第二讲典型方程推导

第二

章现象与偏微分方程建模物理模型：一根两端固定的拉紧的均匀的柔软的细弦，长度为，在外力作用下在平衡位置附近作微小横振动求在不同时刻弦线的形状。--（理想化假设）数学建模：弦上质点相对于平衡位置的位移时刻示意图2.1弦振动方程（波动方程）

t时刻张力在轴方向上的合力其中也可由牛顿第二定律推导弦振动方程。有外力情况：假定有垂直于轴方向的外力存在，并设其线密度为，它在时间段内的冲量为于是有无外力的弦振动方程：则弦段上的外力为仍有的任意性，知表示单位质量在每点处所受的外力均匀弹性杆的微小纵振动——均匀细杆在外力作用下沿杆长方向作微小振动振动中弦上点的张力大小由胡克定理确定：T＝ESε其中，S－截面积、E－弹性系数（杨氏模量）、ε ＝

∂u

－杆在该点的相对伸长量。∂xabu(b,

t)x （不振动时）x （振动时刻t

）abu(a,t)向右，

u>0设杆长方向为

x

轴，u(x,t)为

x

处的截面在时刻

t

沿杆长方向的位移，如下图2 2∂

u

−

a

2∂t

2∂x2再由Newton第二定律，可推得u(

x,

t

)满足∂

u

= f因此，区间

[a

+

u(a,t),b

+

u(b,t)]

两端所受的张力为：a

+u(a,t)b

+

u(b,

t)T

a T

bT = −

E

S ∂

u , T = E

S ∂

uabx

=

a x

=

b∂

x∂

x其

中

，

a

2

= E

，

f =f

0ρ 为

杆

的

密

度

，

f

0

为

外

力

线

密

度

。,ρ S

ρ进一步推广到高维情况：薄膜振动：电磁波、声波的传播：弦振动方程具有典型性，许多有关振动问题同样可以用此方程来刻画。由于振动的一个共同特征是产生波的传播，因此，此方程也称为一维波动方程。2.2热传导与扩散--热传导方程（扩散方程）物理背景：考虑一均匀、各向同性的物体，假定它内部有热源，并且与周围介质有热交换，来研究物体内部温度的分布和变化。分析：物体内部由于各部分温度不同产生热量的传递能量守恒定律：物体内部热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和.密度：比热容：内在到时刻吸收的总热量由能量守恒：热传导系数*傅里叶实验定律先考虑没有热源情况：由积分区域任意性，知特别系数都为常数时，注有热源情况：单位时间内单位体积所产生的热量为F(x,y,z,t).故在区域，时段的总热量为则有热源的热传导方程为扩散方程的导出*Nerst扩散定律分子扩散运动速度与浓度的梯度成正比。因此类似热方程推导：分子在介质中的扩散扩散系数薄膜振动方程如果上述方程与时间无关，则或称为2D泊松方程。类似我们有3D泊松方程而称为调和方程或拉普拉斯方程，简记为2.3位势

--调和方程（拉普拉斯方程）（1）引力位势其位势函数（相差一个常数下唯一）利用万有引力公式，可得引力场函数（引力常数取1）与引力场函数存在关系单位质点令物体在区域上的密度函数为，则该物体在点上的总位势为单位质点可直接验证并且若充分光滑（思考题：以后证明）（2）静电场的电位势由静电学中高斯定理得电荷密度电场强度利用分部积分公式可得利用库仑定律，静电势是有势的，故存在静电位势电荷密度电场强度*引力位势可得特别注引力是吸引力，同种电荷相互作用是排斥力。故在泊松方程里相差负号*定义满足调和方程的经典解称之为调和函数。2.4连续性方程（输运方程）