王矜奉固体物理习题

晶体的结构习题1．以刚性原子球积聚模型，计算以下各结构的致密度分别为：（1）简立方，;（）体心立方,3;628（3）面心立方，2;（）六角密积，266（5）金刚石结构，3;16[解答]假想晶体是由刚性原子球积聚而成，一个晶胞中刚性原子球据有的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，n4r3则致密度=3V（1）对简立方晶体，任一个原子有6个近来邻，若原子以刚性球积聚，以下列图，中心在1，2，3，4处的原子球将挨次相切，因为3a4r,Va3,面简立方晶胞晶胞内包括1个原子，所以4a33(2)a36（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个近来邻，若原子刚性球积聚，如图所示，体心地点O的原子8个角顶地点的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为34,Va3,晶胞内包括2个原子，所以ar=2*34(43a)33a38图体心立方晶胞（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个近来邻，若原子以刚性球积聚，以下列图，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为2a4r,Va3，1个晶胞内包括4个原子，所以4*34(42a)32=a3.6图面心立方晶胞（4）对六角密积结构，任一个原子有12个近来邻，若原子以刚性球积聚，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，图六角晶胞图正四周体晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四周体的四个顶上，因为四周体的高h=32a232rc2晶胞体积V=ca2sin603ca2,2一个晶胞内包括两个原子，所以2*34(a2)32.ρ=23ca26（5）对金刚石结构，任一个原子有图所示，中心在空间对角线四分之一处的

4个近来邻，若原子以刚性球积聚，如O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为

3a

8r,晶胞体积

Va3,图金刚石结构一个晶胞内包括8个原子，所以8*34(3a)3ρ=833.a162．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122），和（210）晶面。[解答]图中虚线标出的面即是所求的晶面。3．以下列图，在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为a1,a2,a3,在C轴上的截距为chkml证明：hkm求出O,A1A3,A1A3B3B1,A2B2B5A5和A1A3A5四个面的面指数。图六角晶胞对称画法[解答]设d是晶面族（hkml）的面间距，n是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm）中最凑近原点的晶面在a1a2a3,c轴上的截距分别为a1/h,a2/k,a3/m,c/l所以有a1n=hd,a2n=kd,a3n=md.因为a3(a2a3),所以a3n(a2a3)n。由上式获得md=(hdkd).即m(hk),由图可获得：O'A1A3晶面的面指数为(1121)A1A3B3B1面的面指数为(1120)A2B2B5A5晶面的面指数为(1100)A1A3A5晶面的面指数为(0001)4．设某一晶面族的面间距为

d,

三个基矢

a1,a2,a3的尾端分别落在离原点的距离为h1d

,h2

d,h3d

的晶面上，试用反证法证明：

h1,h2,h3是互质的。[解答]设该晶面族的单位法量为a1,a2,a3由已知条件可得a1

n

h1d,a2

n

h2d,

a3

n

h3d,假设h1,h2

,h3

不是互质数，且合约数

p1

即h1

pk1,h2

pk2,h3

pk3k1,k2,k3是互质的整数，则有a1npk1d,a2npk2d,a3npk3d今取离原点近来的晶面上的一个格点，该格点的地点矢量为rl1a1l2a2l3a3,因为心定是整数，并且rndl1a1nl2a2nl3a3n于是获得pk1l1pk2l2pk3l31由上式可得k1l1

k2l2

k3l3

1p于

上式左端是整数，右端是分数，明显是不成立的。矛盾的产生是p为不等1的整数的假设。也就是说，p只好等于1，即h1,h2,h3必定是互质数。5．证明在立方晶体中，晶列[hkl]与晶面（hkl）正交，并求晶面(h1k1l1)与晶面(h2k2l2)的夹角。[解答]设d是为晶面族（hkl）的面间距，n为法向单位矢量，依据晶面族的定义，晶面族（hkl）将a,b,c分别截为h,k,l等份，即an=acos(a,n)=hd,bn=bcos(b,n)=kd,cn=ccos(c,n)=ld于是有n=hdi+kdj+ldkaaad(hi+kj+lk)a此中,i,j,k分别为平行于a,b,c三个坐标轴的单位矢量，而晶列[hkl]的方向矢量为R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)由（1），（2）两式得dn=R2a即n与R平行，所以晶列[hkl]与晶面（hkl）正交。对于立方晶系，晶面(h1k1l1)与晶面(h2k2l2)的夹角，就是晶列R1=h1a+k1b+l1c与晶列R2=h2a+k2b+l2c的夹角，设晶面(h1k1l1)与晶面(h2k2l1)的夹角为由R1R2=R1R2cosh12k12l12h22k22l22a2cos=h1h2a2k1k2a2l1l2a2得cos1{(h12h1h2k1k2l1l2}k12l12)(h22k22l226．以下列图，B,C两点是面心立方晶胞上的两面心。（1）求ABC面的密勒指数；（2）求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。图面心立方晶胞[解答]（1）

矢量

BA与矢量

BC

的叉乘即是

ABC

面的法矢量BA=OA

OB

(a

b)

1(b2

c)

1(2a2

bc),BC

OC

OB

[c

1

(a

b)]

1(b

c)

1(a

c),2

2

2BABC1bc)1a(a3bc).(2a(ac)422因为对峙方晶系，晶列[hkl]与晶面族（hkl）正交，所以ABC面的密勒指数为(131).（2）ACOCOA1(ab)](ab)1(ab2).22可见AC与晶列(a+b-2c)平行，所以AC晶列的晶列指数为[112].由《固体物理教程》（13）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系aa1a2a3,ba1a2a3,ca1a2a3晶列(a+b-2c)可化为(a+b-2c)=-2(1a22a3)a由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为[112]7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。[解答]设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取为a1a(jk),2a2a(kj),2a3a(ij).2由倒格矢公式b12[a2a3],b22[a3a1],b32[a1a2],可得其倒格矢为b12(ijk),ab22(ijk),ab32(ijk).a设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为i,j,k,体心立方正格子的原胞基矢可取为a1a(ijk),2a2a(ijk),2a3a(ijk).2以上三式与面心立方的倒格基矢对比较，二者只相差一常数公因子，这说明面心立方的倒格子是体心立方。将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式b12[a2a3],b22[a3a1],b32[a1a2].则得其倒格子基矢为b12(ik),ab22(ki),ab32(ij).a可见体心立方的倒格子是面心立方。8．六角晶胞的基矢a3ai

a

j,2

2b

3ai

a

j,2Cck求其倒格基矢。[解答]晶胞体积为a[bc](

3ai

a

j)[

(

3ai

a

j)

(ck)]2

2

2

2a2c.2其倒格矢为a2[bc]2[(3aiaj)(ck)]2223a2c2(3ij).a3b2[ca]2[(ck)(3aiaj)]2223a2c2(3ij).a3c2[ab]2[(3aiaj)(3aiaj)]222223a2ckc9．证明以下结构晶面族的面间距：（1）立方晶系:22212dhkl[kl],ah(l)2]（2）正交晶系:dhklhk221abc（3）六角晶系:dhkl[4(h2k2hk)(l)2]213a2c（4）简单单斜:dhkl[1(h2l22hlcos)k2]2.1sin2a2c2acb2[解答]（1）设沿立方晶系轴a,b,c的单位矢量分别为i,j,k,则正格子基矢为aai,bbj,cak,图立方晶胞倒格子晶矢为a2i,b2j,c2k.aaa与晶面族(hkl)正交的倒格为Khklhakblc.由晶面间距dhkl与倒格矢Khkl的关系式dhkl2Khkl得，adhkl.h2k2l2（2）对于正交晶系，晶胞基矢a,b,c相互垂直，但晶格常数abc.设沿晶轴a,b,c的单位矢量分别为i,j,k则正格子基矢为aai,bbj,cck,图正交晶胞倒倒格子基矢为a2i,b2j,c2k.abc与晶面族(hkl)正交的倒格为Khklhakblc.由晶面间距dhkl与倒格矢Khkl的关系式dhkl2Khkl得dhkl[(h)2(k)2(l)2]abc

12（2）对于六角晶系，abc,90,120,晶面族(hkl)的面间距图六角晶胞dhkl222.Khklhakblc2hkkblc也即1122222[h2ak2bl2c2hk(ab)2kl(bc)2hl(ac)].dhkl4由图可得六角晶胞的体积ca(ab)a2csina2csin1203a2c.2倒格基矢的模aba2bc2acsin4,32a2c3acc2ab2a2sin2.32a2cc倒格基矢的点积ab42422[bcca]2c[abc]}42bccabacc242a2c2coscoscos8223a2.此中利用了矢量混杂的循环关系ABCBCACAB及关系式ABCBACCAB.因为ab矢量平行于c所以4ac

22

bcab0,bc

4

22

caab0.将以上诸式代入（1）式得24(h2k2hk)l2dhkl22,3ac即dhkl=[4(h2k2hk)(l)2]123a2c（4）单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足abc和90,90晶胞体积b(ca)abcsin由a2bcb2cac2ab得其倒格子基矢长度a2bc2a,abcsinasin及b2bbc2cacsin倒格基矢间的点积ca

44

222

abbc=

2

abbcacbb42ab2c(coscoscos)=

abcsin2因为(ca)矢量平行于b所以4ab

22

bcca0bc

4

22

caab将以上诸式代入11h2a22l2c22hkaab2klbc2hlack2bdhkl24获得1h2k2l22hlcosdhkl2a2sin2b2c2sin2acsin2=1h2l22hlk2sin2a2c2acb21h2l22hlcos12即dhklk2sin2a2c2acb210．求晶格常数为a的面心立方和体立方晶体晶面族h1h2h3的面间距[解答]面心立方正格子的原胞基矢为a1ajk2a2aki2a3aij2由b12a2a3,b22a3a1,b32a1a2,可得其倒格基矢为b12jk,iab22jk,iab32jk,ia倒格矢Khh1b1h2b2h3b3.依据《固体物理教程》（1。16）式dh1h2h32,Kh得面心立方晶风光族h1h2h3的面间距2dh1h2h3Kh=a21222h1h2h3h1h2h3h1h2h3体心立方正格子原胞基矢可取为a1ajki2a2ajki2a3aijk2其倒格子基矢为b12jkab22kiab32ija则晶面族h1h2h3的面间距为dh1h2h32aKhh2h32h3h12h1h221211．试找出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面和最密的线。[解答]由上题可知，体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族h1h2h3的面间距dh1h2h3a2h3h12h1h22h2h3可以看出，面间距最大的晶面族就是001，将该晶面指数代入《固体物理教程》（）式，获得该晶面族对应的密勒指数为110面间距最大的晶面上的格点最密，所以密勒指数110晶面族是格点最密的面，格点最密的线必定分布在格点最密的面上，由图虚线标出的(110)晶面简单算出，最密的线上格点的周期为图体心立方晶胞3a2由上题还知，面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族h1h2h3的面间距dh1h2h3a2h1h2h32h1h2h32h1h2h3可以看出，面间距最大的晶面族是111。由本章第15题可知，对于面心立方晶体，晶面指数h1h2h3与晶面指数(hkl)的变换关系为1h1h2h3h1h2h3h1h2h3,hklp将晶面指数111代入上式，获得该晶面族对应的密勒指数也为111.面间距最大晶面上的格点最密，所以密勒指数111晶面族是格点最密的面,格点最密的线必定分布在格点最密的面上,由图虚线标出的(111)晶面上的格点简单算出,最密的线上格点的周期为2a2图面心立方晶胞12．证明晶面h1h2h3,h1'h2'h3'及h1"h2"h3"属于同一晶带的条件h1h2h3h1'h2'h3'0h1"h2"h3"[解答]设原胞坐标系中的倒格子基矢为b1,b2,b3,则晶面h1h2h3，h1'h2'h3'及h1"h2"h3"的倒格矢分别为Khh1b1h2b2h3b3,Kh'h1'b1h2'b2h3'b3,Kh"h1"b1h2"b2h3"b3.当三个晶面共晶带时,它们的交线相互平行,这些交线都垂直于倒格矢KhKh'Kh"即KhKh'Kh"位于同一平面上,于是有KhKh'Kh"0利用正倒格子的关系a`2b1b2,b22b3b1,b32b1b2得Kh'Kh"h1'h2"h2'h1"b1b2h2'h3"h3'h2"b2b3h3'h1"h1'h3"b3b1h1'h2'h2'h3'h3'h1'2[""a3""a1""a2],h1h2h2h3h3h1式中为倒格原胞体积,于是获得1Kh1'h2'h2'h3'h3'h1'KhK'"h3h2"h1h3"h2h1"hhh1"h2"h3"h1h2h3h1'h2'h3'.h1"h2"h3"代入(1)式,得h1h2h3h1'h2'h3'0h1"h2"h3"13.晶面h1h2h3,h1'h2'h3'的交线与晶列Rll1a1l2a2l3a3,平行,证明l1h2h3,l2h3h1,l3h1h2.h2h3h3h1h1h2[解答]与晶面h1h2h3,h1'h2'h3'垂直的倒格矢分别为Khh1b1h2b2h3b3,Kh'h1'b1h2'b2h3'b3,晶面的交线应同时与Kh和Kh'垂直,即与KhKh'平行,而KhKh'h1h2b1b2h2h3b2b3h3h1b3b1'''''h1h1h2h2h3h3h1h2h2h3h3h12h1'h2'a3h2'h3'a1h3'h1a2,式中b1b2b3为倒格原胞体积,a1,a2,a3为正格原胞基矢已知晶面h1h2h3,h1'h2'h3'的交线与晶列Rll1a1l2a2l3a3平行,即Rl和Kh'Kh"平行,所以l1,l2,l3可取为l1h2h3,l2h3h1,l3h1h2.h2h3h3h1h1h214．今有正格矢ula1ma2na3,vl'a1m'a2n'a3,wl"a1m"a2n"a3.此中l,m,n;l',m',n'及l",m",n"均为整数,试证u,v,w可选作基矢的充分条件是l

l

'

l"mm'

m"

1.nn'

n"[解答]解法一:固体物理原胞的采纳方法有无数种

,但它们有一个无同的特色

,即它们的体积都相等,是晶体的最小重复单元。所以

u,v,w

可选作基矢的充分条件是，由基矢u,v,w

构成的原胞体积必定等于由基矢

a1,a2,a3

构成的原胞体积，即uv

w

a1

a2

a3将ula1

ma2

na3,vl'a1

m'a2

n'a3,wl"a1

m"a2

n"a3代入u

v

w得uv

wul'm"

m'l

"

a1

a2

m'n"

n'm"

a2

a3

n'l"

l'n"

a2

a3nl'm"

m'l

"

lm'n"

n'm"

mn'l"

l'n"l

l'

l"mm'

m"

.nn'

n"将上式代入（1）得ll'l"mm'm"1.nn'n"解法二：设a1

xu

yv

zw，当

u,v,w为基矢时，

x,y,z应取整数值，将ula1vl'a1wl"a1

ma2m'a2m"a2

na3,n'a3,n"a3.代入a1

xu

yv

zw

得a1xuyvzwxlyl'zl"a1xmym'zm"a2xnyn'zn"a3.xlyl'zl"1由此得方程组xmym'zm"0xnyn'zn"0解方程得11l'l"x0m'm",0n'n"l1l"y1m0m",n0n"ll'1z1mm'0,nn'0ll'l"m'm".nn'n"因为x,y,z的表示式中的三分子的行列式的值均为整数，x,y,z为整数，所以u,v,w可选作基矢的充分条件是ll'l"mm'm"1nn'n"15．对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为hkl，求对应的原胞坐标中的面指数h1h2h3若已知h1h2h3求对应的密勒指数hkl。[解答]由《固体物理教程》（1。3）式和（1。4）两式得面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢b1,b2,b3与晶胞坐标系中的倒格基矢a,b,c的关系为b12ijkabc,ab22ijkabc,ab32ijkabc.a也即a2i1b2b3,a2b2j1b3b1,a2c2k1b1b2.a2与晶面族hkl垂直的倒格矢Khklhakblc1klb1lhb2hkb321pKhhh1ph1b1h2b2h3b3,21232Kh1h2h3与晶面族h1h2h3正交，所以，若已知晶面族的密勒指数(hkl)则原胞坐标系中的面指数h1h2h31(kl)lhhkp此中p是(kl),lh,hk的合约数相同Kh1h2h3h1b1h2b2h3b3h1h2h3ah1h2h3bh1h2h3cp'Khklp'hakblc.Khkl与晶面族(hkl)正交，所以，若已知晶面族的面指数h1h2h3则晶胞坐标系中的面指数1h1h2h3h1h2h3h1h2h3,(hkl)'p此中p'是h1h2h3,h1h2h3,h1h2h3的合约数。16．证明不存在5度旋转对称轴。[解答]以下边所示，A,B是同一晶列上O格点的两个近来邻格点，假如绕经过O点并垂直于纸面的转轴顺时针旋转角，则A格点转到A'点，若此时晶格自己重合，点处本来必定有一格点，假如再绕经过O点的转轴逆时针旋转角，则晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转角，B格点转到B'处，说明B'处本来必定有一格点，可以把格点看作分布在一族相互平行的晶列上，由图１．１６可知，A'B'晶列与AB晶列平行．平行的晶列拥有相同的周期，若设该周期为a则有图晶格的旋转对称性A'B'2acosma,此中m为整数，由余弦的取值范围可得mcos1.于是可得m0:,3;22m1:,2,4,5;3333m2:,2.因为逆时针旋转3，4,5分别等于顺时针旋转2，2，,23333所以晶格对称转动所同意的独立转角为2,,2,,.23上边的转角可一致写成,n1,2,3,4,6n称n为转轴的度数，由此可知，晶格的周期性不一样意有５度旋转对称轴．17．利用转动对称操作，证明六角晶系介电常数矩阵为11000220.0033［解答］由《固体物理教程》（1。21）式可知，若A是一旋转对称操作，则晶体的介电常数满足A'A.对六角晶系，绕x（即a）轴旋180和绕z（即c）轴旋120都是对称操作，坐标变换矩阵分别为100Ax01000113022Az310.22100假设六角晶系的介电常数为111213212231.313233则由A'xAx.得111213111213212231212231.313233313233可见120,130,310.1100即02231。03233将上式代入A'xAx.得1100022310323311132231132232344442333114112241122223341432323322由上式可得230,320,1122.于是获得六角晶系的介电常数11000110.003318．试证三角晶系的倒格子也属三角晶系，[解答]对于三角晶系，其三个基矢量的大小相等。且它们相互间的夹角也相等。即aa1ba2ca3a,.利用正倒格子的关系，得b12[a2a3]2a2sinb,b22[a3a1]2a2sinb,b32[a1a2]2a2sinb.设b1与b2的交角为12,b2与b3的交角为23,b3与b1的交角为31则有b1b2b2cos1242a2a3a3a1242a2a3a32a142a1a2a22a1a3a2a342a42cos.2cos由（1）和（2）式得cos12cos2coscos1coscossin21cos21cos由b2b3和b3b1可得coscos

2331

cos1,coscos可见倒格基矢b1与b2的交角，b2与b3的交角,b3与b1的交1.cos角都相等，这表示三个倒格基矢的长度不但相等，且它们之间的夹角也相等，所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系.19．谈论六角密积结构，X光衍射消光的条件.[解答]图示出了六角密积结构的一个晶胞，一个晶胞包括两个原子，它们的地点矢量分别是r10,r22a1b1c.332图六角密积晶胞因为是密积结构，所以原子散射因子f1f2f.将上述结果代入几何因子2fjei2nhujkvjlwj,Fhklj1i2n2h1k1l得Fhklffe332.(hkl)晶面族惹起的衍射光的总强度211i2nhklIFhklFhklffe332

211i2nhklffe332f2f22f2cosn4h2kl332f21cosn4h2kl.33由上式知，只有当n42l奇数，hk33时，才出现衍射消光.现将h,k,l的取值范围谈论以下：(a)当n为奇数时，若l为偶数，则nl也为偶数,为保证42nhkl=奇数,33成立，须有n4h2k奇数，33由此知2n2hk3奇数奇数.但因为h,k为整数，上式左端是偶数，右端是奇数，明显是不成立的，矛盾的产生是l为偶数的条件以致的，所以l不可以为偶数，而只好为奇数，因此n4h2k偶数33即2hk3整数整n当n为偶数时，由n4h2kl奇数33得n4h2k3l3奇数奇数上式左端是偶数，右端是奇数，明显也不成立，矛盾的产生是n为偶数的条件以致的，所以n不可以为偶数，由上述谈论可知，衍射消光条件为nl

奇数奇数2h

k

3

整数(=整数)n20．用波长为1.5405的X光对钽金属粉末作衍射解析，测得布拉格角大小为序的五条衍射线，见表1-1序号12345已知钽金属为体心结构，求（1）衍射晶面族的晶面指数；（2）晶格常数a[解答]（1）对于立方晶体，晶面族（hkl）的面间距dhkla,k2h2l2布拉格反射公式2dhklsinn相应化为sinnh2nk2nl2.2a可见sin与衍射面指数的平方和的开根成正比，由已知条件可知sin19.611:sin28.136:sin35.156:sin41.156:sin47.7691:1.405:1.7156:1.9608:2.2061.对于体心立方晶系，衍射面指数的和n（）为偶数出现衍射极大，因h+k+l此，对应衍射角由小到大摆列的衍射晶面族是（110），（200），（121），（220），（310），而12120:2200:122212:22220:321201:4.414:1.732:2.00:2.236..从各衍射角的正弦之比与衍射面指数的平方和的开根之比可以看出，二者比值是十分凑近的，存在的小小偏差，可能是丈量偏差所致，所以，对应布拉格角大小为序的五条衍射线的衍射晶面族是（110），（200），（121），（220），（310）。（2）将1.5405,19.611,nhnknl110代入sinnh2nk2nl22a获得钽金属的晶格常数a3.24621．铁在20C时，获得最小三个衍射角分别为812',1138',1418';当在1000C时，最小三个衍射角分别变为755',99',1259'.已知在上述温度范围，铁金属为立方结构。（1）试解析在20C和1000C下，铁各属于何种立方结构（2）在20C下，铁的密度为7860kgm3求其晶格常数。[解答]（1）对于立方晶体，晶面族（hkl）的面间距为dhkla2k2l2h布拉格反射公式2dhklsinn相应化为sin.nh2nk2nl22a可见sin与nh2nk2nl2成正比对于体心立方元素晶体，衍射面指数和n（h+k+l）为奇数时，衍射消光；衍射面指数和n（h+k+l）为偶数时，衍射极大，所以，对应最小的三个衍射面指数挨次为（110），（200），（211）.这三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比为12120:2200:2212121:4.414:1.73205.铁在20C时，最小的三个衍射角的正弦值之比sin812':sin1138':sin1418'=0.142628:0.201519:0.2469991:1.41421:1.731777可见，铁在20C时最小的三个衍射角的正弦值之比，与体心立方元素晶体最小的三个衍射面指数的衍射面指数平方和的平方根之比极其凑近（存在偏差一般是实验偏差所致）。由此可以推测，铁在20C时为体心立方结构。对于面心立方元素晶体，衍射面指数nh,nk,nl全为奇数或全为偶数时，衍射极大，对应闻小三个衍射角的衍射面指数挨次为(111),(200),(220)这三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比为121212:220202:2222021:1.15470:1.63299铁在1000C时最小的三个衍射角的正弦值之比sin755':sin99':sin1259'=::.224668=1::可见，铁在1000C时最小的三个衍射角的正弦值之比，与面心立方元素晶体最小的三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比极其凑近，由此可以推测，铁在时为面立方结构（2）铁在时为体立心结构，一个晶胞内有两个原子，设原子的质量为m，晶格常数为a，则质密度2m3a晶格常数则为2ma3.一个铁原子的质量55.847103kg,m10236.022最后得铁在20C时的晶格常数a2.85522．对面心立方晶体，密勒指数为121的晶面族能否出现一级衍射斑点，从光的干射说明之。[解答]由本章第10题可知，对于面心立方晶体，晶面族h1h2h3的面间距dh1h2h3a.h2h3h1h2h3h1h2h3h1222由本章第15题可知，对于面心立方晶体，晶面指数123与晶面指数（hkl）hhh的变换关系为h1h2h31kllhhk.p'将上式代入前式得dh1h2h3p'a,2h2k2k2因为立方晶系密勒指数晶面族的面间距dhkla,h2k2k2所以对于立方晶系，两套晶面指数对应的晶面族的面间距的关系为dhhhp'dhkl.1232将上式代入两套坐标中的布拉格反射公式2dhhhsinn',1232dhklsinn获得2n'n

p'将密勒指数121代入（1）式，得h1h2h3301.由上式可知，p'1,n2n'这说明，对于密勒指数121的晶面族，衍射极大的最小级数是2，也许说，对于密勒指数121的晶面族，它的一级衍射是消光的，对于密勒指数121的晶面族，它一级衍射产生的原由可从光的干涉来解说。图示出了121晶面族的1级衍射状况，1与3晶面的面间距为dhkl对于该晶面族的1级衍射，有2dhklsin比较衍射表示图1。18上式恰好是1与3晶面产生的光程差，也就是说1与3晶面产生的光程差为1个波长，由此推论，1与3晶面的反射光的相位差为2，它们的确是相互增强的，但实质（对于非复式格子）的面间距为dhkldh1h2h32即1与3晶面中间实质还有1个原子层，在这类状况下，相邻原子层的反射光的相位差为衍射光是相互抵消的，这就是密勒指图121面的一级衍射数121的晶面族一级衍射产生消光的原由.23．设有一面心立方结构的晶体，晶格常数为a.在转动单晶衍射中，已知与转轴垂直的晶面的密勒指数为hkl求证sinmmp,k2ah2l2此中p是一整数，m是第m个衍射圆锥母线与hkl晶面的夹角。拜见图所示反射球，图反射球[解答]转动单晶衍射法，晶体正格子转动，倒格子也转动，倒格点可以看作分布在与转轴垂直的，等间距的一个个倒格晶面上，因为倒格晶面旋转，落在反射面球面上的倒格点的迹线形成一个个圆，反射球心到迹线上任一点的边线即是衍射极大的方向反射球心就任一迹线连线构成一个个圆锥面。设本题晶体一与转轴垂直的倒格面面指数为(l1l2l3)则倒格面的面间距d22.Rlll3l1al2al3a12此中正格矢与倒格面垂直，即与转轴平行，由图1。19得sinmmd,2此中是的光的波矢，即反射球的半径，此刻已知与转轴垂直的晶面的密勒指数为（hkl）由题5可知，晶列Rhklhakblc与转轴平行，利用面心立方结构晶胞基矢与原胞基矢的关系aa1a2a3ba1a2a3ca1a2a3可得Rhklhakblchkla1hkla2hkla3=pRl1l2l3此中p是hkl,hkl,hkl合约数，由立方晶体的Rhklhakblcah2k2l2可得sinmmpah2k2l224．在20C时铜粉末样品的一级衍射角是在1000C时是，求铜的线胀系数。[解答]设铜的衍射面指数为（hkl）在20C时的面间距为dhkl,在1000C时的面间距为dhkl'则由布拉格反射公式得2dhklsin47.752dhkl'sin46.60由以上两式得dhkl'sin47.751.019.dhklsin46.60铜的线膨胀系数dhkl'dhkldhkl'111.94105C.dhkl100020Cdhkl980C25．若X射线沿简立方晶胞的OZ轴负方向入射，求证：当2l或cosl2k2时一级衍射线在YZ平面内，此中是衍射光辉ak2l2l2k2与OZ轴的夹角。[解答]1）解法一由布拉格反射公式2dhklsin和立方晶系晶面族（hkl）的面间距dhkla2k2l2h获得sinh2k2l2.a将已知条件代入上式得sin2ll2h2k2l2.k由已知条件可画出X光入射波矢k0与反射矢k的关系图，由图中和几何关系图k0与反射波矢k的关系图可知2.2于是有sincosll2h2k2l2.2k2利用cos1cos22获得cosll2ll2h2k2l2.2k2k2由上式可知h0于是k-k0=K=kblc2yl2z.kaa此中y和z分别是x轴和y轴方向的单位矢量，于是k=k0+k2yl2zaa因为k0在YZ平面内，所以一级衍射线也在YZ平面内。（2）解法二设x,y,z分别是平行于a，b，c轴的单位矢量，衍射波矢k与a，b，c轴的夹角分别为,,则有k=2cosxcosycosz,k0=2z.由1级衍射条件得k-k0=K=hakblc2cosxcosycoszz.aKh2a2cos,于是bKk2a2coscKl2a2cos(1).由以上三式解得cosh,cosk,cosl1.aaa由cos2cos2cos21获得2l2.ah2k2l将上式与已知条件2lak2l2比较获得h=0.于是hah2x2cosx0,ak2(cosycosz)上式说明一级衍射线在YZ平面内26．一维原子链是由A,B两种原子构成，设A,B原子散射因子分别为fA和fb入射X射线垂直于原子链，证明（1）衍射极大条件是acosn,a是晶格常数,是衍射束与原子链的夹角.（2）当n为奇数，衍射强度比率于fA2fB.（3）谈论fAfB状况[解答]当入射X（1）以下列图，设原子是等间距的，衍射光束与原子链的夹角为.光垂直于原子链时，A原子或B原子散射波图X光衍射的光程差为acos.当acosn时，各A原子（或B原子）的散射波的相位差为0,散射波相互增强,形成很强的衍射光.（2）一个原胞内包括A,B两个原子能，取A原子的坐标为(000)1B原子的坐标为(00).衍射光的强度22Ifjcos2nhujfjsin2nhujjj(fAfBcosnh)2从上式可知，取h为1，当n为奇数时，衍射光的强度正比于2fAfB,（3）若fAfBf,当n为奇数时，衍射光的强度为0.这时，A原子与B原子的散射波的相位差为,相位相反,相互抵消,即对应消光现象.当n为偶数时,衍射光的强度最强,I4f2.27．证明当电子的几率分布函数(r)与方向没关时，原子散射因子是一实数。[解答]由《固体物理教程》（1。37）式得，原子散射因子i2srfse(r)d当电子的几率分布函数(r)与方向没关时，设(r)=rsrsrcos基中取s的方向为球坐标的极轴方向，于是fsi2sri2cose(r)de(r)2r2sinddr.00作变量变换x2srcos,2rsinddx.s获得r2srfs0reixdxdrs2sr02rrsin2srdrR.s上式积分R是一个实数。第2章晶体的联合习题1.有一晶体,均衡时体积为V0，原子间相互作用势为U0.假如相距为r的两原子互作用势为aurmrn证明r(1)体积弹性模量为K=U0mn.9V0(2)求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.[解答]设晶体共含有N个原子,则总能量为U(r)=1'urij.2ij因为晶体表面层的原子数量与晶体内原子数量对比小得多,所以可忽视它们之间的基异,于是上式简化为U=N'urij.2j设近来邻原子间的距离为R则有rijajR再令Am'1m,An'1n,获得U=NAmAnmn.jajjaj2R0R0均衡时R=R0,则由已知条件U(R0)=U0得NAmAnU02R0mR0n由均衡条件dU(R)0dRR0得NmAmnAn0.2R0m1R0n1由(1),(2)两式可解得Am2U0nR0m,N(mn)An2U0nR0n.N(mn)利用体积弹性模量公式[拜见《固体物理教程》式]K=R022U得K=1Nm(m1)Amn(n1)An9V0R29V02R0mR0nR01Nm(m=R0m9V02因为U00,所以U0

1)2U0nR0mn(nN(mn)R0nU0,于是K=U0

1)2U0mR0n=mnN(mn)U09V0.mn.9V0由《固体物理教程》式可知,一对惰性气体分子的互作用能为u(r)ABr6r12.若令A2B16,A,则N个惰性气体分子的互作用势能可表示为4B126U(r)2NA12RA6R.1NA62dU(R)6由均衡条件0可得R02A12.进一步得U0U(R0).dRR0A62A12mn4N33A652.并取m=6，n=12，V03A12.代入K=U0R0得K=23A129V033A612.25,A129.11.于是K70.1对体心立方晶体有3.2.一维原子链,正负离子间距为a,试证:马德隆常数为21n2.[解答]相距rij的两个离子间的互作用势能可表示成u(rij)q2b.4rijrijn设近来邻原子间的距离为R则有rijajR,则总的离子间的互作用势能U=N'urijN[q'11'b.2j240RjajRnjanj基中'1ajj为离子晶格的马德隆常数,式中+;-号分别对应于与参照离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子,在乞降中对负离子到正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的,则有'(1)21111.利用正面的展开式jaj12341n(1+x)xx2x3x4,234并令x1得1111=1n(1+1)=1n2.于是,一维离子链的马德常数为21n212343.计算面心立方面简单格子的A6和A12只计近来邻;计算到次近邻;计算到次近邻.[解答]图示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶O原子四周有8个这样的晶胞,标号为1的原子是原子O的近来邻标号为2的原子是O原子的近来邻,标号为3的原子是O原子的次次近邻.由此获得,面心立方简单格子任一原子有12个近来邻,6个次近邻及24个次次近邻.以近来邻距离胸怀,其距离分别为:aj1,aj2,aj3.由16'112',A12.A6ajajjj图面心立方晶胞得612，A12(1)12*112(1)只计近来邻时A6(1)12*112.11计算到次近邻时616A6(2)16*12.750,12*211212A12(2)12*16*112.094.12计算到次次近邻时666A6(3)12*16*124*113.639,123由121212A12(3)12*16*124*112.127.123以上可以看出,因为A12中的幂指数较大,A12收敛得很快,而A6中的幂指数较小,所以A6收敛得较慢,平时所采纳的面心立方简单格子的A6和A12的数值分别是与.4.用埃夫琴方法计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数.1[解答]马德隆常数的定义式为,式中+、-号分别对应于与参照离子相异和相同的离子,aj二维正方离子(正负两种)格子,实质是一个面心正方格子,图示出了一个埃夫琴晶胞.设参照离子O为正离子,位于边棱中点的离子为负离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/2).对参照离子库仑能的贡献为图二维正方离子晶格14*2.14*1顶角上的离子为正离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/4),对参照离子库仑能的贡献为4.所以24*14*1经过一个埃夫琴晶胞算出的马德隆常数为241.293.再采纳224个埃夫12琴晶胞作为考虑对象,这时离子O的最的邻,次近邻均在所考虑的范围内,它们对库仑能的贡献为44,而边棱上的离子对库仑能的贡献为4*18*122,12254*1顶角上的离子对为库仑能的贡献为4,这时算出的马德隆常数为8图4个埃夫琴晶胞同理对329个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为1111444844*8*8*4*22241.611122583101318对4216个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为4448448841225831013184*18*1114*1228*8*44221.61410172532入采纳n2个埃夫琴晶胞来计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数,其计算公式(拜见刘策军,二维NaC1晶体马德隆常数计算,《大学物理》，,,1995.)为4An1Bn8Cn1Dn,n1.n11)t11An1(,此中t1t1Bn(1)n1,2nCn1111212122222222212112(n1)2(n1)2(n1)2(n2)2,1(1)n112(n1)2Dn1n22n21(1)n1.8n2(n1)22n212用埃夫琴方法计算CsCl型离子晶体的马德隆常数只计近来邻取八个晶胞[解答](1)图是CsCl晶胸结构,即只计及近来邻的最小埃夫琴晶胞,图a是将Cs双在体心地点的结构,图(a)是将Cl取在体心地点的结构,简单求得在只计及近来邻状况下,马德隆常数为1.图（a）Cs取为体心的CsC1晶胞,(b)C1取为体心的CsC1晶胞(2)图是由8个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞,8个近来邻在埃夫琴晶胞内,每个离子对晶胞的贡献为考离子异号,所以这8个离子对马德隆常数的贡献为8

1,它们与参埃夫琴晶胞6个面上的离子与参照离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是1,它们与参照离子的6*1222R距离为它们对马德隆常数的贡献为-32/3图8个CsCl晶胞构成的一个埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的12个离子,与参照离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是1它们与参照离子的4距离为22R它们对马德隆常数的贡献为-12*1/4埃夫琴晶胞角顶上的8个离子,与参3223考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是1它们与参照离子的距离为2R它们对马德隆常数的贡8*188,由8个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的马德隆常数献为-286*(1/2)12*(1/4)8*(1/8)为了进一步找到马德常数2/322323.064806.的规律,我们以计算了由27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数,结果发现,由27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数是.马德隆常数的不收敛,说明CsCl晶胞的结构的马德隆常数不可以用传统的埃夫琴方法计算.为了找出合理的计算方法,一定第一找出采纳单个埃夫琴晶胞时马德隆常数不收敛的原由.为了便于计算,平时取参照离子处于埃夫琴晶胞的中心.假如以Cs作参照离子,因为埃夫琴晶胞是电中性的要求,则边长为2pa(p是大于或等于1的整数)的埃夫琴晶胞是由(2p)3个CsCl晶胞所构成,埃夫琴晶胞最外层的离子与参照离子同号,而边长为(2p+1)的埃夫琴晶胞是由3个CsCl晶胞所构成,但埃夫琴晶胞的最外层离子与参照离子异号,假如以C1作参照离(2p+1)子也有相同的规律,设参照离子处于坐标原点O,沿与晶胞垂直的方向(分别取为x,y,z图示出了z轴)看去,与参照郭同号的离子都分布在距O点ia的层面上,此中i是大于等于1的整数,与O点离子异号的离子都分布在距O点ia的层面上,图(a)示出了同号离子层,图(b)示出了异号离子层.图离子层表示图(a)表示同号离子层,O离子所在层与O'离子所在层相距ia(b)表示异号离子层,O离子所在层和O'离子所在层相距ia当CsCl埃夫琴晶胞边长很大时,晶胞最外层的任一个离子对参照离子的库仑能都变得很小,但它们对参考离子总的库仑能不可以忽视.对于由(2p)3个CsCl晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,最外层有6*(2p)2个与参照离子同号的离子,它们与参照离子的距离为(1/2)pa~(32)pa,它们与参照离子的库仑能为pe240a量级,这是一个相对大的正当.对于由(2p+1)3个CsCl晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,离外层有6*(2p+1)2个与参照离子异号的离子,它们与参照离子的库仑能为pe240a量级,这是一个绝对值相对大的负值,所以,由(2p)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能,与由(2p+1)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能会有较大的差异.即每一状况计算的库仑能都不可以代表CsCl晶体离子间相互作用的库仑能.所以这两种状况所计算的马德隆常数也必定有较大的差异,由1个CsCl晶胞、8个CsCl晶胞和27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的计算可知,CsCl埃夫琴晶胞体积不大时,这类现象已经存在.为了战胜埃夫琴方法在计算马德隆常数时的限制性,可采纳以下方法,令由(2p)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的库仑能为U1，由(2p+1)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能为U1，则CsCl晶体离子间相互作用的库仑能可近似取作1(U1U2)U(1)2因子1/2的引入是考虑除了(2p+1)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞最外层离子外,其余离子间的库仑能都累计了两偏,计算U1和U2时要采纳体积足够大的埃夫琴晶胞,此时埃夫琴晶胞最外层离子数与晶胞内的离子数对比是个很小的数,相应的马德隆常数应为1(12)(2)2此中：'1是由(2p)3个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的值;1'1由1aiaijj(2p+1)3个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算成本的值.为简化计算,特采纳晶胞边长a为计算单位,因为2R3a,所以3',''12iai'此中ai'(3)是某一离子到参点的距离与a的比值.考虑到对称性,对选定的埃夫琴晶胞,把晶胞的离子看作分布在一个个以参照离子为对满意的正六面体的六个面上,体积不一样的正六面六个面上的离子分别计算.由(2p)3个CsC1晶胞构成埃夫琴晶胞时,由解析整理可得3p1pCp,12AiBi(4)i1i1由(2p+1)3个CsC1晶胸构成埃夫琴晶胞时,3p1pDp,22AiBi(5)i1i1iikx'y'此中：Ai(1ip),(6)''x'2y'2i2xyAi表示与O点距离为ia的6个面上所有的离子对马德隆常数的面贡献,因为这些离子与参照离子同号,故到负号.x'、y'是离子在平面o'x'y'上的坐标,k''代表6个面上等价离子的个数,其取值xy规则为:(1)在角上(如E点),即x'=i且y'=i.时,kx'y'=8；(2)在棱与坐标轴的交点(如F点)，x'=i且y'=0或x'=0且y'=0时,kx'y'=6(3)在棱上的其余点(如H、I点)即不满足上述条件,且x'=i或y'=i.时,kx'y'=12(4)在O'点,即x'=0且y'=0时,kx'y'=6(5)在除O'点外的面上的点(如J点),即不满足上述条件时，kx'y'=24.ik'Bix'y'(1ip),(7)'x'2y'2(i0.5)2x0.5y0.5Bi代表距O点距离为ia的6个面上的离子对马德隆常数的贡献,因为这类些离子与参照离子异号,故取正号.x',y'是离子在平面o'x'y'上的坐标,kx''y'代表这6个面上等价离子的个数,其取值规则为:(1)在角上(如K点),即x'=i且y'=i.时,kx''y'=8;在棱下(如L、M点),即不满足不述条件(3)在面上(如N点)好不满足上述条件时,iik"''(iCixy'2'2x'0y'02xyi

''',且x=i或y=i时，kx'y'=12；'kx'y'=24.p),Ci表示在边长为2pa的晶胞最外层,即与参照离子相距pa的6个面上的离子对马德隆常数的贡献,应取负号,与Ai的不一样在于k"''的取值:xy在角上,在棱上,在面上,

"kx'y'=kx'y'/8;"kx'y'=kx'y'/4;"kx'y'=kx'y'/2.i0.5i0.5'''kx'y'Di(ip),'2'2x0.5y0.52xy(i0.5)Di表示在边长为2(p1)a的晶胞最外层,即与参照离子相距(p+a的离子层对马德隆常数的贡献,应取正号,与Bi'''y'的取值:的不一样在于kx'在角上,在棱上,在面上,

''''kx'y'=kx'y'/8;''''kx'y'=kx'y'/4;''''kx'y'=kx'y'/2.表给出了计算结果,给出的是由分别对应2p和2p+1的1和2求得的,实质上,1和2只要对应边长周边的埃夫琴晶胞即可,如取对应2p和2p-1的埃夫琴晶胞也可获得相同的收敛结果,由以上数据可见,马德隆常数随晶胞边长的增大而迅速收敛.该方法合用于NaC1结构之外离子晶体马德隆常数的计算.表CsC1晶体结构马德隆常数2p12p+212345101150511010102012003013004014005015006016007017008018006.只计及近来邻间的排斥作用时,一离子晶体离子间的互作用势为eRe2,(1)u(r)e2R(1)近来邻(2)近来邻之外,(2),r式中是常数,R是近来邻距离,求晶体均衡时,原子间总的互作用势.[解答]设离子数量为2N,以rijajR表示第j个离子到参照离子i的距离,忽视表面效应,则总的相互作用能可表示为U=N'e2eR(表示近来邻)ajR=Ne2ZeR,R此中'1aji为马德隆常数,+号对应于异号离子,-号对应于同号离子;Z为任一离子的近来邻数量,设均衡时R=R0,由平衡条件dUNe2ZeR0,得dRRR020e2ZeR0.R02均衡时的总相互作用为U(R0)Ne2ZeR0Ne21.R0R0R0设离子晶体中,离子间的互作用势为e2b,近来邻u(r)RRme2,近来邻之外r求晶体均衡时,离子间总的相互作用势能U(R0)m1m1U(R0)(2)证明:Z此中是马德隆常数，Z是晶体配位数[解答](1)设离子数量为2N,以rijajR表示第j个离子到参照离子i的距离,忽视表面效应,则总的相互作用能可表示'e2b(表示近来邻)U=NajRRmje2b=NRZm,R此中'1,-号对应于同号离子.Z为任一离子的近来邻数,为马德隆常数,+号对应于异号离子aj目,设均衡时R=R0由均衡条件dUNe2Zmb0,得Zmb=e2drRR02R0m1R0m101即R0Zmbm1.e2于是,晶体均衡时离子间总的相互作用势能U0=NZmbZbNZbmmm(m1).R0R0R0(2)晶体均衡时离子间的相互作用势能可进一步化为m11U0=(m1)NbZm1(m1)Nb(me2m)m1m1m.Zmbm1Zm1(mb)m1e2m1m1U0.由上式可知Z8.一维离子链,其上等间距载有正负2N个离子,设离子间的泡利排斥只出此刻近来邻离子之间n,且为b/R,b,n是常R是两近来邻离子的间距,设离子电荷为q,(1)U(R0)=2Nq21n21试证明均衡间距下41;0R0n(2)令晶体被压缩,使R0R0(1),试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力作功的主项为c2此中c=(n1)q21n2;R0(3)求原子链被压缩了2NR0e(e1)时的外力[解答](1)因为离子间是等间距的,且都等于R,所以认定离子与第j个离子的距离rj总可表示成为rjajRaj是一整数,于是离子间总的互作用势能2N'q2bU(R)40rjrjn402j此中+、-分别对应相异离子和相同离子的相互作用121n2.aidU(R)0利用均衡条件dRR0q21n2R0n-1,获得b=40n2Nq21n21R0n1.U(R)=RnRn40在均衡间距下

Nq2'12b,RiaiRn.一维离子晶格的马德隆常数(拜见本章习题2)为U(R0)2Nq21n211.40R0n将互作用势能在均衡间距周边展成级数U(R)U(R0)dU(RR0)1d2U(RR0)2dRR2dR2R00由外力作的功等于晶体内能的增量，可得外力作功的主项为W=U(R)U(R0)1d2U(RR0)2,2dR2R0此中利用均衡条件，将R=R0(1)，代入上式，获得W=1(n1)q21n2(2NR0).240R02晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项W1(n1)q21n2=0R022NR024令c=(n1)q21n2(CGS)420R0获得在晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项为c.2（3）设e时外力为Fe,因为在弹性范围内，外力与晶格的形变为正比，所以F=(2NR0),Fe=(2NR0e),此中为比率系数离子链被压缩2NR0e过程中外力作的功2NR0eeWe=Fdx00=(2NR0)212因为We=ce(2NR02

[(2NR0e)]2NR0d12NR0eFe.2),所以离子链被压缩了2NR0e时的外力为Fe=ceq21n2(n1)e.R029．设泡利排斥项的形式不变，谈论电荷加倍对NaC1晶格常数，体积弹性模量以及联合能的影响。[解答]NaC1离子间的互作用势为urijq2b.40rijrij假如晶体共含有N个原子，令rij=ajR,R是近来邻离子间的距离，则总的互作用势能U=N'urijNq2B,2j240RRn'1'b式中,Bn.jajjaj若均衡时R=R0,由均衡条件dU(R)Nq2nB0,dR240R02R0n1R0得R0(40nB)n11.q2利用体积弹性模量公式R022UK=R29V0R072q21).均衡时的联合能为U0Nq211.得K=因为晶格常数a与R0成线形关系,于是,当电荷加倍时,晶格常数,体积弹性模