经典控制理论-第七章1new

第七章线性离散系统的分析与校正

本章主要内容第一节离散系统的基本概念第二节信号的采样与保持第三节Z变换理论第四节离散系统的数学模型第五节离散系统的稳定性和稳态误差第六节离散系统的动态性能分析第七节离散系统的数字校正主要内容阐述了离散控制系统相关基本概念，学习了采样过程及采样定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及求取方法等。本章重点掌握离散系统的相关基本概念，采样定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上了解利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。

控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数，称为连续时间系统，简称为连续系统。控制系统中有一处或几处信号是脉冲信号或数码(即这些信号是定义在离散时间上)，则这样的系统称为离散系统。把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形式的离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。7-1离散系统的基本概念

本章介绍线性离散控制系统理论与前几章讨论的连续控制系统的控制理论不同。离散系统与连续系统间的根本区别在于：连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是连续型的时间函数，而在离散系统中则不然，在一般情况下，控制信号是离散型的时间函数r*(t)，所以取自系统输出端的负反馈信号在和上述离散控制信号进行比较时，也需要采取离散型的时间函数b*(t)，于是比较后得到的偏差信号将是离散型的时间函数，即图7-1：离散系统结构图

因此，在离散系统中，通过控制器对被控对象进行控制的直接作用信号乃是离散型的偏差信号。上述离散系统的方块图示于图7-1。图7-2：离散反馈信号

在图7-1中，离散反馈信号是由连续型的时间函数b(t)通过采样开关的采样而获得的。采样开关经一定时间T重复闭合，每次闭合时间为，且有<T，见图7-2。

在采样系统中，采样开关重复闭合的时间间隔T称为采样周期，而分别称为采样频率及采样角频率。其中T代表采样周期。连续型时间函数经采样开关采样后变成重复周期等于采样周期的时间序列。该时间序列通过在连续型时间函数上打*号来表示，如图7-2所示。这种时间序列属于离散型时间函数。

图7-3：离散系统简化结构图

在图7-1中，两个采样开关的动作一般是同步的，因此，图7-l所示离散系统方块图可等效地简化成图7-3。

离散控制系统的应用范围非常广泛，一般离散控制系统的构成如图7-4所示。

图7-4：离散控制系统结构图数字控制系统

数字控制系统是一种离散型的控制系统，只不过是通过数字计算机闭合而已。因此，它包括工作于离散状态下的数字计算机(或专用的数字控制器)和具有连续工作状态的被控对象两大部分，其方块图如图7-5所示。图中，有用于控制目的的数字计算机，或数字控制器，它构成控制系统的数字部分，通过这部分的信号均以离散形式出现。被控对象一般用G(s)表示，是系统的不可变部分，它是构成连续部分的主要成分。图7-5：数字控制系统结构图

在数字控制系统中，具有连续时间函数形式的被控信号y(t)或c(t)(模拟量)受控于具有离散时间函数形式的控制信号(数字量)。既然模拟量需要反映数字量，这中间便需要有数-模转换环节。连续的被控制信号y(t)或c(t)经反馈环节反馈到输入端与参考输入相比较，从而得到e(t)并经A／D得到偏差信号。离散的偏差信号经数字计算机的加工处理变换成数字信号，再经D／A转换为连续信号馈送到连续部分的执行元件去控制系统的被控制信号c(t)。图中采样开关的动作是同步的。

对于大型控制系统(或称大系统)，如果不采用数字计算机来控制．是根本无法完成既定任务的。这样的大系统是离散系统的一种高级形式。分析离散系统可以采用Z变换法，或状态空间法。Z变换法和线性定常离散系统的关系，恰似拉氏变换法和线性定常连续系统的关系；因此，Z变换法是分析单输入-单输出线性定常离散系统的有力工具，它是本章的重点内容。状态空间法特别适用于多输入—多输出线性离散系统的分析。7-2信号的采样与保持采样过程

实现采样控制首先遇到的问题，就是如何把连续信号变换为脉冲序列的问题。按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程。实现采样过程的装置叫采样器或采样开关。

采样器可以用一个周期性闭合的开关来表示，其闭合周期为T，每次闭合时间为。在实际上，由于采样持续时间通常远小于采样周期T，也远小于系统连续部分的时间常数，因此，在分析采样系统时，可近似认为

趋近于0。在这种条件下，当采样开关的输入信号为连续信号e(t)时，其输出信号e*(t)是一个脉冲序列，采样瞬时e*(t)的幅值等于相应瞬时e(t)的幅值，即e(0T)、e(T)、e(2T)……e(nT)，如图7-6所示。

图7-6：实际采样过程

采样过程可以看成是一个脉冲调制过程。理想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生器，它能够产生一系列单位脉冲。

采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信号的调制过程如图7-7所示。图7-7：采样信号的调制过程

采样定理(shannon定理)，由于它给出了从采样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。采样定理在这里，关于采样定理做一简单介绍。

上式表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以ωs为周期的周期函数。另外，上式还表示了采样函数的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式E(s)之间的关系。通常E*(s)的全部极点均位于S平面的左半部，因此可用jω代替上式中的复变量s，直接求得采样信号的傅氏变换：

上式即为采样信号的频谱函数。它也反映了离散信号频谱和连续信号频谱之间的关系。

一般说来，连续函数的频谱是孤立的，其带宽是有限的，即上限频率为有限值(见图7-8（a）)。而离散函数e*(t)则具有以ωs

为周期的无限多个频谱，如图7-8（b）所示。在离散函数的频谱中、n=0的部分E(jω)／T称为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了主频谱外，E*(jω)还包含无限多个附加的高频频谱。为了准确复现采样的连续信号，必须使采样后的离散信号的频谱彼此不重叠，这样就可以用一个比较理想的低通滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，保留主频谱。

图7-8：连续及离散信号的频谱

由图7-8可见，相邻两频谱互不重迭的条件是ωs≥2ωmax

如果满足条件，并把采样后的离散信号e*(t)加到如图7-9所示特性的理想滤波器上，则在滤波器的输出端将不失真地复现原连续信号(幅值相差l／T倍)。倘若ωs<2ωmax,则会出现图7-8所示的相邻频谱的重叠现象，这时，即使用理想滤波器也不能将主频谱分离出来，因而就难以准确复现原有的连续信号。

综上所述，可以得到一条重要结论，即只有在ωs≥2ωmax的条件下，采样后的离散信号e*(t)才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。这里2ωmax为连续信号的有限频率。这就是香农(Shannon)采样定理。由于它给出了无失真地恢复原有连续信号的条件，所以成为设计采样系统的一条重要依据。采样信号保持器

实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何把采样信号恢复为连续信号。根据采样定理，在满足ωs≥2ωmax的条件下，离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用具有图7-9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。图7-9：理想滤波器频率特性

但是，上述的理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可以实现的滤波器。在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器。保持器是一种时域的外推装置，即根据过去或现在的采样值进行外推。零阶保持器

通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中最简单、最常用的是零阶保持器。

零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它把前一采样时刻nT的采样值e(nT)不增不减地保持到下一采样时刻(n+1)T，其输入信号和输出信号的关系如图7-10。图7-10：输入和输出关系

由图7-10可见，零阶保持器的输出信号是阶梯信号。它与要恢复的连续信号是有区别的，包含有高次谐波。若将阶梯信号的各中点连接起来，可以得到比连续信号退后T／2的曲线。这反映了零阶保持器的相位滞后特性。零阶保持器的传递函数零阶保持器频率特性（如图7-11）图7-11零阶保持器频率特性零阶保持器具有如下特性低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器特性相比，在ω=ωs，其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个，所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过,从而造成数字控制系统的输出中存在纹波。相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，且随ω增大而加大，在ω=ωs/2时，相角迟后可达－180o，从而使闭环系统的稳定性变差。时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t)其平均响应为e[t－(T/2)],表明输出比输入在时间上要迟后T/2