自动控制原理北航课件八章全教学提纲

自动控制原理北航课件八章全下面通过具体例子来说明自动控制和自动控制系统的概念控制器气动阀门流入Q1浮子水箱流出Q2H水位自动控制系统控制任务：维持水箱内水位恒定；控制装置：气动阀门、控制器；受控对象：水箱、供水系统；被控量：水箱内水位的高度；给定值：控制器刻度盘指针标定的预定水位高度；测量装置：浮子；比较装置：控制器刻度盘；干扰：水的流出量和流入量的变化都将破坏水位保持恒定；自动控制即没有人直接参与的控制，其基本任务是：在无人直接参与的情况下，只利用控制装置操纵被控对象，使被控制量等于给定值。自动控制系统：指能够完成自动控制任务的设备，一般由控制装置和被控对象组成。由此可见：1-２自动控制的基本方式被控量比较执行测量被控对象实测值干扰测量给定值H自动控制方框图返回子目录在上图中，除被控对象外的其余部分统称为控制装置，它必须具备以下三种职能部件。测量元件：用以测量被控量或干扰量。比较元件：将被控量与给定值进行比较。执行元件：根据比较后的偏差，产生执行作用，去操纵被控对象

参与控制的信号来自三条通道，即给定值、干扰量、被控量。开环控制按给定值操纵的开环控制按干扰补偿的开环控制按偏差调节的闭环控制复合控制下面根据不同的信号源来分析自动控制的几种基本控制方式一、按给定值操纵的开环控制计算执行受控对象给定值干扰被控量按给定值操纵的开环控制系统原理方框图开环控制——系统的输出端与输入端之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响。炉温控制系统炉温控制系统原理方框图定时开关炉子电阻丝按给定值操纵的开环控制特点：控制装置只按给定值来控制受控对象优点：控制系统结构简单，相对来说成本低。缺点：对可能出现的被控量偏离给定值的偏差没有任何修正能力，抗干扰能力差，控制精度不高。二、按干扰补偿的开环控制定义：利用干扰信号产生控制作用，以及时补偿干扰对被控量的直接影响。计算测量受控对象执行干扰被控量特点：只能对可测干扰进行补偿，对不可测干扰以及受控对象、各功能部件内部参数变化对被控量的影响，系统自身无法控制。适用于：存在强干扰且变化比较剧烈的场合。水位高度控制系统原理图水位高度控制系统原理方框图三、按偏差调节的闭环控制特点：通过计算被控量和给定值的差值来控制被控对象。优点：可以自动调节由于干扰和内部参数的变化而引起的变动。计算比较给定值E执行被控对象干扰被控量测量－按偏差调节的系统原理方框图如上图所示，反馈回来的信号与给定值相减，即根据偏差进行控制，称为负反馈，反之称为正反馈。这种控制方式控制精度较高，因为无论是干扰的作用，还是系统结构参数的变化，只要被控量偏离给定值，系统就会自行纠偏。但是闭环控制系统的参数如果匹配得不好，会造成被控量的较大摆动，甚至系统无法正常工作。飞机自动驾驶系统原理图控制任务：系统在任何扰动作用下，保持飞机俯仰角不变。被控对象：飞机。被控量：飞机的俯仰角。俯仰角控制系统原理方框图四、复合控制复合控制就是开环控制和闭环控制相结合的一种控制。实质上，它是在闭环控制回路的基础上，附加了一个输入信号或扰动作用的顺馈通路，来提高系统的控制精度。控制装置被控对象

CR—补偿装置a.按输入作用补偿b.按扰动作用补偿n控制装置被控对象

CR—补偿装置1-３对控制系统的性能要求定义：通常将系统受到给定值或干扰信号作用后，控制被控量变化的全过程称为系统的动态过程。工程上常从稳、快、准三个方面来评价控制系统。稳：指动态过程的平稳性。快：指动态过程的快速性。准：指动态过程的最终精度。返回子目录稳：指动态过程的平稳性控制系统动态过程曲线如上图所示，系统在外力作用下，输出逐渐与期望值一致，则系统是稳定的，如曲线①所示；反之，输出如曲线②所示，则系统是不稳定的。快：指动态过程的快速性快速性即动态过程进行的时间的长短。过程时间越短，说明系统快速性越好，反之说明系统响应迟钝，如曲线①所示。稳和快反映了系统动态过程性能的好坏。既快又稳，表明系统的动态精度高。准：指系统在动态过程结束后，其被控量（或反馈量）与给定值的偏差，这一偏差称为稳态误差，是衡量稳态精度的指标，反映了系统后期稳态的性能。以上分析的稳、快、准三方面的性能指标往往由于被控对象的具体情况不同，各系统要求也有所侧重，而且同一个系统的稳、快、准的要求是相互制约的。第二章

自动控制系统的数学模型2-1控制系统微分方程的建立2-2非线性微分方程的线性化2-3

传递函数(transferfunction)2-4动态结构图2-5系统的脉冲响应函数2-6典型反馈系统传递函数返回主目录基本要求基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。返回子目录6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型的方法分为解析法和实验法解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。总结：解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。2-1控制系统微分方程的建立基本步骤：分析各元件的工作原理，明确输入、输出量建立输入、输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程返回子目录列写微分方程的一般方法例1.列写如图所示RC网络的微分方程。RCuruci解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:令（时间常数），则微分方程为：例2.设有一弹簧质量阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力

Ky（t）阻尼力惯性力由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系数（N·s/m);

K——弹簧刚度（N/m)。将式(2-4)的微分方程标准化T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。令，即，则式可写成2－2非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。返回子目录于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。可得，简记为y=kx。若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例：设线性微分方程式为若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当＋时，必存在解为，即为可叠加性。

上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。2－3传递函数

(transferfunction)传递函数的概念与定义

线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。返回子目录这里，“初始条件为零”有两方面含义：一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=时，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。一、传递函数的概念与定义G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：。二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当时，，所以，一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。三、传递函数举例说明例1.

如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。则传递函数为四、典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见的几种形式有：比例环节，传递函数为：积分环节，传递函数为微分环节，传递函数为惯性环节，传递函数为一阶微分环节，传递函数为式中：，T

为时间常数。二阶振荡环节，传递函数为式中：T为时间常数，为阻尼系数。二阶微分环节，传递函数为式中：为时间常数，为阻尼系数此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为，该环节的传递函数为：2－4动态结构图动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。返回子目录一、动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。信号线

表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。2.传递方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。3.综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。＋省略时也表示＋4.引出点表示同一信号传输到几个地方。二、动态结构图的基本连接形式1.串联连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。2.并联连接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。3.反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)－C(s)H(s)三、系统动态结构图的构成构成原则：

按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。以机电随动系统为例，如下图所示举例说明系统动态结构图的构成其象方程组如下：系统各元部件的动态结构图(1)系统各元部件的动态结构图(2)系统各元部件的动态结构图(3)系统各元部件的动态结构图(4)系统各元部件的动态结构图(5)系统各元部件的动态结构图(6))(smqsfJs+21mC)(sMm)(sMm)(smqsfJs+21sfJs+1系统各元部件的动态结构图(7))(smqsfJs+21mC)(sMm系统各元部件的动态结构图(8))(smqsfJs+21mC)(sMm四结构图的等效变换思路：

在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。1.串联结构的等效变换（１）串联结构图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（２）等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（３）串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)•G2(s)R(s)C(s)两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。1.串联结构的等效变换（４）2.并联结构的等效变换并联结构图C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)等效变换证明推导(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)2.并联结构的等效变换等效变换证明推导C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。3.反馈结构的等效变换反馈结构图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)C(s)=?3.反馈结构的等效变换等效变换证明推导G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)3.反馈结构的等效变换反馈结构的等效变换图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)4.综合点的移动（后移）综合点后移G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点后移证明推导（移动前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移动后综合点后移证明推导（移动前后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)综合点后移等效关系图G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)综合点前移G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点前移证明推导（移动前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点前移证明推导（移动后）移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)？移动后综合点前移证明推导（移动前后）4.综合点的移动（前移）综合点前移证明推导（移动后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？4.综合点的移动（前移）综合点前移等效关系图G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)1/G(s)综合点之间的移动R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)4.综合点之间的移动结论：结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)5.引出点的移动引出点后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)问题：要保持原来的信号传递关系不变，

？等于什么。引出点后移等效变换图G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)引出点前移问题：要保持原来的信号传递关系不变，？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)引出点前移等效变换图G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)引出点之间的移动ABR(s)BAR(s)引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR(s)BAR(s)五举例说明（例1）例1：利用结构图变换法，求位置随动系统的传递函数Qc(s)/Qr(s)。例题分析由动态结构图可以看出该系统有两个输入r，ML（干扰）。我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入关系，因此，在求c对r的关系时，根据线性叠加原理，可取力矩

ML＝0，即认为ML不存在。要点：结构变换的规律是：由内向外逐步进行。例题化简步骤（1)合并串联环节：例题化简步骤（2)内反馈环节等效变换：例题化简步骤（3)合并串联环节：例题化简步骤（4)反馈环节等效变换：例题化简步骤（5)求传递函数Qc(s)/Qr(s)

：五举例说明（例2）例2：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。例2（例题分析）本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。例2（解题思路）解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。例2（解题方法一之步骤1）将综合点2后移，然后与综合点3交换。例2（解题方法一之步骤2）例2（解题方法一之步骤3）例2（解题方法一之步骤4）内反馈环节等效变换例2（解题方法一之步骤5）内反馈环节等效变换结果例2（解题方法一之步骤6）串联环节等效变换例2（解题方法一之步骤7）串联环节等效变换结果例2（解题方法一之步骤8）内反馈环节等效变换例2（解题方法一之步骤9）内反馈环节等效变换结果例2（解题方法一之步骤10）反馈环节等效变换例2（解题方法一之步骤11）等效变换化简结果例2（解题方法二）将综合点③前移，然后与综合点②交换。例2（解题方法三）引出点A后移例2（解题方法四）引出点B前移结构图化简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。结构图化简注意事项：有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；尽量避免综合点和引出点之间的移动。五、用梅森（S.J.Mason）

公式求传递函数梅森公式的一般式为：梅森公式参数解释：注意事项：“回路传递函数”是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的正、负号。举例说明（梅森公式）例1：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)求解步骤之一（例1）找出前向通路数n求解步骤之一（例1）前向通路数：n＝1求解步骤之二（例1）确定系统中的反馈回路数1.寻找反馈回路之一1.寻找反馈回路之二1.寻找反馈回路之三1.寻找反馈回路之四利用梅森公式求传递函数(1)利用梅森公式求传递函数(1)利用梅森公式求传递函数(2)求余子式1将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式的求法，计算求余式1将第一条前向通道从图上除掉后的图图中不再有回路，故1=1利用梅森公式求传递函数(3)例2：用梅森公式求传递函数试求如图所示的系统的传递函数。求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之二：确定前向通路求解步骤之二：确定前向通路求解步骤之三：求总传递函数例3：对例2做简单的修改①求反馈回路1②求反馈回路2③求反馈回路3④求反馈回路42.①两两互不相关的回路1②两两互不相关的回路2３.①求前向通路13.②求前向通路24.求系统总传递函数脉冲响应函数即脉冲过渡函数，就是系统对单位脉冲函数输入的响应，用k(t)表示。2－5系统的脉冲响应函数由此可知系统（或元件）的传函的拉氏反变换就等于它的脉冲响应。设系统传函为，而所以有概念和定义返回子目录对于任意输入信号r(t)，系统输出为c(t)，则用拉氏变换的卷积定理可得：由此可知，对于线性系统，只要知道它的脉冲过渡函数k(t)，就可以计算出系统对任意输入信号r(t)的时间响应过程c(t)。注：传递函数简称传函（下同）下面用线性系统的叠加原理说明式(2-5-1)的物理含义设任意输入信号r(t)，如上图所示，分成一系列宽度为的相邻矩形脉冲。则一矩形脉冲可表为式中是发生在时刻的理想脉冲。则式表示的矩形脉冲引起的系统输出为，由物理系统的因果关系，可知当时，有。由叠加原理得：当时，记，上式可写为当系统输入为单位阶跃信号时，则单位阶跃响应记作h(t)，由(2-5-1)式得所以知道系统的脉冲响应，就可以惟一确定其单位阶跃响应，反之亦然，即2－6典型反馈系统传递函数输入：控制输入干扰输入输出：由控制作用产生的输出由干扰作用产生的输出返回子目录一、系统开环传递函数不含极性闭环系统的开环传递函数为：它是当主反馈回路断开时反馈信号B(s)与输入信号之间的传递函数。二、系统在r(t)作用下的闭环传递函数令n(t)＝0注：该系统为负反馈系统，系统传函中分母为1+开环传递函数，反之，若主反馈为正反馈时，则系统传函为1－开环传函三、系统在n(t)作用下的闭环传递函数令r(t)＝0四、系统总输出线性系统满足叠加原理。系统总输出的拉氏变换式为：五、闭环系统的误差传递函数按上图规定误差为：

e(t)=r(t)-b(t)E(s)=R(s)-B(s)

1.r(t)作用下的系统误差传递函数

此时令n(t)=0，则结构图如下所示此时令n(t)=0，则结构图如下所示

2.n(t)作用下的系统误差传递函数

3.系统总误差

六、闭环系统的特征方程式无论是系统传递函数还是误差传递函数，它们都有一个共同的特点，拥有相同的分母，这就是闭环系统的本质特征，我们将闭环传递函数的分母多项式称为闭环系统的特征方程式。它与输入无关，仅与系统本身的结构和参数有关。本章引入了传递函数这一基本概念，概念的引入过程、所介绍的主要内容以及这些内容间的关系可以用示意图表示如下：考虑负载效应拉氏变换(零初条件)(零初条件)(零初条件)拉氏变换消元法抽象物理、化学定律简化假定克莱姆法则线性化方法自动控制系统物理模型系统部件微分方程组系统增量动态方程组系统象函数方程组系统动态结构图(信号流图)梅森公式结构图等效变换法则C(s)系统原理方块图系统输入输出动态关系式传递函数传递函数概念与后几章的关系可用下图来表示。传递函数单位脉冲响应函数第三章时域分析第四章根轨迹法第五章频率域分析拉氏反变换第3章时域分析法3－1时域分析基础3－2一、二阶系统分析与计算3－3系统稳定性分析3－4稳态误差分析计算基本要求返回主目录

基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。3正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。返回子目录

4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。5熟练掌握计算稳态误差的方法。6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。3－1时域分析基础

一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。返回子目录二、典型初始状态，典型外作用1.典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。2.典型外作用单位阶跃函数1(t)tf(t)0îíì<³==0t00t1)t(1)t(f其拉氏变换为：s1dte1)s(F)]t(f[L0st===ò¥-其数学表达式为：t

单位斜坡函数0t0t0t)t(1t)t(f<³îíì=.=其拉氏变换为：20sts1dtet)s(F)]t(f[L===ò¥-f(t)0其数学表达式为：单位脉冲函数000)()(=¹îíì¥==ttttfd其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()]([==sFtfLò+¥¥-=1)(dttd定义：图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。正弦函数其拉氏变换为：220sin)()]([ωsωdteωtsFtfLst+===ò¥-000sin)(<³îíì=ttωttf其数学表达式为：f(t)三、典型时间响应初状态为零的系统，在典型输入作用下输出量的动态过程，称为典型时间响应。1.单位阶跃响应定义：系统在单位阶跃输入[r(t)=1(t)]作用下的响应，常用h(t)表示。若系统的闭环传函为，则h(t)的拉氏变换为故2.单位斜坡响应定义：系统在单位斜坡输入[r(t)=t·1(t)]作用下的响应，常用表示。故则有3.单位脉冲响应定义：系统在单位脉冲输入r(t)=δ(t)作用下的响应，常用k(t)表示。注：关于正弦响应，将在第五章里讨论故则有4.三种响应之间的关系由式(3-1-3)可将式(3-1-1)和式(3-1-2)写为：相应的时域表达式为四、阶跃响应的性能指标t)(th)(pth1ptst误差带01、峰值时间tp：指h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。2、超调量％：指h(t)中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。3、调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近5%h()或2%h()误差带，而不再超出的最小时间。4、稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之差。注意事项：3－2一、二阶系统分析与计算定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应返回子目录一阶系统数学模型微分方程：动态结构图：传递函数：一阶系统单位阶跃响应输入：输出：单位阶跃响应曲线初始斜率：性能指标1.平稳性：2.快速性ts：3.准确性ess：非周期、无振荡，＝0举例说明（一阶系统）一阶系统如图所示，试求：当KH＝0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间ts，放大倍数K，稳态误差ess；如果要求ts＝0.1秒，试问系统的反馈系数KH应调整为何值？讨论KH的大小对系统性能的影响及KH与ess的关系。看懂例题3-1并回答上述各题二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统数学模型二阶系统的微分方程一般式为：二阶系统的反馈结构图二阶系统的传递函数开环传递函数：闭环传递函数：二阶系统的特征方程为解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：式中为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。s1,s2完全取决于，n两个参数。此时s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。①特征根分析—

（欠阻尼）②特征根分析—（临界阻尼）此时s1,s2为一对相等的负实根。

s1=s2=-n⑷特征根分析—（过阻尼）此时s1,s2为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。⑤特征根分析—（零阻尼）此时s1,s2为一对纯虚根，位于虚轴上。S1,2=jn⑥特征根分析—（负阻尼）此时s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。⑦特征根分析—（负阻尼）此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。二阶系统单位阶跃响应1.过阻尼二阶系统的单位阶跃响应取C(s)拉氏反变换得：过阻尼系统分析衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；衰减项前的系数一个大，一个小；二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。过阻尼系统单位阶跃响应与一阶系统阶跃响应的比较tc(t)0二阶过阻尼系统一阶系统响应1二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论，它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面，但确定的表达式是很困难的，一般根据（3－1－4）取相对量及经计算机计算后制成曲线或表格。2.欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应二阶欠阻尼系统的输出拉氏反变换得：二阶欠阻尼系统输出分析二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。下面根据上图来分析系统的结构参数、对阶跃响应的影响平稳性（％）结论：越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越小，ωd越大，振荡越严重，平稳性越差。当＝0时，为零阻尼响应，具有频率为的不衰减（等幅）振荡。阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示结论：对于二阶欠阻尼系统而言，大，

小，系统响应的平稳性好。在一定的情况下，越大，振荡频率

也越高，响应平稳性也越差。快速性从图中看出，对于5％误差带，当时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量<5％，平稳性也较好，故称为最佳阻尼比。总结：越大，调节时间越短；当一定时，越大，快速性越好。稳态精度从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。欠阻尼二阶系统

单位阶跃响应性能指标1.上升时间：令，则所以：根据极值定理有：该项不可能为零2.峰值时间：取n=1得:3.超调量：将峰值时间代入下式得:所以:4.调节时间写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统十，经常采用下列近似公式。当阻尼比时三、二阶系统举例2设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量，并分析比较之。例题解析(1)输入：单位阶跃系统的闭环传递函数：例题解析(2)当KA＝200时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：例题解析(3)当KA＝1500时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：例题解析(4)当KA＝13.5时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：无系统在单位阶跃作用下的响应曲线四改善二阶系统响应的措施1.误差信号的比例－微分控制系统开环传函为：闭环传函为：等效阻尼比：可见，引入了比例－微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。前面图的相应的等效结构由此知道：和及的大致形状如下一方面，增加项，增大了等效阻尼比，使曲线比较平稳。另一方面，它又使加上了它的微分信号，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比的平稳作用。总结：引入误差信号的比例－微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数。若大一些，使具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。2.输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。闭环传函为：等效阻尼比：等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。3.比例－微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。五高阶系统的时域分析定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二阶系统。这就是所谓的主导极点的概念，将在第四章中详细介绍。一、二阶系统的极点分布如下：3－3系统稳定性分析本节主要内容：线性定常系统稳定的概念系统稳定的条件和稳定性的判定方法。返回子目录一、系统稳定的概念是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。二、稳定性的数学条件设系统的线形化增量方程为：对上式进行拉氏变换得：其中：D(s)为系统闭环特征式，也称输出端算子式；M(s)称为输入端算子式。R(s)为输入，C(s)为输出，M0(s)为总的初始条件，与系统的初始状态有关的多项式。或简写为：则有：假定：将C(s)等式右的两项分别展开成部分分式，可得再进行拉氏反变换，得该部分为稳态分量，即微分方程的特解，取决于输入作用。该为瞬态分量，即微分方程的通解，运动规律取决于，由系统的结构参数确定。系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决定。此时，系统的输入为零。故：稳定性定义可转化为：式中：Ai，Ci均为常值，因此，系统的稳定性仅取决于特征根si的性质。特征根的性质对系统稳定性的影响当si为实根时，即si＝i，特征根与系统稳定性的关系(2)当si为共轭复根时，即si，i+1＝i±

jωi共轭复根情况下系统的稳定性结论：系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于S平面的虚轴之左。注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件：SE(S)在S平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征方程的所有根Si位于S平面的虚轴之左。三、稳定性判据判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部为正。赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为：各阶赫尔维茨行列式为：（一般规定）举例：系统的特征方程为：试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。解：第一步：由特征方程得到各项系数２１３５第二步：计算各阶赫尔维茨行列式结论：系统不稳定。１０三、稳定性判据判据之二：林纳德－奇帕特（Lienard-Chipard)判据系统稳定的充分必要条件为：１．系统特征方程的各项系数大于零，即２．奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即或必要条件举例：单位负反馈系统的开环传递函数为：试求开环增益Ｋ的稳定域。解：第一步：求系统的闭环特征方程第二步：列出特征方程的各项系数。第三步：系统稳定的充分必要条件。解得：Ｋ＜１４开环增益Ｋ的稳定域为：由此例可见，K越大，系统的稳定性越差。上述判据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。三、稳定性判据判据之三：劳斯(Routh)判据系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零。若系统的特征方程为：则劳思表中各项系数如下图：关于劳斯判据的几点说明如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定；如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态；第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。例1设系统特征方程如下：试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。解：将特征方程系数列成劳斯表结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。劳斯表判据的特殊情况在劳斯表的某一行中，第一列项为零。在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。例2设系统的特征方程为：试用劳斯判据确定正实部根的个数。解：将特征方程系数列成劳斯表由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可用因子(s+a)乘以原特征式，其中a可为任意正数，这里取a=1。于是得到新的特征方程为：将特征方程系数列成劳斯表：结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。例3设系统的特征方程为：试用劳思判据确定正实部根的个数。解：将特征方程系数列成劳斯表劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。用行的系数构造系列辅助方程求导得：用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为。再可求出特征方程的其它两个根为。四.结构不稳定及改进措施某些系统，仅仅靠调整参数仍无法稳定，称结构不稳定系统。如下图液位可能控制系统。消除结构不稳定的措施有两种改变积分性质引入比例－微分控制，补上特征方程中的缺项。该系统的闭环特征方程为：系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无论怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。1.改变积分性质用反馈包围积分环节或者包围电动机的传递函数，破坏其积分性质。2.引入比例－微分控制在原系统的前向通路中引入比例－微分控制。其闭环特征方程为：由稳定的充分必要条件：引入比例－微分控制后，补上了特征方程中s的一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件，系统就可以稳定。3－4稳态误差分析计算一.误差与稳态误差系统的误差e(t)常定义为：e(t)=期望值－实际值误差:(1)e(t)=r(t)-c(t)(2)e(t)=r(t)-b(t)返回子目录稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为稳态系统。当时间t趋于无穷时，e(t)极限存在，则稳态误差为二.稳态误差的计算若e(t)的拉普拉斯变换为E(s)，且在计算系统误差的终值(稳态误差)时，遇到的误差的象函数一般是s的有理分式函数，这时当且仅当的极点均在左半面，就可保证存在，式就成立。注：sE(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统稳定的条件。对上述系统，若定义e(t)=r(t)-b(t),则E(s)=R(s)-B(s)称之为系统对输入信号的误差传递函数。称为系统对干扰的误差传递函数。例：系统结构如下图。当输入信号r(t)=1(t),干扰n(t)=1(t)时，求系统的总的稳态误差解：①判别稳定性。由于是一阶系统，所以只要参数大于零，系统就稳定。②求E(s)。根据结构图可以求出：依题意：R(s)=N(s)=1/s,则③应用终值定理得稳态误差三输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系当系统只有输入r(t)作用时，系统的开环传递函数为：RECB将G(s)H(s)写成典型环节串联形式：当sE(s)的极点全部在s平面的左半平面时，可用终值定理求得：上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系统的开环增益K和积分环节的个数有关。1.阶跃信号作用下的稳态误差要消除阶跃信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有一个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。2.斜坡信号作用下的稳态误差要消除斜坡信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积分环节。3.等加速信号作用下的稳态误差要消除等加速信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。由以上分析可见，要消除系统在幂函数输入信号作用下的稳态误差，则要求增加积分环节的数目，要减小系统的稳态误差，则要求提高开环增益。系统型别是针对系统的开环传递函数中积分环节的个数而言的。=０的系统称为０型系统；＝１的系统称为Ⅰ型系统；＝２的系统称为Ⅱ型系统；例：系统结构如下图：若输入信号为试求系统的稳态误差。解：①判别稳定性。系统的闭环特征方程为②

根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接求从结构图看出，该系统为单位反馈且属Ⅱ型系统。因此注意事项系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义；以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态误差，不适用于干扰作用下系统的稳态误差；上述公式中Ｋ必须是系统的开环增益，也即开环传递函数中，各典型环节的常数项均为１时的系数。以上规律是根据误差定义E(s)=R(s)-B(s)推得的。四干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系用一待定的来代替上图中的，然后找出消除系统在干扰n(t)作用下的误差时，需具备的条件。以上分析表明，是误差信号到干扰作用点之间的传递函数，系统在时间幂函数干扰作用下的稳态误差与干扰作用点到误差信号之间的积分环节数目和增益大小有关，而与干扰干扰作用点后面的积分环节数目和增益大小无关。例：系统结构图如下，已知干扰n(t)=1(t),试求干扰作用下的稳态误差解：①判断稳定性。系统开环传函为所以闭环特征方程为②求稳态误差从图中可以看出，误差信号到干扰作用点之前的传递函数中含有一个积分环节，所以可得出，系统在阶跃干扰作用下的稳态误差为零。本章知识点及联系

误差的定义公式、图线公式、图线劳斯判据、赫尔维茨判据一阶系统标准式二阶系统标准式闭环特征式稳定性终值定理判稳等效单位负反馈系统开环传递函数判稳误差系数第四章根轨迹法第4章根轨迹法

基本要求4-1根轨迹与根轨迹方程4-2绘制根轨迹的基本法则4-3广义根轨迹4-4系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系4-5系统阶跃响应的根轨迹返回主目录基本要求

1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。返回子目录4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。4－1根轨迹与根轨迹方程当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为根轨迹。一、根轨迹返回子目录例子如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：开环传递函数有两个极点。没有零点，开环增益为K。闭环特征方程为闭环特征根为闭环传递函数为从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化

而变化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递函数为（4－4）图4－3控制系统将前向通道传递函数G（s）表示为：（4－5）

为前向通道增益，为前向通道根轨迹增益式中为反馈通道的根轨迹增益。（4－7）（4－6）（4－8）闭环传递函数分别为闭环零、极点。式中：（4－10）比较式（4－8）和式（4－10）可得出以下结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益有关。根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。三、根轨迹方程根轨迹方程

G(s)H(s)=-1（4-12）式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。

闭环特征方程

D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-11）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m，这时式（4－12）又可以写成：（4－13）不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。相角方程（4－15）模值方程（4－14）注意在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的值。

模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。

相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。例4-1它们应满足相角方程（4－15）已知系统的开环传递函数试证明复平面上点是该系统的闭环极点。若系统闭环极点为证明：

该系统的开环极点图4－4例4－1开环零、极点分布图(k=0)以为试验点，可得以为试验点，观察图4－4，可得图4－4证毕可见，都满足相角方程，所以，点是闭环极点。例4－2已知系统开环传递函数当变化时其根轨迹如图4-5所示，求根轨迹上点所对应的K值。解

根据模值方程求解值模值方程图4-5根据图4－5可得所以图4-5上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的值。根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。4－2绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支数分支数＝开环极点数

＝开环特征方程的阶数二、根轨迹对称于实轴闭环极点为实数→在实轴上复数→共轭→对称于实轴返回子目录起于开环极点，终于开环零点。三、根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有：

若开环零点数m<开环极点数n(有个开环零点在无穷远处)

则有()条根轨迹趋于无穷远点→→

起点→→终点四、实轴上的根轨迹

实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。证明：设一系统开环零、极点分布如图。在实轴上任取一试验点代入相角方程则所以相角方程成立，即是根轨迹上的点。一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式证毕如满足相角条件必有所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。例4－3设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求时的闭环根轨迹。解：将开环传递函数写成零、极点形式设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求时的闭环根轨迹。最后绘制出根轨迹如图4－7所示。法则一，有两条根轨迹法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处。法则四，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行：图4－7例4－3根轨迹法则五、根轨迹的渐近线渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴相交点的坐标为：例4-4已知系统的开环传递函数试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。极点解：零点按照公式得以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线对应的开环传递函数(a)(b)(c)(d)法则六、根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。起始角与终止角计算公式起始角计算公式：终止角计算公式：例4－5设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。解

将开环零、极点画在图4－12的根平面上，逐步画图：图4－12例4－5根轨迹

n=2，有两条根轨迹两条根轨迹分别起始于开环极点(-1-j2),(-1+j2)；终于开环零点(-2-j),(-2+j)确定起始角,终止角。如图4－13所示。例4－5根轨迹的起始角和终止角图4－13定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。七、根轨迹的分离点坐标d分离点的坐标d可由下面方程求得式中：为各开环零点的数值，为各开环极点的数值。例4－6已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概略绘制出根轨迹图。解：根据系统开环传递函数求出开环极点按步骤：n=2,m=1,有两条根轨迹两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点之间，因此判断有分离点离开复平面极点的初始角为渐近线（舍去）6、求分离点坐标d此系统根轨迹如图4-15所示图4－15八、分离角与会合角所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。分离角计算公式（4－45）所谓会合角是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。会合角计算公式分离角与会合角不必经公式计算，可以用下列简单法则来确定：若有条根轨迹进入d点，必有条根轨迹离开d点；条进入d点的根轨迹与条离开d点的根轨迹相间隔；任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨迹方向之间的夹角为；因此只要确定了d点附近的一条根轨迹的方向，由上述规律就可以方便地确定d点附近所有的根轨迹方向，而确定d点附近根轨迹方向的方法可根据法则2、法则4或取试验点用相角条件来验证。九、根轨迹与虚轴的交点如根轨迹与虚轴相交，则交点上的值和值可用劳思判据判定，也可令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零求得。例4－7设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。解：按步骤画图有4条根轨迹各条根轨迹分别起于开环极点

0，-3，-1+j1,-1-j1；终于无穷远实轴上的根轨迹在0到-3之间渐近线确定分离点d解方程得（舍去）确定起始角确定根轨迹与虚轴的交点。令代入上式解得闭环系统的特征方程为图4－17例4－7根轨迹十、根之和与根之积如果系统特征方程写成如下形式闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程第二项系数。若根之和与开环根轨迹增益无关。Tips在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，n-m2的系统，当增益Ｋ的变动使某些闭环极点在s平面上向左移动时，则必有另一些极点向右移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。闭环特征根之积乘以，等于闭环特征方程的常数项。例4－8已知单位负反馈系统开环传递函数为试画出时的闭环系统的概略根轨迹，并求出时的闭环传递函数及闭环极点。解；根据根轨迹绘制法则，按步计算：n=4，有四条根轨迹；起始于开环极点0，-20，-2-j4,-2+j4，终于无穷远处；实轴上的根轨迹在（0，-20）区间；n=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为取根轨迹的起始角。解得分离点坐标d。舍根轨迹与虚轴交点。系统特征方程解得则两个闭环极点令代入此时特征方程为利用综合除法，可求出其他两个闭环极点图4－19例4－8根轨迹图图4-18常见闭环系统根轨迹图4－3广义根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹设系统开环传递函数为(4-59)闭环特征方程为(4-60)等效变换成返回子目录令（4－61）显然，利用式4－61就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹。二、开环极点变化时的根轨迹设一负反馈系统的开环传递函数为现在研究变化的根轨迹。等效开环传递函数为根据式（4－62）可画出变化时的广义根轨迹。已知系统的开环传递函数为试绘制当开环增益K为时，时间常数变化时的根轨迹。例4-10解：

题目显然是求广义根轨迹问题。系统特征方程为等效开环传递函数为等效开环传递函数有3个零点，即0，0，-1；2个极点，不同K值可计算出不同极点。按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹如图4-21。图4-21例4-10根轨迹图分析复杂控制系统如图，其中内回路为正反馈。为了分析整个控制系统的性能，需求出内回路的闭环零、极点。用根轨迹的方法绘制正反馈系统的根轨迹。三、零度根轨迹图4-22