第5讲离散变量模型

第5讲离散变量模型主要内容定性因变量LPM模型PROBIT模型LOGIT模型定性因变量到目前为止，因变量（Y）是定量的。事实上，因变量也可以是定性的。

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二元选择（离散变量）定性因变量企业每年获得的专利数目个人选择职业的领域大学教授发表的论文篇数新村门口每天卖出的商报份数理发店每天的顾客人数……

多元选择（离散变量）离散变量作为因变量的模型统称为离散变量模型。变量回归模型在离散变量模型中，目标是找出给定条件（X）下事件Y发生的概率，因此通常也称为概率模型。最简单的离散变量模型是二元选择模型，回归子Y为是/否或存在/不存在类型的二分定性变量，取值为0/1。主要讲二元选择模型线性概率模型（LPM）LPM模型的形式如下:

yi=+xi+ui

其中ui为随机误差项，xi为定量解释变量。yi为二元选择变量:

yi=1（若是第一种选择）

0（若是第二种选择）

对yi取期望

E(yi)=+xi

因为yi只能取两个值，0和1，所以yi服从两点分布。把yi的分布记为

P(yi=1)=pi

P(yi=0)=1-pi

则

E(yi)=1(pi)+0(1-pi)=pi

因此有

pi=+xi

以pi=-0.2

+0.05xi为例

xi每增加一个单位，则采用第一种选择的概率增加0.05。

假设用这个模型进行预测，当预测值落在

[0，1]区间之内（即xi取值在[4,24]之内）时，则没有什么问题。但当预测值落在[0，1]区间之外时，则会暴露出该模型的严重缺点。

因为概率的取值范围是

[0，1]，所以此时必须强令预测值（概率值）相应等于0或1。线性概率模型（LPM）线性概率模型常写成如下形式：

pi=1+xi

1+xi0<+xi<10+xi

0然而这样做是有问题的。假设预测某个事件发生的概率等于1，但是实际中该事件可能根本不会发生。反之，预测某个事件发生的概率等于0，但是实际中该事件却可能发生了。虽然估计过程是无偏的，但是由估计过程得出的预测结果却是有偏的。

由于线性概率模型的上述缺点，希望能找到一种变换方法，满足：（1）使解释变量xi所对应的所有预测值（概率值）都落在（0，1）之间。

（2）同时对于所有的xi，当xi增加时，希望yi也单调增加或单调减少。

显然累积概率分布函数F(zi)能满足这样的要求。

采用累积正态概率分布函数的模型称作Probit模型。采用logistic函数的模型称作Logit模型。

Probit模型Probit（概率单位）模型，仍假定：yi=+xi

pi=F(yi)=Probit模型需要假定yi

服从正态分布。

Logit模型该模型是McFadden于1973年首次提出。其采用的是logistic概率分布函数。其形式是

pi=F(yi)=F(+xi)=＝对于给定的xi，pi表示相应个体做出某种选择的概率。

Probit曲线

Logit曲线

Probit曲线和Logit曲线很相似。两条曲线都是在pi=0.5处有拐点，但Logit曲线在两个尾部要比Probit曲线厚。

Probit模型和logit模型概率值

Logit曲线计算上也比较方便，所以Logit模型比Probit模型更常用。

pi=F(yi)=F(+xi)=＝已知：yi=+xi

相除有：两边取对数：机会比率（oddsratio）怎样估计Logit模型和Probit模型？极大似然法例子：考虑下表给出的数据考察影响微观经济学成绩的因素GRADE:学生期末成绩（1表示优秀）GPA:高考成绩TUCE:经济学入学考试成绩PSI:是否采用新的教学方法Logit模型怎么解释这些系数？回忆2.3786有些人对Logit仍然不熟悉。变形为解释：相对而言，采用新的教学法的效果好10倍。pi=0.69351采用新教学法能使学生学好的概率。Probit模型解释这些系数非常麻烦。LogitProbit这两组系数不能直接相比。标准正态分布的方差为1，而标准逻辑分布的方差为