一种情况相同，只是r和q表达式不同aRb加少量单官能团物质Cb(分子数为Nc）反应摩尔系数和分子过量分率如下:体系中的大分子数Na－NaP＋Nc

体系中的结构单元数（即单体数）Na＋Nc三种情况都说明，Xn与P、r(或q)密切相关官能团的极少过量，对产物分子量就有显著影响在线形缩聚中，要得到高分子量，必须保持严格的等当量比当a的反应程度为P＝1时，小结：例题：生产尼龙－66，想获得Mn=13500的产品，采用己二酸过量的办法,若使反应程度P=0.994，试求己二胺和己二酸的配料比解：当己二酸过量时，尼龙－66的分子结构为结构单元的平均分子量则平均聚合度当反应程度P=0.994时，求r值:己二胺和己二酸的配料比根据己二酸的分子过量分率2.6线形缩聚物的分子量分布Flory应用统计方法，根据官能团等活化理论，推导出线形缩聚物的分子量分布对于aRb型单体的线型缩聚物，以羧基为例对于x－聚体的大分子未成酯键其中含有(x-1)个酯键，和一个羧基不反应的情况构成x-聚体的几率为(x－1)次成键几率和一次不成键几率的总乘积如果体系中有N个聚合物分子，x-聚体的分子数目为Nxx-聚体的数量分布函数若起始单体总数为N0，则反应程度为P时代入上式聚合物的分子数为也可以求出任何反应阶段、任何聚体在不同反应程度时的理论数量

反应程度PN1数量

0N00.50.25N00.90.01N00.990.0001N010可求出不同反应程度时的未反应单体的理论数量，如在任何反应阶段，没有反应的单体(x=1)的理论数量为如果忽略大分子的端基重量，则x-聚体的分子量就与x成正比设：Wx为x-聚体的重量W为体系中大分子的总重量则，x-聚体的重量分数为：x-聚体的重量分布函数X-聚体的分子量X-聚体的分子数结构单元数（单体数）结构单元分子量数均聚合度和重均聚合度分别为分子量分布宽度为

2.7逐步聚合的方法逐步集合的热力学和动力学特征对于线性逐步聚合，在某种程度上说，分子量的控制要比聚合速率重要。提高分子量需要考虑一些共同问题，如尽可能减少副反应，以免反应程度受到限制，要求原料纯度高，接近于等当量，以便加入官能团物质或某单体稍过量，就有可能控制分子量。应设法排除低分子副产物，使向形成聚合物方向移动。逐步聚合的聚合热不大，远比自由基小，但其活化能较大，一般在较高温度下进行。平衡常数对温度的变化可用下式表示表2-9典型缩聚反应参数逐步聚合实施方法熔融缩聚是单体和聚合产物均处于熔融状态下的聚合反应。是最简单的缩聚方法。只有单体和少量催化剂优点：产物纯净，分离简单通常以釜式聚合，生产设备简单是工业上和实验室常用的方法熔融缩聚在工艺上有以下特点：反应温度高一般在200－300℃之间，比生成的聚合物的熔点高10－20℃

一般不适合生产高熔点的聚合物反应时间长一般都在几个小时以上延长反应时间有利于提高缩聚物的分子量为避免高温时缩聚产物的氧化降解，常需在惰性气体（N2、CO2）中进行为获得高分子量产物，聚合后期一般需要减压，甚至在高真空下进行反应完成后，聚合物以粘流状态从釜底流出，制带、冷却、切粒溶液缩聚是单体在溶剂中进行的一种聚合反应溶剂可以是纯溶剂，也可以是混合溶剂溶液缩聚是工业生产的重要方法，其规模仅次于熔融缩聚用于一些耐高温高分子的合成，如聚砜、聚酰亚胺聚苯醚溶液缩聚的特点如下：聚合温度低，常需活性高的单体如二元酰氯、二异氰酸酯反应和缓平稳，有利于热交换，避免了局部过热，副产物能与溶剂形成恒沸物被带走反应不需要高真空，生产设备简单制得的聚合物溶液，可直接用作清漆、胶粘剂等溶剂的使用，增加了回收工序及成本界面缩聚是将两种单体溶于两种互不相溶的溶剂中，混合后在两相界面处进行的缩聚反应界面缩聚的特点如下：单体活性高，反应快，可在室温下进行反应速率常数高达104－105l/mol.s产物分子量可通过选择有机溶剂来控制大部分反应是在界面的有机溶剂一侧进行，较良溶剂，只能使高分子级分沉淀对单体纯度和当量比要求不严格，反应主要与界面处的单体浓度有关原料酰氯较贵，溶剂回收麻烦，应用受限界面缩聚示意图表2-10三种逐步聚合方法的比较2.8线型逐步聚合原理和方法的应用及重要线性逐步聚合物1.涤纶涤纶是聚酯的重要代表。二元醇和二元脂肪酸合成的聚酯熔点较低，不易作塑料和纤维。以对苯二甲酸代替二元脂肪酸来合成聚酯，在主链中引入芳环，可提高刚性和荣典，这就使得涤纶成为重要的合成纤维和工程塑料。（1）甲酯化（2）酯交换（3）缩聚2.聚酰胺聚酰胺合成方法有两类:一类是由二元胺和二元酸合成，如尼龙-66，尼龙-610，尼龙-1010；另一类是由氨基酸自缩聚或己内酰胺开环聚合而成，如尼龙-6。（1）尼龙-66和尼龙-1010缩聚时，66盐可加入少量单官能团的醋酸或己二酸进行端基封锁，控制分子量。聚酰胺主链中如引入下列脂环或芳环结构，可增加热稳定性。（2）尼龙-6己内酰胺开环聚合时有三种平衡反应在机理上分析，可以考虑氨基酸以双离子形式存在，先使己内酰胺质子化而后开环聚合，因为质子化单体对亲电进攻要活泼的多

无水时，聚合速率较低；有水存在时，随转化率而降低。3.聚碳酸酯聚碳酸酯是碳酸的聚酯类。脂肪族聚碳酸酯玻璃化温度较低，实用价值较小。商业上最重要的聚碳酸酯是以双酚A为原料，与光气反应或与碳酸二苯酯经酯交换制成4.聚芳砜商品聚芳砜可由双酚A的钠盐与4，4’-二氯二苯砜经芳族取代反应制得无异丙基的聚芳砜耐氧性能更好，较高温度下保留有机械性能。这类聚芳砜可以用FeCl3、SbCl5、InCl3作催化剂通过Frieddl-Crafts反应制得。5.聚苯醚和聚苯硫醚在碱存在下，对氯硫酚或对溴硫酚经自缩聚可制得P-二氯苯和硫化钠合成聚苯硫醚已经商业化二苯醚与SCl2或S2Cl2在氯仿溶液中反应，可制的同时含有硫和醚氧键的聚合物。该聚合物耐化学药品和耐燃。6.聚氨酯聚酰胺聚酯聚氨酯聚碳酸酯聚脲（1）聚氨酯的合成路线聚氨酯的起始原料是光气。①二氯代甲酸酯于二元胺反应②二异氰酸酯和二元醇加成（2）聚氨酯的合成化学基础异氰酸酯的化学行为表明异氰酸基有如下电子结构异氰酸酯与醇反应基本上是醇对异氰酸的碳原子做亲核进攻，而后氢原子作1，3迁移至氮原子上。异氰酸酯的活性次序如下：醇的活性如下：其他活泼氢的活性如下：（3）聚氨酯的应用及有关反应常用的二异氰酸酯有2，4-或2，6-甲苯二异氰酸酯，六亚甲基二异氰酸酯，萘二异氰酸酯等。对于大多数聚氨酯，一般将适当过量的二异氰酸酯和聚醚二醇或聚酯二醇先反应成异氰酸端基预聚物。

如果对分子量有较高的要求，如弹性纤维和橡胶，则可用肼、二元胺使上述预聚物扩链，中间形成脲基团。聚氨酯用作橡胶时，须进行交联。在适当加压加热的条件下，异氰酸端基预聚物种得异氰酸酯基团-NHCOO-可由另一预聚物分子上的异氰酸端基交联起来经扩链后的预聚物中的脲基团-NHCONH-也可由ONC~~~~CNO交联异氰酸端基预聚物遇水反应，通过脲键的形成而扩链在合成聚酯二醇时，如配用适量多官能团醇，如甘油，则聚酯预聚物有侧羟基，进一步可由OCN~~~~NCO来交联7.聚酰亚胺和其他耐高温聚合物

PBI梯形聚合物8.全芳聚酰胺体型缩聚的含义是指某一2官能度单体与另一官能度大于2的单体先进行支化而后形成交联结构的缩聚过程体型缩聚的最终产物称为体型缩聚物

体型缩聚物的结构与性能：分子链在三维方向发生键合，结构复杂不溶不熔、耐热性高、尺寸稳定性好、力学性能强热固性聚合物的生产一般分两阶段进行先制成聚合不完全的预聚物(分子量500～5000)线形或支链形，液体或固体，可溶可熔预聚物的固化成型在加热加压条件下进行2.9体型缩聚体型缩聚的特征反应进行到一定程度时会出现凝胶化现象：体系粘度突然急剧增加，难以流动，体系转变为具有弹性的凝胶状物质，这一现象称为凝胶化

开始出现凝胶化时的反应程度（临界反应程度）称为凝胶点，用Pc表示是高度支化的缩聚物过渡到体型缩聚物的转折点根据P－Pc关系，体型聚合物分为三个阶段：P<Pc，甲阶聚合物，良好的溶、熔性能PPc，乙阶聚合物，溶解性变差，仍能熔融P>Pc，丙阶聚合物，不溶、不熔预聚物体型缩聚的中心问题之一是关于凝胶点的理论1.无规预聚物（1）碱催化酚醛树脂

苯酚和甲醛经碱催化加成缩聚，可得酚醛预聚物甲阶酚醛树脂在成型阶段受热，继续反应，交联而固化。（2）脲醛树脂尿素或三聚氰胺与甲醛缩聚，制得脲醛树脂。脲醛缩聚，形成各种甲醇脲，构成预聚物在中性或酸性条件下，脲醛预聚物易交联（3）醇酸树脂

二官能度的邻苯二甲酸酐和三官能度的甘油可制得醇酸树脂

甘油和邻苯二甲酸酐，再加入不饱和脂肪酸进行缩聚，则得到具有不饱和端基的预聚物2.结构预聚物（1）环氧树脂环氧树脂系环氧氯丙烷和双酚A在碱催化下聚合而成伯胺类含有活泼氢原子，可使环氧开环交联叔胺虽无活泼氢，但对环氧基团的开环有催化作用

酸酐也可作为环氧树脂的交联剂。交联机理可能通过羟侧基的直接反应也可能由酸酐与羟基先行成半酯，再使环氧开环（2）不饱和聚酯树脂不饱和的二元酸，如马来酸酐，于二元醇缩聚，可制得不饱和酸酐。预聚物的交联通过双键与烯类单体如苯乙烯用自由基引发及引发共聚而完成。2.10凝胶点的预测(1)Carothers理论当反应体系开始出现凝胶时，认为数均聚合度趋于无穷大，然后根据P－Xn关系式，求出当Xn时的反应程度，即凝胶点Pc

分两种情况讨论：两官能团等当量单体的平均官能度：是指混合单体中平均每一单体分子带有的官能团数式中fi、Ni分别为第i种单体的官能度和分子数

例如，求2mol甘油（f=3）和3mol苯酐（f=2）的平均官能度凝胶点与平均官能度的关系设：体系中混合单体的起始分子总数为N0

则起始官能团数为N0ft时体系中残留的分子数为N

则反应消耗的官能团数为2(N0－N)

根据反应程度的定义，t时参加反应的官能团数除以起始官能团数即为反应程度出现凝胶化时，Carothers认为Xn

这是其理论基础产生误差所原因：实际上，凝胶时Xn并非无穷大，仅为几十，此例为24这是Carothers理论的缺点此式称为Carothers方程上述例子的凝胶点为实测Pc<0.833则凝胶点时的临界反应程度为:

两官能团不等当量再如，1mol甘油和5mol苯酐反应，若按上式计算:对于上述情况，Pc＝0.922实际上，1mol甘油和3mol苯酐反应后，端基被封锁，余下的2mol苯酐不再反应，上述结果是错误的对于不等当量的情况，用上述方法计算是不适用的这样低的平均官能度，表明体系只生成低分子物，不会凝胶化对于两单体官能团不等当量，平均官能度的计算方法是:用非过量组分的官能团数的二倍除以体系中的分子总数

这种平均官能度计算方法也适用于两种以上单体非等物质量的情况对于A、B、C三种单体组成的体系：分子数分别为Na、Nb、Nc

官能度分别为fa、fb、fc

单体A和C含有相同的官能团（a）且a官能团总数少于b官能团总数（官能团b过量）单体平均官能度按下式计算：a、b两官能团的摩尔系数r为将单体平均官能度公式整理，再将r、式代入，fa=fb=2，fc>2的情况较多，代入上式，化简单体C的a官能团数占a总数的分率为

，则代入Carothers方程，化简此式是两官能团不等当量时，计算凝胶点的关系式讨论：使用此式时应注意体系：fa=fb=2，fc>2体系中a官能团数小于bPc是对官能团a的反应程度而言记住r和的特定关系式

可直接计算出单体的平均官能度，代入羧基官能团数少于羟基，以羧基计算平均官能度计算举例如：根据醇酸树脂配方计算Pc官能度分子摩尔数亚麻油酸11.20.8

苯酐21.51.8甘油31.01.21,2-丙二醇20.70.4

4.24.44.45.0

官能团摩尔数不形成凝胶

Carothers方程在线形缩聚中聚合度计算的应用对于原料非等当量比，平均官能度按非等当量比计算，就可求出某一反应程度P时的Xn，例如单体摩尔数官能团摩尔数己二胺12己二酸