2022-2023学年安徽省合肥市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年安徽省合肥市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

A.0

B.

C.1

D.

2.

3.

4.当x→0时，3x2+2x3是3x2的()。A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小但不是等价无穷小D.等价无穷小5.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

6.（）。A.收敛且和为0

B.收敛且和为α

C.收敛且和为α-α1

D.发散

7.A.A.2B.-1/2C.1/2eD.(1/2)e1/2

8.函数y=ex+e-x的单调增加区间是

A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.(-1,1)D.[0,+∞)9.设()A.1B.-1C.0D.210.等于()。A.-1B.-1/2C.1/2D.111.函数y=x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ=A.A.-3/4B.0C.3/4D.112.。A.2B.1C.-1/2D.0

13.∫1+∞e-xdx=()

A.-eB.-e-1

C.e-1

D.e14.A.A.－sinx

B.cosx

C.

D.

15.下列命题中正确的为

A.若x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，则点x0必为f(x)的极值点

C.若f'(x0)≠0，则点x0必定不为f(x)的极值点

D.若f(x)在点x0处可导，且点x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

16.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.217.∫cos3xdx=A.A.3sin3x+CB.-3sin3x+CC.(1/3)sin3x+CD.-(1/3)sin3x+C

18.

19.

20.

二、填空题(20题)21.若函数f(x)=x-arctanx，则f'(x)=________.

22.

23.

24.

25.26.

27.28.29.30.

31.

32.33.34.级数的收敛区间为______．35.

36.

37.

38.函数x=ln(1＋x2-y2)的全微分dz=_________．

39.

40.

三、计算题(20题)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．44.求微分方程的通解．45.

46.证明：47.

48.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

49.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．50.

51.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．52.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．53.54.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

55.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

56.

57.

58.求曲线在点(1，3)处的切线方程．59.60.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则四、解答题(10题)61.设有一圆形薄片x2+y2≤α2，在其上一点M(x，y)的面密度与点M到点(0，0)的距离成正比，求分布在此薄片上的物质的质量。

62.63.64.

(1)切点A的坐标(a，a2)．

(2)过切点A的切线方程。

65.

66.

67.

68.

69.

70.(本题满分10分)

五、高等数学(0题)71.函数f(x)=xn(a≠0)的弹性函数为g(x)=_________.

六、解答题(0题)72.求曲线y=x2、直线y=2-x与x轴所围成的平面图形的面积A及该图形绕y轴旋转所得旋转体的体积Vy。

参考答案

1.A

2.A

3.C

4.D本题考查的知识点为无穷小阶的比较。

由于，可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小，故应选D。

5.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

6.C

7.B

8.D考查了函数的单调区间的知识点.

y=ex+e-x,则y'=ex-e-x,当x＞0时,y'＞0,所以y在区间[0,+∞)上单调递增。

9.A

10.C本题考查的知识点为定积分的运算。

故应选C。

11.D

12.A

13.C

14.C本题考查的知识点为基本导数公式．

可知应选C．

15.D解析：由极值的必要条件知D正确。

y=｜x｜在x=0处取得极值，但不可导，知A与C不正确。

y=x3在x=0处导数为0，但x0=0不为它的极值点，可知B不正确。因此选D。

16.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

17.C

18.A

19.D

20.D

21.x2/(1+x2)本题考查了导数的求导公式的知识点。22.本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系．由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，一3)，因此可取n=(2，1，－3)．由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y一3z=0．

23.

24.

25.

26.

27.ln2

28.29.本题考查的知识点为重要极限公式．30.1．

本题考查的知识点为二元函数的极值．

可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．

31.

解析：

32.33.本题考查的知识点为无穷小的性质。34.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．

35.

36.y

37.

38.

39.

40.[-11]

41.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

42.

43.

列表：

说明

44.

45.

则

46.

47.

48.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％49.函数的定义域为

注意

50.由一阶线性微分方程通解公式有

51.

52.由二重积分物理意义知

53.

54.

55.

56.

57.

58.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

59.

60.由等价无穷小量的定义可知

61.

62.

63.64.本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程．

α=1．

因此A点的坐标为(1，1)．

过A点的切线方程为y一1=2(x一1)或y=2x一1．

本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧．

65.

66.67.本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系)．

利用极坐标，区域D可以表示为

0≤0≤π，0≤r≤2，

如果积分区域为圆域或圆的－部分，被积函数为f(x2＋y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便．

使用极坐标计算二重积分时，要先将区域D的边界曲线化为极坐标下的方程表示，以确定出区域D的不等式表示式，再将积分化为二次积分．

本题考生中常见的错误为：

被积函数中丢掉了r．这是将直角坐标系下的二重积分化为极坐