2022-2023学年四川省眉山市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年四川省眉山市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.

2.

3.设y=3+sinx，则y=()A.-cosxB.cosxC.1-cosxD.1+cosx

4.微分方程y’-4y=0的特征根为（）A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

5.

6.

7.如图所示，在乎板和受拉螺栓之间垫上一个垫圈，可以提高()。

A.螺栓的拉伸强度B.螺栓的剪切强度C.螺栓的挤压强度D.平板的挤压强度

8.

9.

10.设函数f(x)在区间(0，1)内可导，f'(x)＞0，则在(0，1)内f(x)()．A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量

11.设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则必定存在一点ξ∈(a，b)使得（）A.f(ξ)>0B.f(ξ)<0C.f(ξ)=0D.f(ξ)=0

12.

13.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

14.

15.设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论肯定正确的是()。A.

B.

C.

D.

16.曲线y＝1nx在点(e，1)处切线的斜率为（）．A.A.e2

B.eC.1D.1/e

17.

18.下列反常积分收敛的是（）。

A.

B.

C.

D.

19.

20.已知

则

=()。

A.

B.

C.

D.

21.A.A.条件收敛B.绝对收敛C.收敛性与k有关D.发散

22.设y=cos4x，则dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx

23.A.-3-xln3

B.-3-x/ln3

C.3-x/ln3

D.3-xln3

24.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

25.设()A.1B.-1C.0D.2

26.滑轮半径r=0．2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A，如图所示。已知滑轮绕轴0的转动规律φ=0．15t3rad，其中t单位为s，当t=2s时，轮缘上M点的速度、加速度和物体A的速度、加速度计算不正确的是()。

A.M点的速度为vM=0．36m／s

B.M点的加速度为aM=0．648m／s2

C.物体A的速度为vA=0．36m／s

D.物体A的加速度为aA=0．36m／s2

27.

28.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

29.设y＝x－5，则dy＝（）．A.A.－5dxB.－dxC.dxD.(x－1)dx

30.

31.

32.

33.前馈控制、同期控制和反馈控制划分的标准是（）

A.按照时机、对象和目的划分B.按照业务范围划分C.按照控制的顺序划分D.按照控制对象的全面性划分

34.

35.

36.为了提高混凝土的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，梁中钢筋(图中虚线所示)配置最为合理的是()。

A.

B.

C.

D.

37.

38.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

39.

40.

二、填空题(50题)41.设y=sinx2，则dy=______．

42.

43.

44.45.

46.

47.

48.

49.ylnxdx+xlnydy=0的通解是______.

50.

51.

52.

53.若f'(x0)=1，f(x0)=0,则54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.设y=e3x知，则y'_______。

61.

62.若∫x0f(t)dt=2e3x-2，则f(x)=________。

63.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]的最大值为2，最小值为-29，又知a＞0,则a，b的取值为______.

64.65.66.

67.

68.设y=cos3x，则y'=__________。

69.将积分改变积分顺序，则I=______.

70.

71.

72.

73.过坐标原点且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程为_________.

74.

75.

则b__________.

76.

77.

78.微分方程xy'=1的通解是_________。79.

80.

81.已知平面π：2x+y一3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为________．

82.

83.

84.85.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．86.f(x)=lnx，则f[f(x)]=__________。

87.

88.

89.

90.

三、计算题(20题)91.

92.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

93.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．94.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则95.

96.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．97.98.求微分方程的通解．99.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．100.证明：101.

102.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

103.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

104.

105.求曲线在点(1，3)处的切线方程．106.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．107.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

108.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

109.

110.四、解答题(10题)111.求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S及此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积．

112.

113.将展开为x的幂级数．

114.

115.

116.

117.(本题满分8分)

118.(本题满分8分)

119.120.五、高等数学(0题)121.某工厂每月生产某种商品的个数x与需要的总费用函数关系为10+2x+

(单位：万元)。若将这些商品以每个9万元售出，问每月生产多少个产品时利润最大?最大利润是多少?

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.A

2.A解析：

3.B

4.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B．

5.D

6.A

7.D

8.C

9.D解析：

10.A由于f(x)在(0，1)内有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A．

11.D

12.A

13.B本题考查了函数的单调性的知识点，

因y'=ex+1/（1+x2）＞0处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的，故在[-1,1]上单调增加。

14.C

15.D本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系由函数连续性的定义：若在x0处f(x)连续，则可知选项D正确，C不正确。由于连续性并不能保证f(x)的可导性，可知A不正确。自于连续必定能保证极限等于f(x0)，而f(x0)不一定等于0，B不正确。故知应选D。

16.D本题考查的知识点为导数的几何意义．

由导数的几何意义可知，若y＝f(x)在点x0处可导，则曲线)，y＝f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f(x0)．

由于y＝lnx，可知可知应选D．

17.D

18.D

19.D解析：

20.A

21.A本题考杏的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

22.B

23.A由复合函数链式法则可知，因此选A．

24.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性。

25.A

26.B

27.C解析：

28.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

29.C本题考查的知识点为微分运算．

因此选C．

30.A

31.B

32.B

33.A解析：根据时机、对象和目的来划分，控制可分为前馈控制、同期控制和反馈控制。

34.C

35.D

36.D

37.B

38.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

39.C解析：

40.B41.2xcosx2dx本题考查的知识点为一元函数的微分．

由于y=sinx2，y'=cosx2·(x2)'=2xcosx2，故dy=y'dx=2xcosx2dx．

42.-ln｜3-x｜+C

43.3/244.6．

本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

45.

本题考查的知识点为二重积分的性质．

46.

47.

48.（-21）（-2，1）

49.(lnx)2+(lny)2=C

50.

解析：51.2本题考查的知识点为极限运算．

由于所给极限为“”型极限，由极限四则运算法则有

52.53.-154.ln(1+x)+C本题考查的知识点为换元积分法．

55.56.1．

本题考查的知识点为反常积分，应依反常积分定义求解．

57.58.5．

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

解法1

解法2

59.22解析：60.3e3x

61.(01]

62.6e3x

63.

f'(x)=3ax2-12ax，f'(x)=0,则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]中，故舍去.f''(x)=6ax-12a，f''(0)=-12a，因为a＞0，所以，f''(0)＜0，所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0,故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29，即16a=2+29=31，故a=.64.1

65.66.本题考查的知识点为重要极限公式。

67.[e+∞)(注：如果写成x≥e或(e+∞)或x＞e都可以)。[e,+∞)(注：如果写成x≥e或(e,+∞)或x＞e都可以)。解析：

68.-3sin3x

69.

70.2

71.3x2siny72.

73.3x-7y+5z=0本题考查了平面方程的知识点。已知所求平面与3x-7y+5z-12=0平行,则其法向量为(3,-7,5),故所求方程为3(x-0)+(-7)(y-0)+5(z-0)=0,即3x-7y+5z=0.

74.极大值为8极大值为8

75.所以b=2。所以b=2。76.e-1/2

77.278.y=lnx+C

79.

80.(12)(01)

81.

本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．

由于平面π与直线1垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取

82.83.2．

本题考查的知识点为极限的运算．

能利用洛必达法则求解．

如果计算极限，应该先判定其类型，再选择计算方法．当所求极限为分式时：

若分子与分母的极限都存在，且分母的极限不为零，则可以利用极限的商的运算法则求极限．

若分子与分母的极限都存在，但是分子的极限不为零，而分母的极限为零，则所求极限为无穷大量．

检查是否满足洛必达法则的其他条件，是否可以进行等价无穷小量代换，所求极限的分子或分母是否有非零因子，可以单独进行极限运算等．

84.

85.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．

86.则

87.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)2cos(x2+y2)(xdx+ydy)解析：

88.

89.

90.2

91.

92.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

93.

94.由等价无穷小量的定义可知

95.

则

96.

97.

98.

99.

100.

101.由一阶线