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文档简介
2022山西省大同市职业中学高二数学文模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.用一个平面截正方体和正四面体,给出下列结论:①正方体的截面不可能是直角三角形;②正四面体的截面不可能是直角三角形;③正方体的截面可能是直角梯形;④若正四面体的截面是梯形,则一定是等腰梯形.其中,所有正确结论的序号是()A.②③ B.①②④ C.①③ D.①④参考答案:D【考点】平行投影及平行投影作图法;棱锥的结构特征.【分析】利用正方体和正四面体的性质,分析4个选项,即可得出结论.【解答】解:①正方体的截面是三角形时,为锐角三角形,正确;②正四面体的截面不可能是直角三角形,不正确;③正方体的截面与一组平行的对面相交,截面是等腰梯形,不正确;④若正四面体的截面是梯形,则一定是等腰梯形,正确.故选D.【点评】本题考查空间线面位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.2.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为(
)A. B.2C. D.参考答案:B【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离,然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心率.【详解】设圆心到直线的距离为,由弦长公式可得:,解得:,双曲线的渐近线方程为:,圆心坐标为,故:,即:,双曲线的离心率.故选:B.【点睛】本题主要考查圆的弦长公式,点到直线距离公式,双曲线离心率的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.某程序的框图如图所示,则运行该程序后输出的的值是(
)A.B.C.D.参考答案:A4.已知是实数,则“且”是“且”的(
).(A)充分而不必要条件
(B)充分必要条件
(C)必要而不充分条件
(D)既不充分也不必要条件参考答案:B5.直线的倾斜角为(
)
参考答案:A略6.圆(x﹣4)2+y2=9和圆x2+(y﹣3)2=4的公切线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条参考答案:C【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【分析】求出两圆的圆心和半径,根据两圆的圆心距小于半径之和,可得两圆相交,由此可得两圆的公切线的条数.【解答】解:圆(x﹣4)2+y2=9,表示以(4,0)为圆心,半径等于3的圆.圆x2+(y﹣3)2=4,表示以(0,3)为圆心,半径等于2的圆.两圆的圆心距等于=5=2+3,两圆相外切,故两圆的公切线的条数为3,故选:C.7.参考答案:A8.位于直角坐标原点的一个质点按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,则质点移动五次后位于点的概率是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C略9.计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低,现在价格为8100元的计算机,9年后的价格可降为()A.2400元 B.900元 C.300元 D.3600元参考答案:A【考点】等比数列.【分析】由题意可设经过9年后成本价格为:8100×,可求【解答】解:由题意可得,9年后计算机的价格为:8100×=8100×=2400故选A【点评】本题主要考查了利用等比数列的通项公式求和,解题的关键是要熟练应用对数方程进行求解.10.直线的倾斜角是()A.
B.
C.
D.参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.展开式中二项式系数最大的项为
.(求出具体的项)参考答案:略12.若向量满足,且与的夹角为,则=
参考答案:13.设实数x,y满足+=1,则x+y的最小值是_________.参考答案:-314.已知菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起,使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离等于_
.参考答案:略15.某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工,甲、乙两名员工必须分配至同一车间,则不同的分配方法总数为___________(用数字作答).参考答案:6略16.已知f(x)=x2+2x·f′(1),则f′(0)=_______.参考答案:-4略17.已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点分别记为,,使,则矩形的顶点的轨迹方程为
▲
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x﹣4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.参考答案:【考点】圆的切线方程;点到直线的距离公式;圆与圆的位置关系及其判定.【专题】直线与圆.【分析】(1)联立直线l与直线y=x﹣1解析式,求出方程组的解得到圆心C坐标,根据A坐标设出切线的方程,由圆心到切线的距离等于圆的半径,列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,确定出切线方程即可;(2)设M(x,y),由MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点M的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,由M在圆C上,得到圆C与圆D相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不等式,求出不等式的解集,即可得到a的范围.【解答】解:(1)联立得:,解得:,∴圆心C(3,2).若k不存在,不合题意;若k存在,设切线为:y=kx+3,可得圆心到切线的距离d=r,即=1,解得:k=0或k=﹣,则所求切线为y=3或y=﹣x+3;(2)设点M(x,y),由MA=2MO,知:=2,化简得:x2+(y+1)2=4,∴点M的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,又∵点M在圆C上,C(a,2a﹣4),∴圆C与圆D的关系为相交或相切,∴1≤|CD|≤3,其中|CD|=,∴1≤≤3,解得:0≤a≤.【点评】此题考查了圆的切线方程,点到直线的距离公式,以及圆与圆的位置关系的判定,涉及的知识有:两直线的交点坐标,直线的点斜式方程,两点间的距离公式,圆的标准方程,是一道综合性较强的试题.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,设的顶点分别为,圆是的外接圆,直线的方程是(1)求圆的方程;(2)证明:直线与圆相交;(3)若直线被圆截得的弦长为3,求的方程.参考答案:(1)设圆的方程为:,则解得圆的方程为:(答案写成标准方程也可)
(2)直线的方程变为:令得,直线过定点.,在圆内,所以直线与圆相交.
(3)圆的标准方程为:,由题意可以求得圆心到直线的距离,,化简得,解得,所求直线的方程为:或.
略20.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1.(1)求证:2a+b=2;(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.参考答案:【考点】3R:函数恒成立问题;R5:绝对值不等式的解法.【分析】(1)法一:根据绝对值的性质求出f(x)的最小值,得到x=时取等号,证明结论即可;法二:根据f(x)的分段函数的形式,求出f(x)的最小值,证明即可;(2)法一,二:问题转化为≥t恒成立,根据基本不等式的性质求出的最小值,从而求出t的范围即可;法三:根据二次函数的性质判断即可.【解答】解:(1)法一:f(x)=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|,∵|x+a|+|x﹣|≥|(x+a)﹣(x﹣)|=a+且|x﹣|≥0,∴f(x)≥a+,当x=时取等号,即f(x)的最小值为a+,∴a+=1,2a+b=2;法二:∵﹣a<,∴f(x)=|x+a|+|2x﹣b|=,显然f(x)在(﹣∞,]上单调递减,f(x)在[,+∞)上单调递增,∴f(x)的最小值为f()=a+,∴a+=1,2a+b=2.(2)方法一:∵a+2b≥tab恒成立,∴≥t恒成立,=+=(+)(2a+b)?=(1+4++),当a=b=时,取得最小值,∴≥t,即实数t的最大值为;方法二:∵a+2b≥tab恒成立,∴≥t恒成立,t≤=+恒成立,+=+≥=,∴≥t,即实数t的最大值为;方法三:∵a+2b≥tab恒成立,∴a+2(2﹣a)≥ta(2﹣a)恒成立,∴2ta2﹣(3+2t)a+4≥0恒成立,∴(3+2t)2﹣326≤0,∴≤t≤,实数t的最大值为.【点评】本题考查了绝对值不等式问题,考查绝对值的性质以及二次函数的性质,考查转化思想,是一道中档题.21.双曲线与椭圆有共同的焦点F1(﹣5,0),F2(5,0),点P(4,3)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.参考答案:【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.【分析】先利用双曲线与椭圆有共同的焦点F1(﹣5,0),F2(5,0),设出对应的双曲线和椭圆方程,再利用点P(4,3)适合双曲线的渐近线和椭圆方程,就可求出双曲线与椭圆的方程.【解答】解:由共同的焦点F1(﹣5,0),F2(5,0),可设椭圆方程为+=1,双曲线方程为﹣=1,点P(4,3)在椭圆上,+=1,a2=40,双曲线的过点P(4,3)的渐近线为y=x,分析有=,计算可得b2=16.所以椭圆方程为:+=1;双曲线方程为:﹣=1.【点评】本题考查双曲线与椭圆的标准方程的求法.在求双曲线与椭圆的标准方程时,一定要先分析焦点所在位置,再设方程,避免出错.22.如图1,已知四边形BCDE为直角梯形,∠B=90°,BE∥CD,且BE=2CD=2BC=2,A为BE的中点,将△EDA沿AD折到△PDA位置(如图2),使得PA⊥平面ABCD,连接PC、PB,构成一个四棱锥P﹣ABCD.(Ⅰ)求证AD⊥PB;(Ⅱ)求二面角B﹣PC﹣D的大小.参考答案:【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】(Ⅰ)推导出ABCD为平行四边形,AD∥BC,AD⊥BE,AD⊥AB,AD⊥PA,从而AD⊥平面PAB,由此能证明AD⊥PB.(Ⅱ)以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小.【解答】(Ⅰ)证明:在图1中,∵AB∥CD,AB=CD,∴ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∵∠B=90°,∴AD⊥BE,当△EDA沿AD折起时,AD⊥AB,AD⊥AE,即AD⊥AB,AD⊥PA,又AB∩PA=A,∴AD⊥平面PAB,又∵PB?平面PAB,∴AD⊥P
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