鸽巢原理例题

鸽巢原理例题证明[1,2n]中任意n+1个不同的数中至少有一对数互质设这n+1数为a1<a2<…<an+1,令bi=ai+1(i=1,2,…,n)。显然，b1<b2<…<bn<=2n,a1,…,an+1,b1,…,bn这2n+1个数中必有二数相等，即存在bi与ai+1相等，而bi=ai+1,而ai与ai+1（即ai+1)是互质的。一人以11周时间准备考试，他决定每天至少做一道题，但每周不多于12题。证明：存在连续的若干天，在这些天时他恰好做了21题。改为更少的题数如何？改为22题如何？令ai表示从第一天到第i天所做的题数之和。因为每天至少做一题，有：a1<a2<…<a77<=12*11=132。考虑序列:a1+21,a2+21,…,a77+21(<=153).两个序列共有154个数，而ai≠aj(当i≠j时),同理，ai+21≠aj+21(当i≠j时),

所以，必有某个aj=ai+21,即从第i+1天到第j天共做了21题。原命题改为小于21题，显然是成立的。续：22题的情况若存在某一周没有做满12题，则a77+22<154,使得这154个数最多到153,从而仍有aj=ai+22;若每周都做满12题，那么a1,a2,…,a77,a1+22,a2+22,…,a77+22这154个数恰在1~154之间。若不存在i,j使得aj=ai+22,则它们取值遍历1,2,…,154。即有a1=1,a2=2,…,a22=22。那么，他在第一周里只做了7题，与每周做满12题假设矛盾。所以，存在连续的若干天，他恰好做了22题。设a1,a2,…,an是1,…,n的一个排列，证明，当n是奇数时，(a1-1)(a2-2)…(an-n)是一偶数。证明：只须证明上述因子中有一个是偶数即可。因为只要有一个因子是偶数，则积必为偶数。n是奇数时，1~n中有(n+1)/2个奇数，(n-1)/2个偶数。从而，a1,a3,…,an中至少有一个是奇数,设为a2i+1这样以来，(a2i+1-(2i+1))为偶数。乘积为偶数。证毕。证明：在1~200中可选取100个数它们中任何两个数互素。并证明所选的100个数中的最小数不小于16。显然，当选出的数为101时，可用鸽巢原理证明，必存在两个数是倍数（或整除）关系。本题证明参见《辅导》P301，7.7题证明：任给m个正整数a1,a2,…,am，必存在连续的若干项，其和是m的倍数（能被m整除）。证明：构造数列：S1=a1,S2=a1+a2,…,Sn=a1+a2+…+an;若某个Si已经可被m整除，则得证。设不存在被整除的情况，则每个Si模m的余数ri满足：1≤ri≤m-1。这样的ri共有m个。根据鸽巢原理，存在i<j，但ri=rj。即Si与Sj同余。从而有：Sj-Si=km=ai+1+ai+2+…+aj.得证。思考题一个1*1的方格里任选5个点，则必存在两点，其距离<√2/2.空间直角坐标系中，我们把(x,y,z)坐标均为整数的点简称为格点，证明，任意9个格点中，必存在两点，其连线的中点亦是格点。设西工大在北京的办事处有90间房间。每次总是