2022-2023学年广东省梅州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年广东省梅州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与α有关D.上述三个结论都不正确

2.过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x，则切点M0的坐标是()．A.A.(1，0)B.(e，0)C.(e，1)D.(e，e)

3.

4.（）。A.3B.2C.1D.0

5.设f(x)=e-2x,则f'(x)=()。A.-e-2x

B.e-2x

C.-(1/2)e-2x

D.-2e-2x

6.

7.微分方程y'=1的通解为A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

8.

9.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

10.

11.

12.下列命题中正确的为

A.若x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，则点x0必为f(x)的极值点

C.若f'(x0)≠0，则点x0必定不为f(x)的极值点

D.若f(x)在点x0处可导，且点x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.下列命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

20.

二、填空题(20题)21.22.设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为．

23.

24.

25.26.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=________。27.

28.

29.

30.

31.32.设f(x)在x=1处连续，=2，则=________。

33.

34.35.

36.

37.

38.

39.设y=f(x)在点x=0处可导，且x=0为f(x)的极值点，则f'(0)=______．40.三、计算题(20题)41.求微分方程的通解．42.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．43.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．44.

45.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

46.

47.证明：48.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

49.

50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

51.52.53.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．54.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

55.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

56.求曲线在点(1，3)处的切线方程．57.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则58.59.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．60.

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.求微分方程y"+4y=e2x的通解。

69.70.求五、高等数学(0题)71.

六、解答题(0题)72.(本题满分8分)

参考答案

1.D本题考查的知识点为正项级数的比较判别法．

2.D本题考查的知识点为导数的几何意义．

由导数的几何意义可知，若y=f(x)在点x0处可导，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f'(x0)．

由于y=xlnx，可知

y'=1+lnx，

切线与已知直线y=2x平行，直线的斜率k1=2，可知切线的斜率k=k1=2，从而有

1+lnx0=2，

可解得x0=e，从而知

y0=x0lnx0=elne=e．

故切点M0的坐标为(e，e)，可知应选D．

3.C

4.A

5.D

6.B

7.D

8.D

9.B

10.A

11.C

12.D解析：由极值的必要条件知D正确。

y=｜x｜在x=0处取得极值，但不可导，知A与C不正确。

y=x3在x=0处导数为0，但x0=0不为它的极值点，可知B不正确。因此选D。

13.A

14.C解析：

15.B解析：

16.C

17.A

18.B

19.D

20.C

21.

22.y＝f(1)．

本题考查的知识点有两个：－是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y＝f(x)过该点的切线方程为

y－f(x0)＝f(x0)(x－x0)．

由题意可知x0＝1，且在(1，f(1))处曲线y＝f(x)的切线平行于x轴，因此应有f(x0)＝0，故所求切线方程为

y—f(1)＝0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y－f(x0)＝f(x)(x－x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y－f(1)＝f(x)(x－1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，－些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y－1＝0．

23.

24.

25.-126.本题考查的知识点为原函数的概念。

由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sinx)=cosx。27.0．

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给幂级数为不缺项情形

因此收敛半径为0．

28.(e-1)2

29.5/2

30.(03)(0,3)解析：31.1；本题考查的知识点为导数的计算．

32.由连续函数的充要条件知f(x)在x0处连续，则。

33.y+3x2+x34.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。

35.

36.337.1

38.39.0本题考查的知识点为极值的必要条件．

由于y=f(x)在点x=0可导，且x=0为f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f'(0)=0．

40.

41.

42.

43.

44.

则

45.函数的定义域为

注意

46.

47.

48.由二重积分物理意义知

49.

50.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

51.

52.

53.

列表：

说明

54.

55.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％56.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

57.由等价无穷小量的定义可知

58.

59.60.由一阶线性微分方程通解公式有

61.

62.

63.

64.

65.本题考查的知识点为定积分的几何应用：利用定积分表示平面图形的面积；利用定积分求绕坐标轴旋转而成旋转体体积．

所给平面图形