第十三章动量矩定理

第十三章动量矩定理1§12-1转动惯量一．定义

刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kg·m2。若刚体的质量是连续分布，则动力学二．转动惯量的计算１．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）2

[例1]匀质细直杆长为l,质量为m。

求：对z轴的转动惯量；对z'轴的转动惯量。解：动力学

2.回转半径由所定义的长度称为刚体对

z轴的回转半径。3在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。

刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。⑴定理动力学3.平行移轴定理

对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。4动力学

⑵证明设质量为m的刚体，质心为C，刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。5动力学当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。4．计算转动惯量的组合法例如，对于例1中均质细杆对z'轴的转动惯量为6解：[例2]

钟摆：均质直杆m1,l

；

均质圆盘：m2,R。求IO

。动力学[例3]

提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2,半径分别为r1、r2,

可视为均质圆盘;物体C的重量为P3;

轮A上作用常力矩M1。求物体C上升的加速度。7[例3]

提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2,半径分别为r1、r2,可视为均质圆盘;物体C的重量为P3;

轮A上作用常力矩M1。求物体C上升的加速度。②取轮B连同物体C为研究对象；受力如图；轮B速度为w2，角加速度为e2；物体C速度为v

，加速度为a；由质点系的动量矩定理则有：解:①取轮A为研究对象；受力如图；轮A角加速度为

e1

，由刚体定轴转动微分方程则有：动力学8动力学③运动学补充方程：化简(1)

得：化简(2)

得：9质点质点系动量定理：动量的改变—外力（外力系主矢）若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。

§12-2动量矩一．质点的动量矩

质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢）⒈质点对点O的动量矩矢量大小：动力学10⒉质点对轴z

的动量矩代数量正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负逆时针为正⒊质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系⒋动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。kg·ｍ2/s。⒌单位动力学11⒉质点系对轴z动量矩二．质点系的动量矩⒈质系对点O动量矩刚体动量矩计算⑴平动刚体平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。⑵定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。动力学12平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。⑶平面运动刚体[例1]

滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1

滑轮B：m2，R2，J2

；物体C：m3

求系统对O轴的动量矩。动力学解：13§12-3动量矩定理一．质点的动量矩定理两边叉乘矢径,有左边可写成故：⒈质点对固定点的动量矩定理动力学14将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。⒊质点的动量矩守恒情况质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理⒉质点对固定轴的动量矩定理动力学若则常矢量15运动分析：由动量矩定理微幅摆动时，并令，则，摆动周期解：研究小球，将小球视为质点。受力如图示。[例2]

单摆已知m，l，t=0时=0，从静止开始释放。求单摆的运动规律。代入初始条件则运动方程微分方程的解为：动力学16注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）⒉质点动量矩定理的应用

(可求解质点动力学两类基本问题）

⑴已知作用于质点的力或力矩求质点的运动；⑵已知质点的运动求作用于质点的力或力矩；⑶已知质点在某一状态下的运动要素，求在另一状态下的运动要素（速度、位置坐标）。动力学17质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）二．质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而一质点系对固定点的动量矩定理对质点系，有对质点Mi：⒈质点系对固定点的动量矩定理⒉质点系对固定轴的动量矩定理将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得动力学18上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。⒊质点系的动量矩守恒定理

⑴当时，常矢量。⑵当时，常量。定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。动力学19解:

取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：

v=ｒ由动量矩定理：[例3]

已知:

动力学20解：系统的动量矩守恒。猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为。[例4]

已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）动力学21⒉可解决动力学两类问题

§12-4

刚体定轴转动微分方程对于一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，有——刚体定轴转动微分方程一、刚体定轴转动微分方程⒈方程的导出动力学22二、讨论⒈若,则恒量，刚体作匀速转动或保持静止。⒉若常量，则

=常量，刚体作匀变速转动。将与比较，可以看出，刚体的转动惯量是刚体转动惯性的度量。动力学[例1]已知：复摆（物理摆）重为P，对转轴的转动惯量为

Io；

求：复摆作微幅摆动时的运动规律。解：取复摆为研究对象；受力分析如图示；23动力学运动分析：复摆绕轴O作定轴转动；由刚体定轴转动微分方程:得：微幅摆动时，即有：即有：微分方程的解为：24

l—复摆的简化长度，K—复摆的摆心，O—复摆的悬点。悬点和摆心可以互换，而不改变复摆的周期。

动力学上式即为复摆作微幅摆动时的运动规律。A为角振幅，a为初位相，可由运动初始条件确定。复摆的运动规律是简谐运动。这就表明，如已知某物体的重量和重心的位置，再测出其作微幅摆动时的摆动周期，则可计算出该物体对转轴的转动惯量。25§12-5质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程一．质点系动量矩二．质点系相对质心的动量矩定理动力学⒈定理—质点系相对质心的动量矩定理质点系对任一点O的动量矩等于系统的动量对于O点的动量矩与该系统对质心动量矩的矢量和。质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对质心之矩的矢量和。26动力学

⑵质点系相对于质心和相对于固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。⑴质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。⒉讨论

三．刚体平面运动微分方程

⒈方程的导出设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系是简化到该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于S内。

27取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为随质心C的平动(xC,yC)

绕质心C的转动（）可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理可确定出：动力学28应用时采用投影形式或上式称为刚体平面运动微分方程。动力学⒉刚体平面运动微分方程29[例4]

质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为q

的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f´，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解：①取轮为研究对象。②受力分析如图示。

③运动分析：取直角坐标系Oxy

aCy

=0，aCx

=aC，

一般情况下轮作平面运动。④根据平面运动微分方程求解：由⑵式得⑴⑵⑶⑴—⑶三式中含有四个未知数aC

、F、a

，N，需根据不同的运动情况列写一个补充方程。动力