研究生传热学课第4章

第4章TransientnumericalmethodNumericalmethodoranalyticalmethod?tt0twx123x1x2x3精确度高分析法解析解连续性微分方程分析法：

（1）分析传热现象，确定传热方式，建立简化的物理模型。

（2）建立数学模型，包括导热微分方程和单值性条件；

（3）利用数学物理方法求温度与空间和时间的函数关系式

求解困难1/13/20231Numericalmethod近似解数值法数值解离散性代数方程求解容易求各种数学问题近似解的方法和理论数值分析数学模型实际问题计算机近似解数值计算法是求解稳态和非稳态导热问题的十分有效的方法。数值传热学发展较快。1/13/20232分析问题数学描述：导热微分方程式与单值性条件方程离散化连续性变为离散点微分变为代数联立代数方程求解借助计算机编程求出离散点温度求热流场讨论分析结果BasicstepsforNumericalmethodinheatconduction1/13/202332、finitedifferencemethod：有限差分法比较成熟，应用广泛。下面主要介绍有限差分法的基本原理。离散方法有限差分法（FDM）有限容积法（FVM）有限元法（FEM）边界元法（BEM）谱分析方法（SM）数值积分变换法（ITM）格子-Boltzmann方法（LBM）控制容积有限元法(CVFEM)。1、微分方程、边界条件及初始条件的离散方法主要有：1/13/20234区域离散化（for2-Dsteady-state）网格线的交点为节点i,j表示x，y方向节点的序列号；Δx,Δy表示相邻节点之间的距离；即步长；阴影面积为节点所代表的微元体，网格线节点1/13/20235k表示时间节点时间的离散化（for1-Dtransent）时间的离散为：在时间上划分为若干个时间间隔

Δ1/13/202364.1

建立离散方程用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数）eg:xdx，导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。

1.求解域的离散化

1)子区域的划分选择网格宽度x、y（步长），划分子区域。

2)节点的选择网线交点为节点，用i,j表示。常物性、无内热源的二维稳态导热：

1/13/20237

两种方法：泰勒级数展开法与控制容积热平衡法。

1)泰勒级数展开法对节点（i+1,j）和（i-1,j）分别写出温度在(i,j)节点的泰勒级数展开式：将上两式相加，得截断误差中心差分格式2.

节点温度差分方程的建立1/13/20238同样可得y方向得二阶偏导数对于无内热源的二维稳态导热，导热微分方程为将以上两式代入，并忽略截断误差，得取x=y，得1/13/20239一阶导数的有限差分上述两式相减得：1/13/202310根据节点所代表的元体在导热过程中的能量守恒来建立节点温度差分方程。(1)

内部节点温度差分方程无内热源的二维稳态导热:内部节点(i,j

)所代表的元体在导热过程中的热平衡对于垂直于画面方向单位宽度，选择x=y

2)元体热平衡法1/13/202311上式可整理为可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度的算术平均值。

(2)

边界节点温度差分方程

对于具有第三类边界条件的边界节点(i,j)所代表的元体，根据其热平衡，

选择步长x=y

，将上式简化1/13/202312令称为网格毕渥数。上式可整理为第三类边界条件下的外拐角边界节点：第三类边界条件下的内拐角边界节点：1/13/202313绝热边界节点：

运用有限差分方法可以建立导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程。求解这些差分方程构成一个线性代数方程组就可以得节点温度的数值。1/13/2023144.2

节点温度差分方程组的求解方法

线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用的迭代法中的两种：1.简单迭代法

2.高斯-塞德尔迭代法1/13/202315其中aij、bi为常数，且aij0。改写为显函数形式：

假设1.简单迭代法1/13/2023162.

高斯-塞德尔迭代法

高斯-塞德尔迭代法是在简单迭代法的基础上加以改进的迭代运算方法。它与简单迭代法的主要区别是在迭代运算过程中总使用最新算出的数据。

高斯-塞德尔迭代法比简单迭代法收敛速度快。1/13/2023171/13/202318

4.3

非稳态导热问题的数值解法非稳态导热数值解法的特点：（1）非稳态导热微分方程多了非稳态项，因此单值性条件中增加了初始条件；（2）除了对空间域进行离散外，还需要对时间进行域离散；（3）利用热平衡法导出节点温度方程时需要考虑控制容积的热力学能随时间的变化；（4）由于时间和空间同时离散，在有些情况下空间步长和时间步长不能任意选择，否则会带来节点温度方程求解的稳定性问题。1/13/202319以第三类边界条件下常物性、无内热源大平壁的一维非稳态导热问题为例。

1.求解域的离散

2.节点温度差分方程的建立

运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和边界节点温度差分方程。空间步长为x，时间步长为

,表示空间节点i在k时刻（简称k时刻）的节点温度。4.3.1

一维非稳态导热的数值求解：1/13/202320

（1）内部节点温度差分方程

内部节点i所代表的控制容积在k时刻的热平衡：

如果节点i的温度对时间的变化率采用向前差分，热平衡方程式可写成令网格付里叶数

内部节点温度方程的显式差分格式

1/13/202321

Twopoints：

(a)

任意一个内部节点i在(k+1)时刻的温度都可以由该节点及其相邻节点在k

时刻的温度由上式直接求出，不必联立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温度出发依次求出各时刻的节点温度；

(b)

必须满足显式差分格式的稳定性条件，即

稳定性条件说明，一旦空间步长x或时间步长的数值确定之后，另一个步长的数值的就不能任意选择，必须满足稳定性条件。1/13/202322隐式差分格式：如果节点i的温度对时间的变化率采用向后差分，内部节点i所代表的控制容积的热平衡方程式可写成令网格付里叶数

1/13/202323内部节点温度方程的隐式差分格式

隐式格式与显式格式的区别：节点i的下一时刻温度是用自身节点的当前时刻以及相邻节点的下一时刻温度来表示的，因此必须一次列出全部节点的差分方程并联立求解。隐式格式的计算工作量大，但不受上述稳定性条件的限制，即可以任意选择时间与空间步长。1/13/202324

(2)边界节点温度差分方程

边界节点0所代表的控制容积在k时刻的热平衡：

如果节点0的温度对时间的变化率采用向前差分，热平衡方程式可写成引进网格付里叶数

和网格毕渥数上式写成显函数的形式边界节点温度方程的显式差分格式

1/13/202325同内部节点温度方程的显式差分格式的道理一样，上式必须满足显式差分格式的稳定性条件，即

因为，所以只要满足上式，自然满足内部节点温度方程显式差分格式的稳定性条件。因此上式是第三类边界条件下一维非稳态导热所有节点温度方程显式差分格式的稳定性条件。对比1/13/202326如果节点0的温度对时间的变化率采用向后差分，热平衡方程式可写成引进网格付里叶数

和网格毕渥数边界节点温度方程的隐式差分格式

边界节点温度方程的隐式差分格式

1/13/202327

（1）付里叶定律表达式及其适用条件;

重点掌握以下内容：（3）导热问题的数学描述（数学模型）;

（2）物体导热系数