第三章 矩阵的初等变换

第三章矩阵的初等变换与线性方程组§1矩阵的初等变换二、消元法解线性方程组一、矩阵的初等变换1、定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．2、定义2

矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．3、定义3如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B引例求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．同解方程组二、消元法解线性方程组

解用“回代”的方法求出解：解得小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵）的变换．用矩阵的初等行变换解方程组（2）：特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．都称为行阶梯形矩阵和矩阵4、例如，行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．例1将下列矩阵化为标准型：1、定义

由单位矩阵

E

经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念2、三种初等矩阵例2以下矩阵是否初等矩阵?4、初等矩阵均可逆3、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵.四、初等矩阵的应用例4引理

设

A

是一个

mn矩阵,对

A施行一次初等行变换，相当于在

A

的左边乘以相应的

m

阶初等矩阵；对

A

施行一次初等列变换,相当于在

A

的右边乘以相应的

n

阶初等矩阵.初等变换初等矩阵五、初等行变换求逆矩阵解例5又如：20面2题例6解又如：20面3、4题§2矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的一些结论一、矩阵秩的概念矩阵的秩显然有：例1解例2解计算A的3阶子式，例3解问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法1、初等变换求矩阵秩的方法：

把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.2、例2另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！例4行初等变换则这个子式便是A的一个最高阶非零子式.又如：19面二、1题答案：秩为3又如：19面一、2题答案：秩为2又如：25面一、4题答案：秩为2例5解分析：例6解：第二、三行元素成比例，所以，又如：23面2题，24面2题,20面5题（讲解）(见下节)三、矩阵秩的一些结论9.又如：19面一、3题答案：0例7设A为n阶矩阵，证明又如：25面一、5题；25面二题利用A+E-A+E=2E§3线性方程组的解一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法一、线性方程组有解的判定条件线性方程组系数矩阵为线性方程组可记为：1)m=n时,A是n阶方阵,若|A|0,则可用克莱默法则求解,或用A的逆矩阵表示解.2)对一般的情况如何判定有没有解?有解时如何求解?例1

若某方程组经同解变换化为显然，有唯一解.例2

若某方程组经同解变换化为显然，无解.例3解方程组解无解.例4解方程组解为方程组的全部解.增广矩阵经

行

初等变换化为行最简形矩阵，该阶梯形与方程组解的关系：行最简形矩阵中非零行的行数<未知量个数无穷多解该数不为零，无解行最简形矩阵中非零行的行数=未知量个数唯一解1.非齐次线性方程组有唯一解bAx=()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=无解bAx=()()BRARÛ2.齐次方程方程组例5求解齐次线性方程组二、线性方程组的解法例6求解齐次线性方程组例7求解齐次线性方程组例8求解非齐次线性方程组故方程组无解．例9求解非齐次线性方程组例10求解非齐次方程组的通解例11设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解.求解线性方程组步骤:三、推广到矩阵方程定理7矩阵方程AX=B有解充要条件是R(A)=R(A,B).定理8设AB=C,则定理9矩阵方程只有零解的充分必要条件是R(A)=n.()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.