几种常见的二次曲面（课堂PPT）

第四节几种常见的二次曲面一、问题的提出二、柱面四、旋转曲面八、一般的二次曲面九、小结与思考判断题三、锥面五、椭球面六、双曲面七、抛物面1/13/20231一、问题的提出(Introduction)三元二次方程表示的曲面，称为二次曲面。如球面1）对称性：关于坐标面，坐标轴2）存在范围3）曲面与坐标轴、坐标面的关系用平行于坐标面的平面去截曲面，由所得截痕来勾画曲面的大体形状及如下一些特性。二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截痕法)1/13/20232二、柱面1、柱面的定义：一般地，平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。动直线L叫做柱面的母线，定曲线C叫做柱面的准线。

LC1/13/202331）一般地，只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上的曲线例1、表示怎样的曲面？也是圆柱面。是平面，解：也是柱面。母线平行于z轴，准线为xoy面上的曲线（圆）的圆柱面。1/13/202342）一般地，只含x,z而缺y的方程G(x,z)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于y轴的柱面，其准线为xoz面上的曲线例2、表示怎样的曲面？母线平行于y轴，准线为

xoz面上的曲线（抛物线）的抛物柱面。解：1/13/202352、练习题:下列方程在平面、空间直角坐标系中各表示什么图形，并画出其草图。3）一般地，只含y,z而缺x的方程H(y,z)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于x轴的柱面，其准线为yoz面上的曲线1/13/20236三、锥面椭圆锥面：特殊情形：当a=b时，此时为圆锥面。oxy

z曲面与平面z=t相交，得截痕为不同高度、不同大小的椭圆：1/13/202371、定义：以一条平面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。这条直线叫做旋转曲面的轴。旋转的曲线称为母线。四、旋转曲面1/13/202382、旋转曲面方程的求法：把该曲线绕z轴旋转一周，得一个以z轴为轴的旋转曲面。坐标平面上有一已知曲线C，1）设在为曲线C上的任意一点，则有1/13/20239当曲线C绕z轴旋转时，点也绕z轴转动到点M到z轴的距离此即为所求旋转曲面的方程。M1/13/202310注：求旋转曲面的方程的技巧：在曲线C的方程的第一个方程中，只要将y改成z不变，便得曲同理，曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为：线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程。1/13/2023112）xoy面上的曲线C：绕x轴绕y轴3）zox面上的曲线C：绕x轴绕z轴1/13/202312xyz0直线L解：旋转面为即1/13/202313例4xoy面上的椭圆绕x轴转得曲面：绕y轴转得曲面：

zox面上的双曲线绕z轴转得曲面：绕x轴转得曲面：旋转椭球面旋转椭球面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面1/13/202314例5思考：方程表示怎样的曲面？是怎样形成的？或

xyz0解：是由1、怎样形成？2、什么曲面？z1/13/202315xy

z五、椭球面

特殊情形：①当a=b=c时，此时为球面1/13/202316②当a=b时，此时为旋转曲面③当a=c时，此时为旋转曲面④当c=b时，此时为旋转曲面1/13/2023171、单叶双曲面oxyz当a=b时为旋转单叶双曲面。六、双曲面

1/13/2023181/13/2023192、双叶双曲面或者xyz0当a=c时为旋转双叶双曲面。1/13/2023201、椭圆抛物面xyz(0,0,0)a=b时，成为旋转抛物面。七、抛物面1/13/2023212、双曲抛物面（马鞍面）也是双曲抛物面。

xzyo1/13/202322八、一般的二次曲面在研究一般的二次曲面时，要利用坐标变换将其方程变为标准方程。1、坐标系的平移坐标系的平移只改变原点的位置，不改变坐标轴的方向和单位长度。1/13/202323设为原始坐标系，是空间一点，将原坐标系原点平移到得新坐标系。若点P在原坐标系下的坐标为（x,y,z），在新坐标系下的坐标为（X,Y,Z），则或坐标系平移时坐标变换公式1/13/202324例6用坐标系的平移化去方程的一次项。解：将方程变形为：取平移变换：则方程变为：为旋转椭球面1/13/2023252、坐标系的旋转（略）1/13/202326例7、指出下列方程所表示的曲面。(1)(2)(3)(4)1/13/202327(5)(6)(7)(8)1/13/202328(9)(12)(10)(11)1/1