《回归分析的基本思想及其初步应用》同步练习（） 全省一等奖

《回归分析的基本思想及其初步应用》同步练习一、选择题1．对变量x、y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关[答案]C[解析]图1中的数据y随x的增大而减小，因此变量x与y负相关；图2中的数据随着u的增大，v也增大，因此变量u与v正相关，故选C．2．已知x和y之间的一组数据x0123y1357则y与x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过点()A．(2,2) B．(eq\f(3,2)，0)C．(1,2) D．(eq\f(3,2)，4)[答案]D[解析]∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)(0＋1＋2＋3)＝eq\f(3,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)(1＋3＋5＋7)＝4，∴回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过点(eq\f(3,2)，4)．3．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A．eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x＋200 B．eq\o(y,\s\up6(^))＝10x＋200C．eq\o(y,\s\up6(^))＝－10x－200 D．eq\o(y,\s\up6(^))＝10x－200[答案]A[解析]本题主要考查变量的相关性．由负相关的定义排除B，D，由x＝1时，y>0排除C．4．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，则加工600个零件大约需要__________h．()A． B．C． D．[答案]A[解析]将x＝600代入回归方程即得A．5．关于随机误差产生的原因分析正确的是()(1)用线性回归模型来近似真实模型所引起的误差；(2)忽略某些因素的影响所产生的误差；(3)对样本数据观测时产生的误差；(4)计算错误所产生的误差．A．(1)(2)(4) B．(1)(3)C．(2)(4) D．(1)(2)(3)[答案]D[解析]理解线性回归模型y＝bx＋a＋e中随机误差e的含义是解决此问题的关键，随机误差可能由于观测工具及技术产生，也可能因忽略某些因素产生，也可以是回归模型产生，但不是计算错误．6．(2022·青岛高二检测)在下列各组量中：①正方体的体积与棱长；②一块农田的水稻产量与施肥量；③人的身高与年龄；④家庭的支出与收入；⑤某户家庭的用电量与电价．其中量与量之间的关系是相关关系的是()A．①② B．②④C．③④ D．②③④[答案]D[解析]①是函数关系V＝a3；⑤电价是统一规定的，与用电量有一定的关系，但这种关系是确定的关系．②③④中的两个量之间的关系都是相关关系，因为水稻的产量与施肥量在一定范围内是正比、反比或其他关系，并不确定；人的身高一开始随着年龄的增加而增大，之后则不变化或降低，在身高增大时，也不是均匀增大的；家庭的支出与收入有一定的关系，在一开始，会随着收入的增加而支出也增加，而当收入增大到一定的值后，家庭支出趋向于一个常数值，也不是确定关系．二、填空题7．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法．[答案]相关[解析]回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法．8．已知x、y的取值如下表：x0134y若x、y具有线性相关关系，且回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋a，则a的值为________.[答案][解析]由已知得eq\o(x,\s\up6(－))＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝，而回归方程过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，则＝×2＋a，∴a＝.9．当建立了多个模型来拟合某一组数据时，为了比较各个模型的拟合效果，我们可以通过计算________来确定．(1)残差平方和(2)相关指数R2(3)相关系数r[答案](1)(2)三、解答题10．(2022·沈阳联考)某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345(1)以工作年限为自变量，推销金额为因变量y，作出散点图；(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．[解析](1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(10,20)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝，∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(3)由(2)可知，当x＝11时，eq\o(y,\s\up6(^))＝＋＝×11＋＝(万元)．∴可以估计第6名推销员的年销售金额为万元．一、选择题1．(2022·福建理)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)支出y(万元)根据上表可得回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．万元 B．万元C．万元 D．万元[答案]B[解析]eq\x\to(x)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝8－×10＝，所以当x＝15时，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＝.2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁rm106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性()A．甲 B．乙C．丙 D．丁[答案]D[解析]r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，故选D．3．由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则下列说法不正确的是()A．直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少经过点(x1，y1)(x2，y2)……(xn，yn)中的一个点C．直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率为eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)D．直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线[答案]B4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x34y12对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝(eq\f(1,2))xC．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)[答案]D[解析]可以代入检验，当x取相应的值时，所求y与已知y相差平方和最小的便是拟合程度最高的．二、填空题5．已知线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，则x＝11时，y的估计值是________.[答案][解析]将x＝11代入eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，求得eq\o(y,\s\up6(^))＝＋＝.6．某市居民2022～2022年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表：年份20222022202220222022收入x1315支出Y1012根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．[答案]13正[解析]把2022～2022年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为,,13,,15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．三、解答题7．(2022·重庆文)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20222022202220222022时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)用所求回归方程预测该地区2022年(t＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,t)\o\al(2,i)－n\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).[解析](1)序号tyt2y11515226412337921448163255102550eq\o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))153655120由上表，eq\x\to(t)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(36,5)＝，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(2,i)＝55，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi＝120.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(120－5×3×,55－5×9)＝.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝－×3＝.∴所求回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)当t＝6时，代入eq\o(y,\s\up6(^))＝×6＋＝(千亿元)．∴预测该地区2022年的人民币储蓄存款为千亿元．8．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积(m2)11511080135105销售价格(万元)22(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2[解析](1)数据对应的散点图如下图所示：(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))xi＝109，lxx＝eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝1570，eq\x\to(y)＝，lxy＝eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x