原创2016年 《南方新中考》 数学 第一部分 第四章 第2讲 第2课时 等腰三角形与直角三角形配套课件

第2课时等腰三角形与直角三角形

1.理解等腰三角形的有关概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个底角相等的三角形是等腰三角形.

2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°；探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.

3.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.

4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；反之，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.

5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 6.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.知识点内容等腰三角形的判定 与性质判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形，即“等边对等角”；(等腰三角形的定义)(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”性质(1)等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；(2)三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相________；(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线重合知识点内容等边三角形的判定与性质判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形性质(1)等边三角形的三条边相等；(2)等边三角形的三个角都是60°；(3)对称性：等边三角形是轴对称图形，有____条对称轴角平分线和线段的垂直平分线角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上(续表)三知识点内容角平分线和线段的垂直平分线垂直平分线的性质线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等垂直平分线 的逆定理到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上直角三角形的判定 与性质判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理；(3)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形(续表)知识点内容直角三角形的判定与性质性质(1)直角三角形的两个锐角________；(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的________；(3)在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的________勾股定理及其逆定理勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形(续表)互余一半一半等腰(边)三角形的性质与判定例1：(2015年江苏宿迁)如图4-2-23，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.图4-2-23

[思路分析]根据等腰三角形的定义和平行线的性质得出∠ABD＝∠CBD＝∠D，∠C＝∠ABC，由此可得出结论.

证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，

∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.

例2：(2014年浙江温州)如图4-2-24，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数.(2)若CD＝2，求DF的长.图4-2-24[思路分析](1)根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解.(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解.解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形.∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.【试题精选】1.(2015年湖北黄石)如图4-2-25，在等腰三角形

ABC中，)AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(

图4-2-25A.36°B.54°C.18°D.64°答案：B2.(2015年江苏宿迁)若等腰三角形中有两边长分别为2和)B.12D.9或125，则这个三角形的周长为( A.9 C.7或9

答案：B3.(2015年北京)如图

4-2-26，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.图4-2-26证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD.∴∠CBE＝∠BAD.

[名师点评]解决与等腰三角形相关的计算问题时，一定要分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出正确答案.证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在同一个三角形中，可利用角证边或用边证角；若它们在不同的三角形中，则通过证两个三角形全等来实现.角平分线与垂直平分线

例3：(2015年湖北荆州)如图4-2-27，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E.若△ABC与△EBC的周长分别是40cm,24cm，则AB＝________cm.图4-2-27解析：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.∵△ABC的周长＝AB＋AC＋BC，△EBC的周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC，∴△ABC的周长－△EBC的周长＝AB.∴AB＝40－24＝16(cm).答案：16[思想方法]运用转化思想是解决本题的关键，即利用垂直平分线的性质将△EBC的周长转化为AC＋BC.例4：(2015年广西)如图

4-2-28，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是________.图4-2-28解析：∵CD是∠ACB的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF＝2.答案：4[易错陷阱]角平分线上的点到角的两边的距离相等，注意必须是垂直距离，否则不成立.

【试题精选】

4.(2015年四川达州)如图

4-2-29，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.)若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为(

图4-2-29A.48°B.36°C.30°D.24°答案：A

5.(2015年山东聊城)如图

4-2-30，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线.若AB＝6，则点D到AB的距离是________.

图4-2-30勾股定理及其应用

例5：(2014年湖南湘潭)如图4-2-31，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800米，求在直图4-2-31

[思路分析]首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2＋BC2＝BD2，然后再代入BD＝800米进行计算即可.解：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°.∵∠ABD＝135°，∴∠DBC＝45°.∴∠D＝45°.∴CB＝CD.在Rt△DCB中，CD2＋BC2＝BD2，答：在直线l上距离D点566米的C处开挖.

[思想方法]在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.【试题精选】

6.(2014年湖北黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图4-2-32，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：

(2)若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由.(不计候车时间)图4-2-32解：(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E(如图D22).图D22

∴选择先乘坐城际列车，再坐市内公共汽车的乘车方案.

[名师点评]解决直角三角形问题的关键：一是能熟练运用勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活运用直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜边上中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往要构造直角三角形(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形).图4-2-33图D232.(2012年广东)如图4­2­34，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC

＝72°.(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数.图4-2-34解：(1)如图D24，①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F；图D24弧相交于点G，连接BG交AC于点D即可.(2)∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠A＝180°－2∠ABC＝180°－144°＝36°.∵BD是∠ABC的平分线，∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°.

3.(2015年广东)