202X版高考数学总复习第八章立体几何初步第3节空间图形的基本关系与公理课件文北师大版

第3节空间图形的基本关系与公理最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知

识

梳

理1.空间图形的公理(1)公理1：如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).(2)公理2：经过_________________的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面).(3)公理3：如果两个不重合的平面有_____公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.两点不在同一条直线上一个(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____________.相等或互补2.空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言

符号语言a，b是异面直线aα

3.异面直线所成的角 (1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角.[微点提醒]1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.基

础

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(

)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(

)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(

)(4)若直线a不平行于平面α，且aα，则α内的所有直线与a异面.(

)解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面α，且aα，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.答案(1)×

(2)√

(3)×

(4)×2.(必修2P28A4改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(

)A.30° B.45°C.60° D.90°解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案

C3.(必修2P26例1改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(

) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形解析如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.答案B4.(2019·萍乡调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若mα，nα，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(

)A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行解析依题意，m∩α＝A，nα，∴m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.答案

D5.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(

)解析法一

对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB平面MNQ，MQ面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.图(1)图(2)法二

对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.答案A6.(2018·西安调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.解析在EF上任意取一点M，如图，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点.故在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.答案无数考点一空间图形的公理及应用【例1】

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.证明(1)如图，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF与CD1确定一个平面α.所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面.所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交.设交点为P，则P∈CE

平面ABCD，且P∈D1F平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点.规律方法

1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.【训练1】

如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.证明(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面.(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线.考点二判断空间直线的位置关系【例2】(1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

)A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(

)A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.异面且垂直 D.异面但不垂直解析(1)法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.法二如图(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.(2)折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.答案(1)D

(2)C规律方法

1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】(1)(2019·湘潭调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(

)A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④(2)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(

)A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能解析(1)由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面.故选C.(2)在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.故选D.答案(1)C

(2)D考点三异面直线所成的角

多维探究角度1求异面直线所成的角或其三角函数值答案

C角度2由异面直线所成角求其他量【例3－2】

在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________.解析如图，取BC