2022-2023学年黑龙江省鸡西市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年黑龙江省鸡西市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.

2.微分方程y"-y'=0的通解为()。A.

B.

C.

D.

3.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

4.函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20有

A.极大值f(4,1)=63B.极大值f(0,0)=20C.极大值f(-4,1)=-1D.极小值f(-4,1)=-1

5.微分方程y＋y＝0的通解为（）．A.A.

B.

C.

D.

6.

7.

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy

8.下列命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

9.A.有一个拐点B.有两个拐点C.有三个拐点D.无拐点

10.

11.A.A.

B.

C.

D.

12.

13.设y=x＋sinx，则y=（）A.A.sinx

B.x

C.x＋cosx

D.1＋cosx

14.

15.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

16.设f(x)为连续函数，则()'等于()．A.A.f(t)B.f(t)-f(a)C.f(x)D.f(x)-f(a)17.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，则当△x>0时，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

18.A.0B.1C.2D.不存在19.级数(k为非零正常数)()．A.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

20.

21.

22.若收敛，则下面命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

23.

24.微分方程yy'=1的通解为A.A.y=x2+C

B.y2=x+C

C.1/2y2=Cx

D.1/2y2=x+C

25.曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线的斜率k=A.A.2B.1C.0D.-1

26.

27.A.

B.

C.－cotx＋C

D.cotx＋C

28.

29.A.0

B.1

C.e

D.e2

30.

31.

32.

33.

34.设x2是f(x)的一个原函数，则f(x)=A.A.2x

B.x3

C.(1/3)x3+C

D.3x3+C

35.

36.谈判是双方或多方为实现某种目标就有关条件（）的过程。

A.达成协议B.争取利益C.避免冲突D.不断协商

37.

38.设z=ln(x2+y)，则等于()。A.

B.

C.

D.

39.

40.A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(50题)41.

42.

43.如果函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=________。

44.

45.

46.曲线y=x3－3x2－x的拐点坐标为____。47.

48.

49.50.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．

51.

52.53.

54.

55.56.

57.

58.微分方程y''+6y'+13y=0的通解为______.59.

60.

61.曲线y=(x+1)/(2x+1)的水平渐近线方程为_________.

62.

63.y"+8y=0的特征方程是________。

64.

65.

66.级数的收敛区间为______．67.若f'(x0)=1，f(x0)=0,则68.

69.

70.设函数y=x3，则y'=________.

71.

72.

73.74.75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.89.

90.

三、计算题(20题)91.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．92.93.求微分方程的通解．94.

95.

96.求曲线在点(1，3)处的切线方程．97.98.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

99.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

100.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．101.

102.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．103.证明：104.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则105.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．106.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．107.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．108.

109.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

110.

四、解答题(10题)111.112.113.114.

115.

116.将f(x)=1/3-x展开为(x+2)的幂级数，并指出其收敛区间。

117.

118.

119.

120.五、高等数学(0题)121.分析

在x=0处的可导性

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.B解析：

2.B本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。微分方程为y"-y'=0特征方程为r2-r=0特征根为r1=1，r2=0方程的通解为y=C1ex+c2可知应选B。

3.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

4.D本题考查了函数的极值的知识点。

5.D本题考查的知识点为－阶微分方程的求解．

可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作－阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解．

解法1将方程认作可分离变量方程．

解法2将方程认作－阶线性微分方程．由通解公式可得

解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：

特征方程为r＋1＝0，

特征根为r＝－1，

6.B

7.B

8.D

9.D

10.D

11.D本题考查的知识点为偏导数的计算．是关于y的幂函数，因此故应选D．

12.A

13.D

14.D

15.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

16.C本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质．

这是一个基本性质：若f(x)为连续函数，则必定可导，且

本题常见的错误是选D，这是由于考生将积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式混在了一起而引起的错误．

17.B

18.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x＝1为f(x)的分段点，且在x＝1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

19.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性．

由于收敛，可知所给级数绝对收敛．

20.C

21.B

22.D本题考查的知识点为级数的基本性质．

由级数收敛的必要条件：若收敛，则必有，可知D正确．而A，B，C都不正确．

本题常有考生选取C，这是由于考生将级数收敛的定义存在，其中误认作是un，这属于概念不清楚而导致的错误．

23.C

24.D

25.C

26.B

27.C本题考查的知识点为不定积分基本公式．

28.D

29.B为初等函数，且点x=0在的定义区间内，因此，故选B．

30.A解析：

31.C解析：

32.D解析：

33.D解析：

34.A由于x2为f(x)的一个原函数，由原函数的定义可知f(x)=(x2)'=2x，故选A。

35.C

36.A解析：谈判是指双方或多方为实现某种目标就有关条件达成协议的过程。

37.A

38.A本题考查的知识点为偏导数的计算。由于故知应选A。

39.A解析：

40.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法：

41.e

42.

43.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

44.本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

45.-246.（1，-1）47.1．

本题考查的知识点为函数连续性的概念．

48.

49.

本题考查的知识点为极限的运算．

若利用极限公式

如果利用无穷大量与无穷小量关系，直接推导，可得

50.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．

51.

52.

本题考查的知识点为函数商的求导运算．

考生只需熟记导数运算的法则

53.

54.

55.

本题考查的知识点为求直线的方程．

由于所求直线平行于已知直线1，可知两条直线的方向向量相同，由直线的标准式方程可知所求直线方程为

56.

57.58.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程为r2+6r+13=0，特征根为所以微分方程的通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).59.0．

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给幂级数为不缺项情形

因此收敛半径为0．

60.

61.y=1/2本题考查了水平渐近线方程的知识点。62.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。

63.r2+8r=0本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念。y"+8y"=0的特征方程为r2+8r=0。

64.

解析：

65.11解析：66.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．67.-168.由可变上限积分求导公式可知

69.(01)(0，1)解析：

70.3x2本题考查了函数的导数的知识点。因为y=x3，所以y'=3x2

71.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

72.11解析：

73.

74.3/2本题考查了函数极限的四则运算的知识点。

75.

76.ln2

77.33解析：

78.

本题考查的知识点为导数的四则运算．

79.0

80.

81.(00)

82.

83.2x＋3y．

本题考查的知识点为偏导数的运算．

84.90

85.2

86.

87.288.1/6

89.f(x)本题考查了导数的原函数的知识点。

90.e

91.

92.

93.

94.

95.

96.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

97.

98.

99.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

100.

101.由一阶线性微分方