探究与构造性问题专题学生版

探究与构造性问题专题（浙江学 授课日教 授知识定知识梳知识梳理1.探究性问知识梳理2.构造法问类初等函数性质。构造函数的过程要求我们观察、正确地判断、合理地选择适当的求解式来讨论（常用判别式与定理，从而使问题得到解决。这种方法应用较广，如计例题精

fxa2x1x3x2,2a2可以证明：定理“若a、bRab2

ab（ab时取等号推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明

fx0在0,2fx的最大值大于1求实数ayfx的单调性（无需证明对满足（2）的条件的一个常数axx1fx取得最大值。试构造一个定义Dxx2,且x4k2kNgxx2,2gxfx，xDgxx1xxy2x1，y

2xx

，yy2x1y

x1的交点坐标为2y2xx1

y

2

的交点坐标为（0，0（1，1）y

1x与其反函数yx21，(x0)的交点坐标x

5，12

1，0（0，－1）（III已知a,aRa

1，求证a2a21

12证明：构造函数f(xxa)2xa121f(x)2x21

)xa2

22x22xa2a1122因为对一切xR，恒有f(x)≥0，所以48(a2a21122 从而得a2a21 a1

a2anRa1a2an1，请写出上述结论的推广式【题目】已知数列a1a2a30，其中a1a2a10是首项为1，公差为1的等差数列

,

,,

d

,

,,

是公差为d2（d0（1）若a2040，求d试写出a30d的关系式，并求a30 a,aa是公差为d .（2） 【题目对数列an，规定an为数列an的一阶差分数列其中a a(n 对自然数

，规定ka

阶差分数列，其中nkank1an1k1an(k1ann已知数列an的通项公式ann2n(nN试判断an，2an是否为等1nn1nn若数列

首项

1，且满足2

2n(nN，求数列a

，是否存在等差数列b，使得bC1bC2bCn 1 2 n 对一切自然nN都成立？若存在，求数列bn的通项公式；若不存在，则请说明理由S-ABCDaaaaaaa SAABCD，EABE-SC-DDSEC【题目】如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S,使P，Q，R，S四点重合，则需要 几何体，可以拼成一个棱长为12的正方体。【题目从装有n1个球（其n个白球1个黑球）的口袋中取出m个球0mnmnN,共有

m个球全部为白球C0CmC1Cm1C0

CmC1Cm1C2Cm2 CkCmk 。(1kmnk 【试题来源】第7届中数学竞赛

a,b,c,d,eR，且满足abcde8a2b2c2d2e2【题目】

1(2013n2013n11411

(n为整数求(2x

14x2n的值。【题目】求sin20cos70sin10sin50的值【题目】y

7x27xx2x

【题目】已知a,bc1,1求证abc2abc【题目】已知abcabc1a2b2c21求证1c03【题目】已知sincos10π，tan5【题目】证明：当0x cosx2

1

1(n1212 23 n(na21a2a21a2a211a212

coscoscos0sinsinsin0（1）（2）sin3sin3sin33sin(【题目】设a、b、cR，试证：

bc

111 x2【题目】求x2

x2x22x 样的实数，使 对所有的成立？若存在，则求出所有适合条件的实数；若不存在，试说明理由【题目】x>-1

1x

【题目】p、qRrsr2s21p2r2q2s2p2r2q2s2q2r2p2s2【题目】已知a2b21c2d21.求证acbd【题目】1(11)(11)(11

)

2n

2n (10464)(18464)(26464)(34464)(42464)(50464)(584【题目】正数ab满足a3b3

求证ab【题目】a,b都是无理数，那么ab也是无理数”是否正确？请说明【题目】

A1B1C1D1的底面ABCDCCBCCDBCD求证：(1)CC

(2)

的值为多少时，能使

【题目】已知0x1,0y1,0z1求证：x(1-y)+y(1-x)+z(z-x2x2

x210xx210xx2103x2103xx2103x

20习题演入正整数mn时，输出结果记为f(mn，且计算装置运算原理如下：①1f(1,1)1；②若Ⅰ输入固定的正整数，131，13倍。（1）f(m,1的表达式(mN（2）f(mn的表达式(mnN)；若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数nf(nn2005？若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由。【试题来源】2005-2006学年市浦东新区川沙中学高三（上）模【题目】已知fxlg（1）g(xf(x26x4f(xg(x的最小在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从fxlgx可抽象出f(x1x2f(x1f(x2的性质试分别写出一个具体的函数h(x)由(x)

可抽象出(x1x2)(x1(x2【试题来源】2008-2009市浦东新区建平中学高三（上）12月月1f(x)log(x1P(x0，y0y12

f(x点Qx0t

y

t在函数yg(x的图像上移动 ，P坐标为（1，1Qy

f(x的图像上，求tyg(x的解析式当t0时，试探求一个函数h(x使得f(x)g(x)h(x)顺次为一次函数y1x1图象上的点 An(xn,0)（n∈N（0＜a＜1 Bn为顶点的等腰三角形在，请说明理由。【试题来源】2006年金山区高三一【题目】N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交后继的数。例如集合{1,2,4,6,99–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5当集合N中的n=2集合N={1,2}的所有非空子集为{1}{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn= a(1log2x,log2xb(log2xt=1abxtR写出函数f(x)ab具备的性质

(x0)

x、

x2y21b x2y2

1（1）方程

1b0表示的曲线经过一点

2x2