2021-2022学年江西省上饶市圭峰中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年江西省上饶市圭峰中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知则的取值范围是(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：【知识点】对数函数的性质.B7D

解析：由可转化为，当时，解不等式得；当时，解不等式得，综上所述：的取值范围是，故选D.【思路点拨】利用对数函数的性质，对a进行分类讨论即可。2.已知向量，满足：||=2，||=4，＜，＞=，则|3﹣2|=（）A．52 B．2 C．100﹣48 D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积与模长根式，计算即可．【解答】解：向量，满足：||=2，||=4，＜，＞=，∴?=2×4×cos=4，∴=9﹣12?+4=9×4﹣12×4+4×16=52，∴|3﹣2|==2．故选：B．3.在△ABC中，若sin2（B+C）+cos2B+cos2C+sinBsinC≥2，则角A的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．【解答】解：sin2（B+C）+cos2B+cos2C+sinBsinC≥2?sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥，∴A≤，∵A＞0，∴A的取值范围是（0，]故选：C．4.已知函数，若关于x的方程f（x）＝g（x）有唯一解x0，且x0（0，＋），则实数a的取值范围为A（一一1）B．（一l，0）C．（0，1）D．（1，＋）参考答案：A5.已知数列为各项为正数的等比数列，且成等差数列，则数列（

）A．单调递增

B．单调递减

C．先递增后递减

D．是常数列参考答案：D6.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q） B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q参考答案：A【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的意义即可得出．【解答】解：￢P，表示“甲抛的硬币正面向下”，￢q表示“乙抛的硬币正面向下”．则（￢p）∨（￢q）表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选：A．7.已知函数，则“是奇函数”是“”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B试题分析：当为奇函数时，有，得，由诱导公式得，因此，得，得不到；当时，为奇函数，因此“是奇函数”是“”的必要不充分条件,故答案为B.考点：1、奇函数的应用；2、充分条件和必要条件的判断.8.下列命题中，真例题的是(

)（A）．，＜0（B）．，（C）．“a＋b＝0”的充要条件是“＝－1”

（D）．“a＞1，b＞1”是“ab＞1“的充分条件参考答案：D9.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（

）A．4种

B．10种

C．18种

D．20种参考答案：B10.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数x，y满足，则的最大值为

。参考答案：2

12.已知函数，，则f(x)的最小值是

．参考答案：化简：当时，函数取得最小值，最小值是

13.已知定义在R上的偶函数，f(x)在时，，若，则a的取值范围是_____________．参考答案：【分析】函数，在上都为增函数，从而得到在上为增函数，从而由为偶函数及得到，从而得到，解该不等式即得的取值范围．【详解】时，，，在上都是增函数，在上为增函数；由已知条件知，得，解得的取值范围是。答案为：。【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，，在区间上都为增函数时，+在上也是增函数，偶函数的定义，以及增函数定义的运用．14.正四棱形锥S—ABCD的5个顶点都在球O的表面上，过球心O的一个截面如图，棱锥的底面边长为1，则球O的表面积为

。参考答案：15.一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为(用数值作答)．参考答案：16.平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__________．参考答案：1.【分析】由题意可得关于首项的方程，解方程可得．【详解】设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2019+a＝1010×2解得a＝1故答案为：1【点睛】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属于基础题．17.已知与之间具有很强的线性相关关系，现观测得到的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为，其中的值没有写上．当不小于时，预测最大为

；参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】：复合命题的真假．【专题】：规律型．【分析】：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假．确定实数k的取值范围．解：要使函数的定义域为R，则不等式ax2﹣x+对于一切x∈R恒成立，若a=0，则不等式等价为﹣x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．若a≠0，则满足条件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．∵g（x）=3x﹣9x=﹣（），∴要使3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，则a，即q：a．要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．当p，q都为真命题时，满足，即a＞2，∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，即实数a的取值范围是a≤2．【点评】：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧．19.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长等于4，离心率为，直线AB过焦点F1且与椭圆C交于A、B两点（A在第一象限），△F1AF2与△F1BF2的面积比为7：3．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由于2a=4，=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）可设直线AB的方程为：my﹣1=x，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由△F1AF2与△F1BF2的面积比为7：3．可得=，与根与系数的关系联立解出m即可得出．【解答】解：（1）∵2a=4，=，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆的方程为：=1．（2）可设直线AB的方程为：my﹣1=x，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=，（*）∵△F1AF2与△F1BF2的面积比为7：3．∴=，与（*）联立可得：m=．∴直线BA的方程为：y﹣1=x，即3x±4y+3=0．20.设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数．

（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．参考答案：解：（1）求导数可得f′（x）=

∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴≤0在（1，+∞）上恒成立，

∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1．

g′（x）=ex-a，若1≤a≤e，则g′（x）=ex-a≥0在（1，+∞）上恒成立，g（x）=ex-ax在（1，+∞）上是单调增函数，无最小值，不符合题意；若a＞e，则g（x）=ex-ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+∞）上是单调增函数，gmin（x）=g（lna），满足题意．

故a的取值范围为：a＞e．

（2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤ex在（-1，+∞）上恒成立，

∴a≤

f′（x）=（x＞0）0＜a≤，令f′（x）＞0得增区间（0，）；令f′（x）＜0得减区间（）当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞∴当x=时，f（）=-lna-1≥0，当且仅当a=时取等号∴当a=时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点；②a=0时，则f（x）=-lnx，∴f（x）有1个零点；

③a＜0时，f′(x)＝≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在（0，+∞）上是单调增函数当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞∴f（x）有1个零点

综上所述，当a=或a≤0时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点．略21.（本小题满分12分）某校决定为本校上学所需时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间（单位：分钟），将600人随机编号为001，002，…，600，抽取的50名学生上学所需时间均不超过60分钟，将上学所需时间按如下方式分成六组，第一组上学所需时间在［0，10），第二组上学所需时间在[10，20）…，第六组上学所需时间在［50，60］，得到各组人数的频率分布直方图，如下图（1）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，且第一个抽取的号码为006，则第五个抽取的号码是多少？（2）若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人，设他们上学所需时间分别为a、b，求满足的事件的概率；（3）设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？

参考答案：（1）600÷50=12，第一段的号码为006，第五段抽取的数是6＋（5－1）×12=54，即第五段抽取的号码是054（2）第四组人数=0.008×10×50=4，设这4人分别为A、B、C、D，第六组人数=0.004×10×50=2，设这2人分别为,随机抽取2人的可能情况是：AB

AC

AD

BC

CD

xy

Ax

Ay

Bx

By

Cx

Cy

Dx

Dy一共15种情况，其中他们上学所需时间满足的情况有8种，所以满足的事件的概率，（3）全校上学所需时间不少于30分钟的学生约有：600×（0.008＋0.008＋0.004）×10=120人，所以估计全校需要3辆校车.

22.(13分)

如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中两点坐标分别为（4，0）、（0，－2），连结．(1）求抛物线的函数关系式；(2）判断的形状，并说明理由