《平面向量的正交分解及坐标表示》设计

《平面向量加减运算的坐标表示》教学设计【教学目标】1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．3.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升数学抽象素养.【教学重点】理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．【教学难点】了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．【课时安排】1课时【教学过程】新知初探1.平面向量的正交分解把一个向量分解成两个相互垂直的向量,叫作把向量正交分解思考1：正交分解的依据是什么？提示：平面向量基本定理，正交分解的一组基底互相垂直.2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．(3)坐标表示：a＝(x，y)．(4)特殊向量的坐标：i＝，j＝，0eq\a\vs4\al(＝)(0,0)．思考2：向量a的终点坐标是否就是该向量的坐标？提示：不一定，只有向量a的起点为坐标原点时，向量的终点坐标才与该向量的坐标一致思考3：向量a=(4,2)的几何意义是什么？提示：a=(4,2)指的是将向量a分别向x轴，y轴方向正交分解，记x轴，y轴方向的单位向量分别为i,j则a=4i+2j3．平面向量的坐标运算(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝a－b＝___已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝_即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_终点___的坐标减去_起点___的坐标．小试牛刀1已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是()A．向量a的终点坐标为(－2,3)B．向量a的起点坐标为(－2,3)C．向量a与b互为相反向量D．向量a与b关于原点对称解析：因为a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，所以a＋b＝(－2,3)＋(2，－3)＝(0,0)＝0.所以a＝－b.答案：C2.已知M(2,3)，N(3,1),则eq\o(NM,\s\up10(→))的坐标是()A．(2，－1)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(1，－2)解析：答案：B3．设i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a与b的坐标分别为________．答案：(3,4)，(-1,1)4.若向量eq\o(BA,\s\up10(→))＝(2,3)，eq\o(CA,\s\up10(→))＝(4,7)，则eq\o(BC,\s\up10(→))＝______.解析：eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→))＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．答案：(－2，－4)例1如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，_______________.[解析]将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，又∵c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．(2)已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，①求向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐标；②若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up15(→))的坐标．[解]①设点A(x，y)，则x＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，eq\o(OA,\s\up15(→))＝(2eq\r(3)，6)．②eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7).方法总结求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．当堂练习1在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)，∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，∴x＝2cos45°＝eq\r(2)，且y＝2sin45°＝eq\r(2).又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，∴x0＝3cos120°＝－eq\f(3,2)，y0＝3sin120°＝eq\f(3\r(3),2).故a＝eq\o(OA,\s\up10(→))＝(eq\r(2)，eq\r(2))，b＝eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).ABCABCDxyO解法１：设点D的坐标为（x,y）且解法2：由平行四边形法则可得所以顶点D的坐标为（2，2）方法总结平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．当堂练习2已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up10(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up10(→))＝()A.(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)【解析】方法一设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up10(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))从而eq\o(BC,\s\up10(→))＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.方法二eq\o(AB,\s\up10(→))＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A.课堂小结1.求平面向量坐标的两种方法(1)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终