第一章 时域离散信号和时域离散系统

第一章

时域离散信号和时域离散系统1内容提要离散时间信号和离散时间系统的基本概念序列的表示法和基本类型用卷积和表示的线性非移变系统讨论系统的稳定性和因果性问题线性常系数差分方程介绍描述系统的几个重要方式模拟信号数字处理方法讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字序列)的频谱之间的关系介绍了离散时间信号的取样、抽取和内插等基本概念21.1引言本书研究的对象是数字信号的分析和处理。信号通常是一个自变量或几个自变量的函数，本书中看作时间的函数；信号通常分为两大类；连续时间信号和离散时间信号。如果信号在整个连续时间集合上都是有定义的，那么这种信号被称为连续时间信号。通常把时间连续、幅度也连续的信号称为模拟信号。时间离散、幅度也离散的信号被称为数字信号。3系统系统的作用是把信号变换成某种更合乎要求的形式。输入和输出都是连续时间信号的系统被称为连续时间系统；输入和输出都是离散时间信号的系统被称为离散时间系统；输入和输出都是模拟信号的系统被称为模拟系统；输入和输出都是数字信号的系统被称为数字系统。

4本章的研究内容：学习时域离散信号的表示方法和典型信号；线性时不变系统的因果性和稳定性、以及系统的输入输出描述法；线性常系数差分方程的解法；模拟信号的数字处理方法介绍。5§1.2

时域离散信号在离散时间系统中，信号要用离散时间的数字序列来表示。模拟信号经采样后得略去T记为61.2.1常用的典型序列1．单位取样序列(离散冲激)72．单位阶跃序列8与之间的关系：任一序列均可表示成的线性组合93．矩形序列矩形序列可用单位阶跃表示104．实指数序列当n<0，x(n)＝0时，上式可表示为图1.2.4表示0<a<1时，的图形115．正弦型序列式中，A为幅度，ω为数字域频率，单位为弧度。考虑数字正弦是由模拟信号采样得到，即数字域频率和模拟信号频率的对应关系126．复指数序列这里ω为数字域频率，单位为弧度。当σ＝0时，上式可表示成还可写成13现在讨论正弦序列的周期性。设根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周期序列，其周期为（其中N，k为整数）7.周期序列:定义：如果存在一个整数N，使则称x(n)为周期序列，记为，其最小周期为N14(1)当为整数时，正弦序列为周期序列，其周期为(2)当为有理数时P/Q，正弦序列为周期序列，周期为

P(3)当为无理数时，则任何整数k都不能使N为整数，这时正弦序列不是周期序列。15例：已知，求其周期解：依定义，令

即：16注：任意序列可用单位序列表示为17序列乘以常数两序列相加、相乘序列移位1.2.2序列运算18序列的翻转和尺度变换19§1.3时域离散系统系统定义：系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T[·]表示，即y(n)=T[x(n)]。20满足叠加原理的系统称为线性系统。设y1(n)和y2(n)分别是系统对输入x1(n)和x2(n)的响应，即：1.3.1线性系统若系统满足：则该系统为线性系统。其中的a和b为不同时等于零的常数2122证明所代表的系统为线性系统23说明：时不变指系统的特性不随时间改变。离散时间的情况下，“移不变”特性就是“时不变”特性。1.3.2时不变系统（移不变系统）例：判断以下系统是否是移不变系统（1）

y(n)=kx(n);(2)y(n)=nx(n)解：（1）y(n)=T[x(n)]=kx(n);

y(n-n0)=kx(n-n0)=T[x(n-n0)],为移不变系统；（2）y(n)=T[x(n)]=nx(n);

y(n-n0)=（n-n0)x(n-n0)≠

T[x(n-n0)]=nx(n-n0)

为移变系统若一系统满足：y(n)=T[x(n)]且y(n-n0)=T[x(n-n0)],则该系统为时不变系统。24证明所代表的系统为时变系统25既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性非移变系统。线性非移变系统的一个重要特性，是它的输出等于输入序列与系统单位序列响应的线性卷积关系。1.3.3线性时不变系统及输入与输出的关系1.单位取样响应或单位冲激响应当系统的输入为单位脉冲序列δ(n)时，其输出h(n)为系统的单位取样响应，即：T[•]δ(n)h(n)h(n)代表了系统的特征，系统可以用其单位取样响应表征h(n)h(n)=T[δ(n)](1.3.6)26通常把式(1.3.7)称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示，即：2.LTI系统的输入和输出的关系当任意序列x(n)可表述为273.离散卷积满足以下运算规律：(1)交换律h(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)线性时不变系统示意图28(2)结合律29(3)分配律30(4)与单位序列的卷积31离散卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下：(1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成h(-k)。(2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移(-n)。(3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘,产生一新的序列。(4)相加：把新序列各离散点的值累加起来，即得y(n)。323334351.3.4系统的稳定性和因果性1.系统的因果性系统的输出仅与现在和过去的输入有关，与系统将来的输入无关，则该系统为因果系统。因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。线性非移变系统为因果系统的充分必要条件是：36（1）充分性证明：（2）必要性372.系统的稳定性当输入x(n)有界时，输出y(n)有界的系统被称为稳定系统。即，如果|x(n)|≤M(M为正常数)，有|y(n)|<+∞，该系统稳定。线性非移变系统稳定的充要条件38证明（1）充分性（2）必要性39例1.3.6

已知一个线性非移变系统的单位取样响应为解：

(1)因果性(2)稳定性因为在n<0时，u(n)=0,所以h(n)=0，故该系统为因果系统40§1.4时域离散系统的输入输出描述法－线性常系数差分方程一个离散LTI系统的特性除了可用单位序列响应来描述外，还可以用差分方程来描述。对于线性时不变系统，经常用线性常系数差分方程来描述。41线性常系数差分方程的一般形式为：N为差分方程的阶数。将方程(1.4.1)稍加变换后得：该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2)等有关，还与该时刻以前的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。1.4.1线性常系数差分方程42二.用差分方程描述系统举例差分方程的最大用途是它直接描述了系统结构。无反馈型(有限冲积响应)：43有反馈型(无限冲积响应)：44差分方程的特点

采用差分方程描述系统简便、直观、易于计算机实现。但差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等。实际上用来描述系统多数还是由系统函数。451.4.2线性常系数差分方程的求解（1）经典解法；（详见《信号与系统》第三章）（2）迭推（代）解法；（举例）（3）变换域方法（本书第二章再详细介绍）461.5模拟信号数字处理方法研究内容：（1）信号被抽样后其频谱将会有什么变化？（2）在什么条件下，可从抽样数据信号中不失真地恢复出原来信号xa(t)?图1.5.1模拟信号数字处理方框图471.5.1采样定理及A/D变换器一、采样就是利用周期性抽样脉冲序列p(t),从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值，得到抽样信号（或称抽样数据信号）即离散时间信号，以表示。抽样是模拟信号数字化的第一环节，再经幅度量化编码（ADC）后即得到数字信号x(n)1.抽样器可以看成是一个电子开关。开关每隔T秒闭合一次（对理想抽样，闭合时间应无穷短，对实际抽样，闭合时间是秒，但<<T）使输入信号得以抽样，得到连续信号的抽样输出信号。SP(t)48ttt10T理想抽样00ttt10T非理想采样00T2.实际抽样与理想抽样49二、采样信号单位冲激函数串采样是模拟信号与冲激函数相乘的结果，即：T为采样周期，即50三、采样信号的频谱对式两边进行傅立叶变换51结论：采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期，进行周期延拓形成的。52结论：采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期，进行周期延拓形成的。53四、采样恢复54五、采样定理(1)采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期，进行周期延拓形成的。

(2)要想在信号恢复过程中不产生混叠失真，必须使模拟信号的频带是有限的，且取样频率满足，式中为模拟信号的最高频率成分。否则会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真恢复原连续信号。称为奈奎斯特频率。

称为折叠频率为奈奎斯特频率55六、A/D转换器采样A/D转换器的原理框图量化编码说明：A/D转换器的量化误差与量化效应例：设：当：时得到序列(周期N=4）按照M=6进行量化编码得到数字序列：561.5.2将数字信号转换成模拟信号（信号重建）先决条件取样过程中不存在混叠失真设计一个低通滤波器，其频率特性为就可得到原信号的频谱：在作傅立叶反变换可得到原信号理论上通过理想LPF恢复57信号的内插恢复——从时域进行分析

理想低通滤波器的冲激响应为：58讨论1.在本取样点，即t=nT时，内插函数值为1，其余取