《空间向量的坐标表示》设计 市赛一等奖

《空间向量的坐标表示》教学设计教学目标：1.间直角坐标系；2.空间向量的坐标表示；3.空间向量的坐标运算；4.平行向量、垂直向量坐标之间的关系；5.掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；6.掌握空间向量坐标运算的规律；7.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；8.会用中点坐标公式解决有关问题。教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算教学难点：向量坐标的确定教学方法：讨论法．教具准备：多媒体投影．教学过程：复习回顾空间向量基本定理探索研究1、空间右手直角坐标系的概念⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。⑵空间直角坐标系O－xyz在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向量a，且设i,j,k为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1,a2,a3）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，可简记作a＝（a1,a2,a3）。在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若则有序数组(x,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x叫做A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。⑸空间任一点P的坐标的确定过P分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A、B、C三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当与i方向相同时，x＞0，反之x＜0，同理可确定y、z（如图）例1已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别是BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。分析：要求点E的坐标，过点E与x轴、y轴垂直的平面已存在，只要过E作平面垂直于z轴交E‘点，此时|x|＝|y|＝|z|＝，当的方向与x轴正向相同时，x＞0，反之x＜0，同理确定y、z的符号，这样可求得点E的坐标。解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，,D1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)2、向量的直角坐标运算注：反思应用例2已知a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，求a＋b，a－b，8a，a•b。解：a＋b＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1），a－b＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9），8a＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40），a•b＝（2，－3,5）•（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29例3在正方体要ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则又∴D1F⊥AE，又AD∩AE＝A，∴D1F⊥平面ADE小结：①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定。②原点的坐标为(0,0,0)，x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z).③要使一向量a＝(x,y,z)与z轴垂直，只要z＝0即可。事实上，要使向量a与哪一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为0。巩固练习P39练习1－6例4在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点，求证EF⊥平面B1AC。分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线。证明：设A1B1的中点G，连EG、FG、A1B，则FG∥A1D1，EG∥A1B，∵A1D1⊥平面A1B，∴FG⊥平面A1B，∵A1B⊥AB1，∴EG⊥AB1，由三垂线的逆定理，得EF⊥AB1，同理EF⊥B1C，又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC。分析二：选基底，利用向量的计算来证明。证明：设＝a，＝b，＝c，则＝(－a＋b＋c)/2＝a＋b＝(－a＋b＋c)/2•(a＋b)＝(b2－a2＋c•a＋c•b)/2＝(|b|2－|a|2＋0＋0)/2＝0，，即EF⊥AB1，同理EF⊥B1C，又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC。分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)＝(―1,―1,1)•(