202X版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算课件理新人教A版

§8.6空间向量及其运算第八章立体几何与空间向量NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.空间向量的有关概念及定理知识梳理ZHISHISHULI

语言描述共线向量(平行向量)如果空间一些向量的基线

，则这些向量叫做共线向量或平行向量共线向量定理两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使______互相平行或重合a＝xb共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使__________空间向量分解定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个

的有序实数组x，y，z，使_____________c＝xa＋yb唯一p＝xa＋yb＋zc2.两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作

＝a，

＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作

，通常规定

.3.两条异面直线所成的角把异面直线平移到

，这时两条直线的夹角(

)叫做两条异面直线所成的角.〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π一个平面内锐角或直角4.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：①a·b＝

；②a⊥b⇔

(a，b为非零向量)；③|a|2＝

，|a|＝

.|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0a·a(2)向量的坐标运算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝______________________向量差a－b＝______________________数量积a·b＝_______________数乘向量λa＝______________(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3(λa1，λa2，λa3)共线a∥b(b≠0)⇔________________________a∥b⇔

(b与三个坐标平面都不平行)垂直a⊥b⇔__________________夹角公式cos〈a，b〉＝________________________a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝01.共线向量与共面向量相同吗？提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.【概念方法微思考】2.零向量能作为基向量吗？提示不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.(

)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).(

)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(

)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(

)基础自测JICHUZICE12345√×××6(6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.(

)√×题组二教材改编123456√123456123453.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为____.＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，6题组三易错自纠4.在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直123456√又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.123455.已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝_____.6解析∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，12345解析

∵P，A，B，C四点共面，62题型分类深度剖析PARTTWO题型一空间向量的线性运算师生共研解因为P是C1D1的中点，解因为M是AA1的中点，用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.思维升华√题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.师生共研(1)求证：E，F，G，H四点共面；证明连接BG，由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.(2)求证：BD∥平面EFGH.所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.证明三点共线和空间四点共面的方法比较思维升华三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，∴MN∥平面ABB1A1.综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内；当0<k≤1时，MN∥平面ABB1A1.题型三空间向量数量积的应用师生共研例3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.同理可证MN⊥CD.(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.思维升华跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，3课时作业PARTTHREE12345678910111213141516基础保分练A.(0,3，－6) B.(0,6，－20)C.(0,6，－6) D.(6,6，－6)得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).√2.在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.312345678910111213141516√12345678910111213141516解析a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3.已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于12345678910111213141516√解析当m＝0时，a＝(1,3，－1)，b＝(2,0,0)，a与b不平行，∴m≠0，∵a∥b，123456789101112131415164.在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0，－3)解析设P(0,0，z)，解得z＝3.√123456789101112131415165.已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为解析∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，√123456789101112131415166.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是√123456789101112131415167.已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝____.－9解析由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，123456789101112131415168.已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝__________.解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2).(3，－2,2)12345678910111213141516平行12345678910111213141516又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.12345678910111213141516①②123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(2)判断点M是否在平面ABC内.∴M，A，B，C四点共面.∴点M在平面ABC内.1234567891011121314151612.已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2).(1)求|2a＋b|；解2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，123456789101112131415161234