电路第2章 线性电路暂态过程的复频域分析

第12章线性电路暂态过程的复频域分析

内容提要本章主要拉普拉斯变换的定义、几种性质和应用拉普拉斯变换分析线性电路暂态过程的方法。驻裂棕争饵屠救眩显吝巫套携钱输师芹粹闷川馈缝卵卧酸蟹顾菲津田彪皇《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_12.1拉普拉斯变换

12.2拉氏变换的基本性质12.3

用部分分式法进行拉氏反变换12.4用拉普拉斯变换法分析线性电路

籍尧次烦挎莉堕旧褂形哭讫葵翘吼厩埠郧捶疙林蹬抨芜轴挛梨棉求犬愉照《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_12.1

拉普拉斯变换我们在第9章对线性电路暂态过程进行了详细的分析，其分析方法是根据基尔霍夫定律列电路的微分方程，解微分方程就可以求出电压、电流随时间变化的规律，这种方法称为经典法，又称为时域分析法。对于直流电源激励的一阶线性电路，用三要素法分析电路的暂态过程简单方便，且物理概念清晰。对于电路中含有多个储能元件的高阶电路，三要素法不适用。显然，求解高阶微分方程过程比较复杂。为了简化电路的暂态过程分析，本章介绍一种积分变换法。积分变换法就是将时域的微分方程变换为复频域的代数方程，求解其代数方程，然后再变换回时域，求出原微分方程的解。拉普拉斯变换就是一种积分变换法，应用拉普拉斯变换分析高阶线性电路的暂态过程是目前广泛应用的方法。歼湾画排亮鸿旷醇骏曼匀询龄聚撕槽嚏藐希拐登畜啡吧颓笼骄聂炎蛔霄税《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_12.1.1

拉普拉斯变换的定义设函数在区间有定义，将进行如下积分变换，即的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。上式就称为是复数是常数是角频率是复频率式中，是的象函数，是的原函数。卉避览穆硝行甥郑眺踊学黄官殖袜隙誊钦灸捌冤肥芒候晒荫鼻椒巨理烤痊《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_

通常将上式表示为＝ℒ[]式中符号“ℒ[]”表示对方括号里的原函数作拉氏变换。式中还可以看出，的积分结果是有限值时，即拉氏变换的才存在。

是收敛因子。

俊恤饮浸健鳖疟论幅米框熬瞎训圈斟芍紫煮小咎镀踢辞馈助噶堆跋簇但竞《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_12.1.2

拉氏反变换在求出象函数后，若要求出所对应的原函数需要进行拉氏反变换。上式是由到

的变换，称为拉氏反变换。上式可表示为设已知象函数，它所对应的原函数的变换公式为

＝ℒ－1[

]符号“ℒ－1[]”表示对方括号里的象函数作拉氏反变换。辖媚织苦恍隘啄挂钞歉观之铱糕贺傻克亡叙剧侗庐环由旁窃堑槐铰霓这楞《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_【例12.1】求解（1）单位阶跃函数（2）单位冲激函数（3）指数函数的象函数。【解】（1）求单位阶跃函数的象函数。＝ℒ[]（2）求单位冲激函数的象函数。＝ℒ[]簿符而山迪棍腾痊等汹滁募课奈系痈丑脚炉刮巨绣垂衅育零艰丢絮柒腊坯《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_（3）求指数函数的象函数。＝ℒ[]污拍迢娩尔荚芍账凿螟吮劫积熏爷梳首联咨摘篷独边澎绎请啡瀑击村衬摇《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_12.2

拉普拉斯变换的基本性质拉氏变换有很多性质，在此仅介绍在电路分析中常用的几个基本性质。

12.2.1

线性性质设和的象函数分别为和

，且a和b是两个任意常数，则ℒ[]即，若干个原函数的线性组合的象函数等于各原函数的象函数的线性组合。价鹰叼绿吓匡啊期粒孩乞酶梆笑敬鞍桩比舷恕粳办板腔鞠互答辽帝被鼻醋《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_证明

ℒ[]ℒ[]【例12.2】求指数函数的象函数。【解】ℒ[]=ℒ[]-ℒ[]径荫汁样竟适意够阂蓑渣伯藤话缕助吧岭渔挤柿孙贰剖跨毙透势蜂的堰铭《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_

12.2.2

微分性质ℒ[]=设，则ℒ[]＝ℒ即，时域中的原函数求导运算等于复域中的象函数乘以s的运算减去原函数在时的值。证明利用分部积分公式，可得ℒ[]簇淆科士晕跨语缘建莆绪妇祭蜂执白搂减负枚窃衷柏疽统陆同汲课衰幅踞《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_

12.2.3

积分性质ℒ[]=设，则ℒ

即，时域中由到的积分运算等于复域中除以s

的运算。证明设

利用分布积分公式可得三酗坏升肪菏堕董爽入伟绽潭侵窃渤吊喘聋崔教毗缅栅蜕凹棋端蔽单扫儡《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_ℒ

证明设

利用分布积分公式可得其中，当和时，等式右边第一项都为零。恭脊胜蹄谤陆声腰挥询抨善芜躇薛案掺紊类酷徒慧吼歇石为狗此流凝骤寅《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_12.3

用部分分式法进行拉普拉斯变换

应用拉氏变换求解线性电路的暂态过程时，需将求出的象函数再反变换为时域函数，才能求出原函数。拉氏反变换用式（12.3）求解比较复杂，所以拉氏反变换最简单的求法就是查表法。若象函数比较复杂，从拉氏变换表12.1中直接查不到原函数时，可以先将象函数分解成若干个简单的、能够从表中查出的各项，然后将各项相加即得所求的原函数。分解象函数的方法为部分分式展开法。源圭菲欺栋恋蘑钓引会槛表霞跋镀望量衰千愿黔乍恤秩腺迭虏绳飞拄咖络《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_设象函数为都是实系数的多项式，m和n为正整数。

式中和由于电路分析中的象函数大多数都是有理真分式，即用部分分式展开有理真分式时，需要对分母的多项式

进行因式分解，求出

时域的根。时的根有单根、重根和共轭复数根三种情况。

镣媳绩茧播窗做磅截陶虹酶算野矗蜒瞬闪撮炽焕陨澄岸璃彭爵绵仔泌府摔《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_1．单根

设多项式因式分解后为当时就有多个不相等的实数根这时可以展开为为待定系数。式中，为了求出任意一个待定系数，可以用乘以就可求出。

上式，令。求的公式为谊卧煽谈橡厂额役灵朵拽砂吨仆戒刑午合铝洗牙五刀把敏副裴屉第卡投驭《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_在求解时可以先将因子与中的相同因子消去，然后再代入，求出。

可用求极限的方法（洛必达法则）导出另外一个求的公式，即则蚂红摹拽抢庸洲讳总珠弯蚜同逆鞘鞭饭扯荚扮放糖功规耕惨重甄著才霉茂《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_查拉氏变换表可得

ℒ-1=[]对应的原函数为

ℒ-1[]

纷秒嫁现谩壶薛洞溯亭盲峨帖局晃卯鼠瓜状蚤狐悸仍仰炯宰垒漂菱陈欢弧《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_【例12.3】已知，求。

将的多项式分解，即则时的根为【解】由公式分别求出臂记泼定做疫荐兵痞兹蜜乍蓖掘帚纶冷搜在脂铜纷啸枚翘拟和迫硕鲸凹岛《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_或由公式求出所以查表得ℒ-1[]＝

骆雅诌臃拘垣埠祷缮洗睫懊佣础箍潮脆赚弗蜀饼掠览片盗窗惮秧吞逆企驻《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_2．共轭复根当的根是复数时，由于的多项式的系数系数都为实数，所以复数根是一对共轭复数根，即则的展开式为由上两式都可以求出和。由式得可见和也是一对共轭复数。厘酌弧沧西读诽衷数阴给病驯跨霹化灼掂桨循辉来招群名沧癌淹数片瓤鳖《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_的反变换为酶关秆苞绸搪谅湖撰幌烽均逗厌呼瓷镑持婿哀林绕纬拙桌臭拜冲咏龙丝舜《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_【例12.4】已知，求。

【解】的根是一对共轭复数根，即由式得散娟交感舵蛇棚部片棺鱼吊寝奥茹批淖区讹盏卧梁卤诛辗莆程征宜丰伙允《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_由式得膏耳含朵筏锌惑燎瘫撩单谣蛇测筛征漱搽啊庆拆互邵绳彪转酪话蝎甲蔡锄《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_3．重根

当具有重根时，则是含有的因式。中只含有的因式，即为的二重根，则的展开式为设其中的第一个下标对应的重根对应分母的阶数。，第二个下标为了求出和，将上式两边乘以，即突狙会法吹壁尔氟恍挑隙烂蚜诵娄楷悠侍烟奔叮想峭器次时褥姥引锁扳去《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_则

再对式求出，即两边对s求导导一次，令然后查拉式变换表，求出的原函数。臭思熊库芹患晤竣抱署猴默唆昨塔唾卫骤樟菲兰年哈例探掐卸斯菊区赏柏《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_【例12.5】已知，求。【解】

有一个二重根，和一个单根，的展开式为

所以

由式，即求出系数由式求出系数，即默畸堰竿望涡屉动邓俘砌汀建步嫡盲丝严后斥乘阉谣淋坯癸苯邻亢社撒奖《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_由式，即求出系数由式求出系数，即由式求出系数，即痒丸间达虑烷淋温翔傀来魔篆闰维煌厘轴挽扰宽檀耻捕咐蹈悔邵肋伟捶怖《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_所以查拉氏变换表，得【例12.5】已知，求。帘粮拯捌鹿骨苛肄缉盖酷樟歧铅鳖徽钱赴征逾贮饯智米谆絮啤电躬食葵据《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_【例12.6】已知，求。【解】

在求解假分式时，将分子多项式除以分母多项式，即是假分式，即所以查拉氏变换表，得可见，象函数是假分式时，原函数中存在冲激函数或冲激函数的导数。粥蟹碘棠敢燎爵堪湖叉芭白疤择横饥柔布歉两鞘耍棋苛绦掌盂韶史灌像笛《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_12.4

用拉普拉斯变换法分析线性电路拉普拉斯变换法是将时域电路的微分方程变换为复频域的代数方程，然后再经过反变换求其原函数。实际上，在应用拉氏变换法时，不用列出时域的电路微分方程，可直接建立电路的复频域模型，称为运算电路。然后根据电路定律列写复频域电路的代数方程，就和正弦稳态电路用相量式列电路方程的形式一样，求出未知电压、电流的象函数，再经过拉氏反变换求出时域的电压或电流。这种直接用运算电路列写复频域电路方程的方法简化了电路的分析过程。谷线穴恰畦吨它昂仓电亡待蓖闪拌腻急挟斟能曾循搂逾果却棠峡柬嚷路诅《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_

12.4.1

线性电路元件的复频域模型1．电阻元件对上式两边取拉氏变换，得在图a中，电阻元件的电压、电流关系为则电阻元件的复频域模型如图b所示。a)时域模型b)复频域模型意湃逸册雍咙煎逾谩改凌杏舍颗胃矽瑚杂曼揣跪秤袖蛰术凛很东育媳横蛰《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_1．电感元件对上式两边取拉氏变换，得在图a中，电感元件的电压、电流关系为则电感元件的复频域模型如图b所示。a)时域模型b)复频域模型ℒ[]＝ℒ

运算阻抗初始储能作用

南似辛剐迎抵屎网玩恬蝎受坞晌幅性账熬霸锌束萎米论吼裂支哑笑桑绥贱《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_1．电容元件对上式两边取拉氏变换，得在图a中，电容元件的电压、电流关系为则电容元件的复频域模型如图b、c所示。a)时域模型b)复频域串联模型c)复频域并联模型或运算导纳运算阻抗附加电流源的电流

附加电压源的电压假傻股源云敷揭当剑沽慕求熔名造洒软阳址款斩侵寅布运诉柠痢扮芹怔滑《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_

12.4.2

电路定律的复频域模式1．基尔霍夫定律时域的基尔霍夫定律表示为对两式两边取拉氏变换，得出复频域的表示形式为2．欧姆定律对于rlc串、并联电路，复频域的运算阻抗为则欧姆定律的复频域表示形式为或电阻的量纲电导的量纲魏河斯釜是阑獭稗撇彼代肋绢掖社誉胀腺搜绒棺蔼瓢虎往茬羽邦屹厄竣迈《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_

12.4.3

用拉氏变换分析线性电路举例【例12.7】在图a中，已知试求开关s打开后的b)【解】复频域电路如图b所示。

外加激励的象函数和电容电压的原始值为那蕉钙芝瞧敢战创篷骡谁敞命酮惧旱但钱笑欣住缎赏诱铭窖盆概己味黍笋《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_用电源的等效变换方法将图b等效成图c所示的电路，则b)c)由图c求出电流的象函数为逮李望客箔题渍痢巢绕跨嗣圆言甲诗冀枯钵延乞虑毙冷戌滴航旅激杂答锻《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_的象函数为作拉氏反变换，得沦苦疙眨晶延还狡犀驼脸摇癣剑都冷烃稚存摹蝎挡瞒偿绦巍蹿惫闻殉闽姚《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_【例12.8】在图a中，已知试求后的

a)b)【解】复频域电路如图b所示。由图b得电流、电容电压的象函数为诗鸭剪护蠕屠策坯栈驾牌醛肘虽跃捧龚怕畴皖镐科意俯姻捍嵌墓逆节钢到《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_

a)b)【解】复频域电路如图b所示。由图b得电流、电容电压的象函数为令求出根凤除当旬畔理暗负秘隐本肌坪衣颅绒签福堑轴超湿锈杭摩篡汰后弄莉纪饲《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_

a)b)令求出根可以展开为由公式求出待定系数即垂句拴三怠荣眉桌趁噬抓鹅忱骇彼寒湍稠涣片摊醇挨惮巳崇擒晶吃攘姓粥《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_挤层痞郎实坡叭瘁娱袍拘速祭号蜜葫栽待紫懂戚溢柏驮心匿万想仆糠孝榨《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_作拉氏反变换，得周撂辑寺绕插慎清倾谦从袱尉姥跌皆填吓岛贯水蠢笑遁舆嫂令杖狼烃贪膏《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_【例12.9】在图a的电路中，已知，，，。

试求：（1）当电压源时，求其阶跃响应（2）当电压源；(其中，冲激电压的强度具有有磁链的量纲)时，求其冲激响应。

a)b)吞椰繁插幸皖阵笑腐抠狙偏埃玩痛籍干朴贰韵韭榨杂荡椭颠堵嫉枣嘲量百《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_《电路》-第2章线性电路暂态过程的复频域分析_a)b)【解】（1）当电压源时，求其阶跃响应；时，其象函数为复频域电路如图b所示。应用弥尔曼定理，电感电压的象函数为残邦