2021-2022学年江西省上饶市晓容中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年江西省上饶市晓容中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，,则的虚轴为（

）A.

B.

C.4

D.8参考答案：B2.已知直线⊥平面，直线m，给出下列命题：①∥②∥m;③∥m④∥其中正确的命题是（

）A．①②③

B．②③④

C．②④

D．①③

参考答案：D略3.用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为 （

）参考答案：C4.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为A.

B.

C.

D.参考答案：A函数关于点对称，则有，即，所以，即，即，所以当时，，此时最小，选A.5.在直角坐标系xOy中，若x，y满足，则z=﹣2x+y的最大值为（）A．0B．1C．﹣3D．﹣2参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=﹣2x+y的最大值．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=0，y=1时，z=﹣2x+y取最大值1．故选B．点评：本题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法”解题是解答本题的关键．6.要得到函数y=sin(x+)的图像，只需要将函数y=cosx的图像（

）

A、向左平移个单位

B、向左平移个单位C、向右平移个单位

D、向右平移个单位参考答案：C试题分析：将函数向右平移个单位后得到的函数为,由得，故选C.考点：函数图象的平移变换.7.设R，则“”是“”成立的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D略8.执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处可以填入

参考答案：C9.函数的图象与函数的图象的交点个数是(

)A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B10.已知，则

(

)A.1＜n＜m

B.1＜m＜n

C.m＜n＜1

D.n＜m＜1参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等差数列{}的第5项是二项式展开式的常数项，则a3+a7=

．参考答案：略12.已知直线过圆的圆心，的最大值为

参考答案：圆的标准方程为，所以圆心为，因为直线过圆心，所以，即。又，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为。16.若对函数定义域内的每一个值，都存在唯一的值，使得成立，则称此函数为“K函数”，给出下列三个命题：①是“K函数”；②是“K函数”；③是“K函数”，其中正确命题的序号是

【答案】②【解析】对于①，由得，即，对应的不唯一，所以①不是K函数。对于②，由得，，即，所以，所以唯一，所以②是K函数。对于③，因为有零点，所以当时，，但此时不成立，所以③不是K函数，所以其中正确命题的序号是②。13.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为参考答案：或14.（2）对于任意实数和b，不等式恒成立，则实数x的取值范围是

参考答案：15.已知数列为等比数列，且，则的值为_________________.参考答案：在等比数列中，所以.所以.16.对于函数，若在其定义域内存在两个实数，使得当时，

的值域是，则称函数为“函数”.给出下列四个函数①

②③

④其中所有“函数”的序号是

A.①③

B.②③

C.②④

D.②③④参考答案：17.过点（1，0）且与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为

．参考答案：2x+y﹣2=0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系可设所求直线方程为2x+y+c=0，代点可得c值，可得方程．解答： 解：由平行关系可设所求直线方程为2x+y+c=0，∵直线过点（1，0），∴2×1+0+c=0，解得c=﹣2，∴所求直线方程为2x+y﹣2=0故答案为：2x+y﹣2=0点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a1，a2，…，an变换为数列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|an﹣c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N*）次变换记为Tk（ck），其中ck为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T1（c1），T2（c2），…，Tk（ck）为“k次归零变换”．（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；（2）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；（3）对于数列1，22，33，…，nn，是否存在“n﹣1次归零变换”？请说明理由．参考答案：（1）见解析（2）见解析（3）不存在，见解析【分析】（1）根据定义取恰当的值进行变换得解；（2）结合（1）进行归零变换的过程，可以考虑构造数列，经过k次变换后，数列记为，k＝1，2，…，进行变换Tk（ck）时，，依次变换即可得证；（3）利用数学归纳法证明该数列不存在“n﹣1次归零变换”.【详解】（1）方法1：T1（4）：3，1，1，3；T2（2）：1，1，1，1；T3（1）：0，0，0，0．方法2：T1（2）：1，1，3，5；T2（2）：1，1，1，3；T3（2）：1，1，1，1；T4（1）：0，0，0，0．．…（2）经过k次变换后，数列记为，k＝1，2，…．取，则，即经T1（c1）后，前两项相等；取，则，即经T2（c2）后，前3项相等；…设进行变换Tk（ck）时，其中，变换后数列变为，则；那么，进行第k+1次变换时，取，则变换后数列变为，显然有；…经过n﹣1次变换后，显然有；最后，取，经过变换Tn（cn）后，数列各项均为0．所以对任意数列，都存在“n次归零变换”．（3）不存在“n﹣1次归零变换”．证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换Tj（cj）时，cj＜min{a1，a2，…，an}，那么此变换次数便不是最少．这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行Tj（cj）后，再进行Tj+1（cj+1），由||ai﹣cj|﹣cj+1|＝|ai﹣（cj+cj+1）|，即等价于一次变换Tj（cj+cj+1），同理，进行某一步Tj（cj）时，cj＞max{a1，a2，…，an}；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的ci满足min{a1，a2，…，an}≤ci≤max{a1，a2，…，an}．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n﹣1次归零变换”．（1）当n＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立．（由（2）可知，存在“两次归零变换”变换：）（2）假设n＝k时成立，即1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次归零变换”．当n＝k+1时，假设1，22，33，…，kk，（k+1）k+1存在“k次归零变换”．此时，对1，22，33，…，kk也显然是“k次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，kk不存在“k﹣1次归零变换”，则k是最少的变换次数，每一次变换ci一定满足，i＝1，2，…，k．因为（k+1）k+1﹣k?kk＞0所以，（k+1）k+1绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当n＝k+1时不存在“k次归零变换”．由（1）（2）命题得证．【点睛】此题考查数列新定义问题，关键在于读懂题目所给新定义，根据定义进行构造，分析证明，涉及与正整数有关的命题可以考虑利用数学归纳法进行证明.19.已知函数

(b、c为常数)．(1)若在和处取得极值，试求b，c的值；若在、上单调递增，且在上单调递减，又满足，求证：．参考答案：解：(1)，据题意知，1和3是方程的两根，∴，即．

………………5分

(2)解：由题意知，当、时，；当时，.∴、是方程的两根，则，

∴.∵，∴，∴．

………………12分

20.已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）设函数的最大值为M，若不等式有解，求m的取值范围．参考答案：(Ⅰ)当时，，此时无解；

….......................…1分当时，，由解得；…………..........3分当时，，此时恒成立.

………….................................…4分综上，不等式的解集是.

……………...........................…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

……………….......................6分易知函数的最大值M=8，

………………................7分若有解，得有解.

………………...................8分即.

……………........................…9分因此，m的取值范围是.

…………….........................…10分21.（本小题满分14分）

已知圆E的圆心在x轴上，且与y轴切于原点.过抛物线y2=2px(p＞0)焦点F作垂直于x轴的直线l分别交圆和抛物线于A、B两点.已知l截圆所得的弦长为,且.

（Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）若P在抛物线运动，M、N在y轴上，且⊙E的切线PM（其中B为切点）且PN⊙E与有一个公共点，求△PMN面积S的最小值.

参考答案：（Ⅰ）设圆的标准方程为(x-r)2+y2=r2(r>0)，由已知有F(，0)，即|EF|=r-．∵l截得的弦长为，∴，整理得，①又∵，∴，解得p=1．代入①，解得r=1．∴抛物线的方程为y2=2x，圆的方程为(x-1)2+y2=1．………………6分（Ⅱ）设P(x0，y0)，M(0，b)，N(0，c)，不妨设b>c，PM的方程为：，整理得：．又直线PM与圆(x-1)2+y2=1相切，∴，化简得．按题意，x0>2，上式化简得，．…………8分同理，由直线PC与圆(x-1)2+y2=1相切，可得．………9分∴由根与系数的关系知，，，从而，……………………11分∵P(x0，y0)是抛物线上的点，∴y02=2x0，∴，即．故S△PMN=

≥2+4

=8，当且仅当时，上式取等号，此时x0=4，y0=，∴S△PMN的最小值为8．………………14分22.（10分）（2008?辽宁）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题．解答：（Ⅰ）设P