2022-2023学年湖北省荆州市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)

2022-2023学年湖北省荆州市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.

2.设有直线当直线l1与l2平行时，λ等于()．

A.1B.0C.-1/2D.-1

3.设y=cos4x，则dy=（）。A.

B.

C.

D.

4.平面x+y一3z+1=0与平面2x+y+z=0相互关系是()。

A.斜交B.垂直C.平行D.重合

5.

6.

7.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.2

8.

9.设k＞0，则级数为()．A.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与k有关

10.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)

11.A.2B.2xC.2yD.2x+2y

12.

13.

14.下列等式成立的是（）。

A.

B.

C.

D.

15.

16.

17.

18.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

19.下列命题中正确的有()．

20.A.sin(2x－1)＋C

B.

C.－sin(2x－1)＋C

D.

21.

22.A.A.2

B.1

C.1/2e

D.

23.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是

A.

B.f(x)=(x-4)2，x∈[-2，4]

C.

D.f(x)=｜x｜，x∈[-1，1]

24.当x→0时，x2是x-ln(1+x)的()．

A.较高阶的无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.较低阶的无穷小

25.

26.单位长度扭转角θ与下列哪项无关()。

A.杆的长度B.扭矩C.材料性质D.截面几何性质

27.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

28.

29.A.2B.1C.1/2D.-1

30.A.0B.1/2C.1D.2

31.过点(0,2,4)且平行于平面x+2x=1,y-3x=2的直线方程为

A.x/1=(y-2)/0=(z-4)/-3.

B.x/0=(y-2)/1=(z-4)/-3

C.x/-2=(y-2)/3=(z-4)/1

D.-2x+3(y-2)+z-4=0

32.

33.设函数f(x)=arcsinx，则f'(x)等于()．

A.-sinx

B.cosx

C.

D.

34.设y=cosx，则y''=（）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx

35.A.

B.0

C.

D.

36.

37.

38.设函数f(x)=2lnx+ex,则f'(2)等于

A.eB.1C.1+e2

D.ln2

39.

40.设()A.1B.-1C.0D.2

二、填空题(50题)41.

42.

43.

44.设y=cosx，则y"=________。

45.

46.

47.

48.

49.

50.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.

51.设f(x)在x=1处连续，=2，则=________。

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.级数的收敛区间为______．

61.

62.

63.

64.

65.

66.已知平面π：2x+y-3z+2=0，则过点(0，0，0)且与π垂直的直线方程为______．

67.

68.

69.

70.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=________。

71.

72.

73.为使函数y=arcsin(u＋2)与u=｜x｜-2构成复合函数，则x所属区间应为__________．

74.

75.

76.

77.

78.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]的最大值为2，最小值为-29，又知a＞0,则a，b的取值为______.

79.

80.

81.级数的收敛半径为______．

82.如果函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=________。

83.设y=ex，则dy=_________。

84.

85.

86.

87.

88.

89.设y=f(x)可导，点xo=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为__________．

90.

三、计算题(20题)91.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

92.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

93.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

94.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

95.

96.求微分方程的通解．

97.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

98.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

99.

100.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

101.

102.

103.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

104.

105.

106.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

107.证明：

108.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

109.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

110.

四、解答题(10题)111.证明：在区间(0，1)内有唯一实根．

112.

113.

114.

115.

116.

117.求由曲线y=3-x2与y=2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．

118.

119.

120.设函数y=xsinx，求y'．

五、高等数学(0题)121.x=f(x，y)由x2+y2+z2=1确定，求zx，zy。

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.C解析：

2.C解析：

3.B

4.Bπ1x+y一3z+1=0的法向量n1=(1，1，一3)π2：2x+y+z=0的法向量n2=(2，1，1)∵n1.n2=(1，1，一3).(2，1，1)=0∵n1⊥n2；∴π1⊥π2

5.D

6.A

7.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

8.C

9.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

由于为莱布尼茨级数，为条件收敛．而为莱布尼茨级数乘以数-k，可知应选A．

10.C

11.A

12.B

13.C

14.C

15.A

16.B

17.D解析：

18.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

19.B解析：

20.B本题考查的知识点为不定积分换元积分法。

因此选B。

21.C

22.B

23.C

24.C解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

由于

可知当x→0时，x2与x-ln(1+x)为同阶但不等价无穷小．故应选C．

25.C解析：

26.A

27.C

28.A

29.A本题考查了函数的导数的知识点。

30.D本题考查了二元函数的偏导数的知识点。

31.C本题考查了直线方程的知识点.

32.D

33.C解析：本题考查的知识点为基本导数公式．

可知应选C．

34.Cy=cosx，y'=-sinx，y''=-cosx.

35.A

36.A

37.A

38.C本题考查了函数在一点的导数的知识点.

因f(x)=2lnx+ex,于是f'(x)=2/x+ex,故f'(2)=1+e2.

39.D

40.A

41.

42.2

43.31/16;2本题考查了函数的最大、最小值的知识点.

f'(x)=3ax2-12ax,f'(x)=0,则x=0或x=4,而x=4不在[-1,2]中,故舍去.f''(x)=6ax-12a,f''(0)=-12a,因为a＞0,所以f"(0)＜0,所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a,f(0)=b,f(2)=8a-24a+b=b-16a,因为a＞0,故当x=0时,f(x)最大,即b=2;当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29,即16a=2+29=31,故a=31/16.

44.-cosx

45.-1本题考查了利用导数定义求极限的知识点。

46.1/2

本题考查的知识点为计算二重积分．

其积分区域如图1—1阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿Y轴正向看，人口曲线为y＝x，作为积分下限；出口曲线为y＝1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x＝0，最大值为x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x＝0，作为积分下限；出口曲线为x＝y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y＝0，最大值为y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知

47.

48.

49.

解析：

50.

51.由连续函数的充要条件知f(x)在x0处连续，则。

52.x2+y2=Cx2+y2=C解析：

53.

54.e1/2e1/2

解析：

55.

解析：

56.

57.

58.y''=x(asinx+bcosx)

59.

60.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．

61.1

62.3

63.1/x

64.

65.0

66.

本题考查的知识点为直线的方程和平面与直线的关系．

由于直线与已知平面垂直，可知直线的方向向量s与平面的法向量n平行．可以取s=n=(2，1，-3)，又已知直线过点(0，0，0)，由直线的标准式方程可知

为所求．

67.

68.3/2本题考查了函数极限的四则运算的知识点。

69.e-1/2

70.0因为sinx为f(x)的一个原函数，所以f(x)=(sinx)"=cosx，f"(x)=-sinx。

71.1/e1/e解析：

72.

本题考查的知识点为二重积分的计算．73.[-1，1

74.

解析：

75.

解析：

76.

77.(1+x)2

78.

f'(x)=3ax2-12ax，f'(x)=0,则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]中，故舍去.f''(x)=6ax-12a，f''(0)=-12a，因为a＞0，所以，f''(0)＜0，所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0,故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29，即16a=2+29=31，故a=.

79.

本题考查的知识点为定积分运算．

80.(-22)

81.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给级数为缺项情形，由于

82.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

83.exdx

84.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。

85.

86.(1/3)ln3x+C

87.22解析：

88.

89.

90.1

91.函数的定义域为

注意

92.

93.

94.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

95.

96.

97.

98.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

99.

100.

列表：

说明

101.

102.

则

103.由二重积分物理意义知

104.由一阶线性微分方程通解公式有

105.

106.由等价无穷小量的定义可知

107.

108.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

109.

110.

111.