第三章 傅里叶变换2

§3.3典型周期信号的傅里叶级数1本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析，讨论：频谱的特点频谱结构频带宽度能量分布希望通过对周期矩形脉冲信号的讨论，起到举一反三的作用。其他信号，如周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号自学。其问题结构与周期矩形脉冲信号是相同的。§3.3典型周期信号的傅里叶级数2一、周期矩形脉冲信号1．三角形式的谱系数是个偶函数3

周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为

f(t)的指数形式的傅里叶级数为42、指数形式的谱系数3、频谱图56包络线形状：抽样函数；最大值在处，为；离散谱（谐波性），仅当时取值；第一个零点坐标为因为一般是复函数（此处为实函数），时，相位为0；时，相位为。频谱特点7

4、频谱结构与波形参数的关系（t1,）

1.若不变，扩大一倍，即8

2.若不变，减小一半，即

谱线间隔只与周期有关，且与成反比；零值点频率只与有关，且与成反比；而谱线幅度与和都有关系，且与成反比与成正比。9总结矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：

（1）离散性；（2）谐波性；（3）收敛性。105、频带宽度问题提出第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。11周期矩形脉冲信号的功率而总功率

二者比值

12频带宽度在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。即

越大，其wb越小；反之，越小，其wb

越大。

物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。13语音信号频率大约为 300~3400hz，音乐信号 50~15,000hz，扩大器与扬声器有效带宽约为15~20,000h对于一般周期信号，将幅度下降为的频率区间定义为频带宽度。信号的有效带宽有多种定义方式。说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。频带宽度系统的通频带>信号的带宽，才能不失真14对称方波是周期矩形的特例t1t1/4-t1/4实偶函数周期矩形对称方波奇次余弦15对称方波的频谱变化规律tt/4-t/416二、周期锯齿脉冲信号e/2tf(t)-e/2t1/2-t1/2周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。17三、周期三角脉冲信号周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以的规律收敛。ef(t)t-t1-t1/2t1/2t118分析问题使用的数学工具为傅里叶级数最重要概念：频谱函数要点

1.频谱的定义、物理意义

2.频谱的特点

3.频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱

4.功率谱的概念及在工程中的应用周期信号的频谱分析小结19§3.4非周期信号的频谱分析─傅里叶变换本节内容是本章的核心，也是本课程最难理解接受的部分。本节的主要内容为：傅里叶变换傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的特殊形式傅里叶变换存在的条件重点：傅里叶变换的定义难点：傅里叶变换的物理意义

20一、连续时间信号的傅氏变换及其频谱从傅里叶级数到傅里叶变换频谱函数与频谱密度函数的区别傅里叶反变换非周期矩形脉冲信号的频谱分析21周期信号的离散谱非周期信号的连续谱由于1、从傅里叶级数到傅里叶变换22频谱密度函数则记为f[f(t)]-----------非周期信号f(t)

的傅里叶变换---------傅里叶逆变换f–1物理意义:f(jw)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。232、频谱函数与频谱密度函数的区别------连续谱、相对幅度周期信号：------离散谱、实际幅度频谱函数：频谱密度函数：关系：24频谱演变的定性观察-t/2t/2t/2-t/225小结（1）周期信号的频谱为离散频谱，

非周期信号的频谱为连续频谱。（2）周期信号的频谱为fn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为t1fn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。两者关系：263、傅里叶反变换物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，复振幅为[f(j)/2p]d

的虚指数信号ejw

t的线性组合。t1

,记nw1=w,w1=2p/t1=dw,274．傅里叶变换对（正变换）

（逆变换）简写为

28傅里叶变换的物理意义

的连续余弦信号之和，其含义为：无穷多个振幅为无穷小

其含义为：无穷多个振幅为无穷小

的连续指数信号之和

29傅里叶变换的特殊形式进一步得到：

f(t)偶函数(奇分量为零）

实偶函数，只有

相位

f(t)奇函数(偶分量为零）

虚奇函数，只有

相位30傅里叶变换存在的条件注：所有能量信号均满足此条件。当引入函数的概念后，允许变换的函数类型大大扩展了。但这类函数的傅里叶变换中将包含冲激函数的形式，计算过程不宜采用直接带入定义计算的方法

狄里赫莱条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些点必须是有限值。31§3.5典型非周期信号的频谱本课程求解信号的傅里叶变换的方法就是合适地选取一个典型信号，建立该信号与典型信号的关系，根据该关系，利用傅里叶变换的性质，求得该信号的傅里叶变换。本节就是介绍若干典型信号的傅里叶变换，包括矩形脉冲信号单边指数信号直流信号符号函数重点：矩形脉冲的频谱密度函数难点：不满足绝对可积条件信号的傅里叶变换的求解32一、单边指数信号

幅度频谱相位频谱33相位频谱幅度频谱一、单边指数信号

34幅度频谱

相位频谱二、双边指数信号e-a|t|35三、矩形脉冲信号频宽：

周期矩形脉冲信号：之间满足如下关系：信号在时域有限，则在频域将无限延续。36脉冲宽度越窄，有效带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。37四、直流信号直流信号：不满足绝对可积条件，所以不能直接用定义求。采用矩形脉冲求极限的方法，即演示p120图3-2838推导：注：

p17（1-35）39即：时域无限宽，频带无限窄。

当

不改变所以

注：

40四、符号函数

处理方法：做一个双边函数

()().1wwff，求极限得到求()()sgn1aettft-=41频谱图42§3.6

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换本节依然是介绍典型信号的傅里叶变换，包括冲激函数冲激偶单位阶跃函数这些函数在以后的应用中非常广泛，所以单独讨论。43一、冲激函数的傅里叶变换44比较对照冲激、直流时频曲线可看出:

时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。45二、冲激偶的傅里叶变换奇函数虚数46二、冲激偶的傅里叶变换f即：上式两边对t求导得：f同理：f47三、单位阶跃函数将单位阶跃信号用直流和符号函数表示48()wwpdjtu1)(+«0w()p0ww0()wf()p49§3.7傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。傅里叶变换具有唯一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：

1.了解特性的内在联系

2.用性质求

3.了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。

50傅立叶变换的基本性质1.

线性特性 2.共轭对称特性3.对称互易特性 4.展缩特性 5.

时移特性6.频移特性7.时域卷积特性 8.频域卷积特性9.时域微分特性10.积分特性 11.频域微分特性12.能量定理51一、互易对称特性5202πf(ω)ω(2π)tf(t)=1010f(jω)=1ω1例如：0(1)t又如：53例题1、2、3、54利用傅里叶变换的互易对称性，可以将求傅里叶逆变换的问题转化为求傅里叶变换来进行。f即fff若则55f例：求解：fff56二、线性1．性质2．说明这个性质虽然简单，但实际上是应用最多的。

例

57三、奇偶虚实性（共轭对称特性）奇偶虚实性实际上在“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。1.

2.

证明：由定义

可以得到

ff如：ff58四、尺度变换性质证明时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。59(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。因此高频分量减少，幅度上升a倍。60(2)a>1时域压缩，频域扩展a倍。持续时间短，变化加快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。

此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。61五、时移特性式中t0为任意实数证明：令x=t-t0，则dx=

dt，代入上式可得信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。同理f62例1

试求图示延时矩形脉冲信号x1(t)的频谱函数x1(jw)。解：

无延时且宽度为的矩形脉冲信号x(t)

如图，因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为63幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移64例题：求下图所示函数的傅里叶变换。解：

由对称关系求

又因为

65幅频、相频特性分别如下图所示。幅度频谱无变化，只影响相位频谱66六、时移+尺度变换

1.性质：2.

证明：(仿的证明过程)3.

例

题672.证明：当时，设，则68例题方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换两种方法结果相同。

例3-2,3-369七、频移特性（调制定理）1．性质2．证明3．说明频谱搬移技术70可见，此时其频谱一分为二，并沿频率轴向左和向右各平移具体推导频谱搬移技术71调幅信号的频谱（载波技术）求：的频谱？72频移特性载波频率73调幅信号都可看成乘积信号矩形调幅指数衰减振荡三角调幅求它们的频谱=？（略）74调幅信号的频谱等于将包络线的频谱一分为二，各项左、右移载频例3-4：求矩形调幅信号的频谱函数，已知f(t)=g(t)cosω0t，其中

g(t)为矩形脉冲，脉幅为a,脉宽为τ。75例3-5：求的频谱。

解：

fff76八、时域微分性质1.性质2.证明3.推论)()()(

)(wwfjtfnn«774.特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。78九、频域微分性质或

则

例解：79例

解：p121，3-4880十、时域积分性质81证明82例题——时域积分性质1.求单位阶跃函数的傅里叶变换。解：则832.求三角函数的频谱密度函数．分析：

（例3-6）冲激函数求导¾¾®¾84解：85例3-7求下列斜平信号的频谱分析：86ft0ftft87用ft积分特性求阶跃的ft斜平信号ft88例4

试利用积分特性求图示信号x(t)的频谱函数。解：

将x(t)表示为x1(t)+x2(t)即89修正的时域积分性质则

90例5

试利用修正的积分特性求图示信号x(t)的频谱函数。

解：

利用修正的积分特性，可得与例4结果一致！91§3.8卷积定理本课程中卷积是求解信号作用于系统的响应的基本，也是主要的手段。时域中的卷积关系在频域中对应的卷积定理，揭示了时间域与频率域的运算关系，是通信系统和信号处理研究领域中应用最广泛的傅里叶变换性质之一。92时域卷积定理

1.内容2.证明：交换积分次序

所以这说明：时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。93频域卷积定理这说明：时域中的乘积对应于频域中的卷积的倍。

94卷积定理的应用用时域卷积定理求频谱密度函数2.求的傅里叶变换3.求系统的响应这样将时域求响应，转化为频域求响应。

例题95例3-9求三角脉冲的频谱解：-τ/4τ/4tg(t)