电磁场与电磁波第四章

第四章静态场的边值问题

在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问题通常分为3类：第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值；第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值；第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数值。求解边值问题的方法主要有解析法和数值法两大类。解析法中最基本的是镜像法和分离变量法。4.1唯一性定理

唯一性定理在位场的三类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。证明（反证法）：

设在区域V内，有体电荷分布

(r)，在V的边界面

S上，电位的值

f(S)或电位函数法向导数的值

g(S)已知。假定存在两个解

1和

2，它们都满足泊松方程和相同的边界条件，即在区域

V内有

在边界面上有

令，于是

（4-1-1）

（4-1-2）

（4-1-3）

唯一性定理给出了定解的充分必要条件，它表明，对于静态场，当电荷（或电流）分布以及场域边界面上的边界条件已知时，场的分布就唯一地确定。在格林第一恒等式

中令

==’，并利用式(4-1-3)，可知，对三类边界条件都有对于第一类边界条件,,则

C=0，所以

1=

2，解是唯一的。对于第二类边界条件,,则

C不一定为零。常数对梯度无贡献，这两个位函数将给出同一场矢量，解也是唯一的。4.2镜像法

镜像法是求解静态场边值问题的一种间接解法，其理论依据是唯一性定理。镜像法主要用于求解理想导体附近的电荷产生的电场或铁磁质附近的电流产生的磁场。在这类问题中，场由区域内的电荷（电流）以及界面上的电荷（电流）共同激发。镜像法的思想是，在所求解场区域以外的空间中某些适当位置上，设置适当的像电荷（像电流）来替代界面上的电荷（电流）的效果，这些等效电荷（电流）与场域内的电荷（电流）共同作用结果满足场域边界面上给定的边界条件，从而可以将界面移去，使所求解的边值问题转化为无界空间的问题。运用镜像法必须遵循两条规则：1)像电荷（像电流）只能位于所求解的场域之外的空间，而所得的解只在场域内正确；2)像电荷（像电流）的个数、位置及其量值以使场域的边界条件得以满足为准则来确定。4.2.1导体平面镜像法

如右图，无限大接地导体平面上方与之距离为处有一个电量为

q的点电荷，求上半空间的电位分布。

上半空间的电场由点电荷以及导体平面上的感应电荷分布共同激发。z>0的上半空间除

q所在点外，电势满足

2=0。又因为导体平面接地，因此，在

z=0的平面上

=0。若假设导体平面不存在，而在

z=0的平面下与

q对称地放置一个电量为

-q的点电荷，则上半空间内场方程保持不变，且平面

z=0仍为

=0

的等位面。因此，可以用

q和

–q两个点电荷组成的电荷系统来代替原边值问题。

于是，上半空间中任一点处的电位：

其中，R、R’分别为源电荷、像电荷到场点的距离。

根据导体表面电场的边界条件

en•D=S，可得导体平面上的感应面电荷分布：

导体表面上的总感应电荷：

（4-2-1）

对于边界面为相互正交的两个无限大接地导体平面情形，为保持两个平面电位为零，必须设置三个像电荷，如右图所示。

4.2.2导体球面镜像法

设点电荷

q位于一个半径为

a的接地导体球外，距球心为

d，如下图所示。用镜像法求球外的电位分布。

像电荷

q’应位于球内。由对称性，q’在球心与

q的连线上。设

q’

距球心为b，则

q和

q’

在球外任一点(r,,)处产生的电位为

q’和

b由球面电位为零的边界条件来确定。考虑球面上的两个特殊点=0

和=，由式(4-2-2)，有

（4-2-2）

解之可得，像电荷的电量及其与球心的距离分别为

（4-2-3,4）

满足上述第二关系式的像电荷的位置称为源电荷位置关于半径为a的圆的反演点。

将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位

（4-2-5）若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷

q后，它的电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，像电荷必须有两个：，位于源电荷位置的反演点；,位于球心。球外的电位由

q、q’和q”共同激发。若导体球不接地且带有电量

Q，则当球外放置点电荷

q

后，它的电位不为零，球面的净电荷为

Q

。为满足边界条件，像电荷仍为两个：，位于源电荷位置的反演点；q”=Q–q’，位于球心。

4.2.3导体柱面镜像法

设半径为

a

的无限长导体圆柱外有一根与之平行的无限长线电荷，距圆柱轴线为

d，如下图(a)所示。若电荷的线密度为

l，求圆柱外的电位分布。

由对称性，像电荷也是无限长线电荷。设像电荷的线密度为，位于圆柱内，与轴线的距离为，进行试探求解。

空间任意点的电位等效为由两根平行线电荷共同产生。利用例3.1.4的结果，柱外任一点的电位为

（4-2-6）其中，分别为源线电荷和像线电荷到场点的距离；由柱面为等位面这一边界条件来确定；C的值与电位零点的选取有关。在导体圆柱的圆周上取两特殊点

A和

B，因为圆柱面为等位面，故有

将代入，解得（4-2-7）将式(4-2-7)代入(4-2-6)，得柱外任一点的电位为

（4-2-8）可见，当（为任一常数）时，为常数。因此在

xy平面内，等位线方程为

将代入，整理可得

上式为圆族方程。这表明，在密度分别为

l的两根平行线电荷产生的电场中，等位面是圆柱面族，且

l

和

l’

的位置关于任一等位面都互为反演。=1所对应的等位面是与

l

和

l’均等距的平面。

若导体圆柱接地，即半径为a的圆柱面上任一点电位等于零，有

所以（4-2-10）若以与均等距的平面为零位面，则式（4-2-8）中的常数

C=0，有

（4-2-11）（4-2-9）两平行线电荷电场的等位面如右图所示。

【例4.2.1】半径为a的无限长金属圆柱与地面平行放置，其轴线距地面的高度为h。求单位长金属圆柱与地面之间的电容。解：设金属圆柱单位长度带电为

l，电位为，则单位长金属圆柱与地面之间的电容为只要求出金属圆柱的电位，就可求得电容。求金属圆柱的电位，可采用镜像法。无限长带电金属圆柱对地面的像是位于地面下方对称位置处、带有电荷

l’=l的圆柱。利用上面讨论结果，可将金属圆柱面和像圆柱面看作是两根平行线电荷

l

电场中的两个等位面。设线电荷l和-l与金属圆柱轴线的距离分别为b和d，如上图所示。

地面是与两线电荷等距的平面，且电位为零。由式(4-2-11)，可得金属圆柱的电位为

其中，R+、R-

分别表示线电荷

l和l’

到金属圆柱的圆周上任一点的距离。对于金属圆柱上的点A，有因为线电荷

l的位置关于圆柱面互为反演和关于地面对称，故有

于是

解得所以，单位长金属圆柱与地面之间的电容为

如果h>>a，则

4.2.4介质平面镜像法

设点电荷

q位于介质1中，与介质1和介质2的分界面距离为

d。在

q的电场作用下，介质极化，出现极化电荷和极化面电荷。空间任意点的电场由点电荷

q与极化电荷共同产生。也可以采用镜像法求解整个空间的电位分布。

计算介质1中的电位时，用位于介质2中、与源电荷镜面对称位置处的像电荷

q’

代替极化电荷，并认为整个空间充满介质1，有

计算介质2中的电位时，用位于源电荷所在位置处的像电荷

q代替极化电荷，并认为整个空间充满介质2，则有

(4-2-12)在分界面

z=0处，电位满足边界条件：将式(4-2-12)和(4-2-13)代入以上两个边界条件，可解得

将所求得的

q’和

q代回式(4-2-12)和(4-2-13)，就可得到整个空间的电位分布。

(4-2-13)4.3分离变量法

求解无源区的静态场问题就是在给定场域界面上的边界条件下求解位函数的拉普拉斯方程。分离变量法是最常用的方法。建立适当的坐标系，使场区域边界面与坐标面相合。在此坐标系中，三维的位函数可以表示为三个函数的乘积，每一个函数分别仅是一个坐标的函数。这样，通过分离变量就将三维的偏微分方程化为三个常微分方程来求解。4.3.1直角坐标系中的分离变量

直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为

（4-3-1）

设

(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得

(4-3-2)待定常数

kx、ky

和

kz

称为分离常数，其值由场的边界条件确定，且它们并不完全独立，满足下面的约束关系：

要使上式对任意

x,y,z都成立，每一项必须等于常数。故可令

(4-3-4)(4-3-3)方程(4-3-3)解的形式取决于分离常数的值，亦即取决于场的边界条件。以

X

的方程为例讨论其解。根据边界条件的不同，解的可能形式有三种：

若

，则

(4-3-5)若

，则

(4-3-6)若

，即

kx是虚数。令，则(4-3-7)其中A、B(A’、B’)为待定常数。

Y(y)

和

Z(z)

的函数形式与

X(x)

的类似。于是，在分离常数kx、ky、kz

的一种可能取值下，X(x)Y(y)Z(z)

就给出一种可能解。在边值问题中，为满足给定边界条件，分离常数通常取一系列值

kx、ky、kz，对应有一系列解

Xn(x)Yn(y)Zn(z)，它们的线性组合就是方程的通解。只要根据问题的边界条件确定通解中的常数，便可得到问题的特解。

【例4.3.1】

如图所示，导体长槽接地，上方的导体盖板与槽绝缘并保持恒定电位。求槽内的电位分布。

解：槽内的电场为平面场，即槽内电势仅仅是

x、y的函数，即

在如图所建的直角坐标系中，给定问题的边界条件为：

由(1)、(2)可知，电位沿

x方向的分布具有周期性，故

X应取解(4-3-6)，于是

。则,即。因此，该问题的通解为

①

将(1)、(3)代入通解①，可得

再由(2)可得

②

于是最后将(4)代入②，有

③

式③两边同乘以

，并在区间(0,a)积分，有

利用三角函数的正交性，可得由此

所以4.3.2圆柱坐标系中的分离变量

圆柱坐标系中，拉普拉斯方程为

（4-3-8）

只讨论二维平面场问题，即与z无关的情形。这时方程简化为设=P()()，代入上式，整理可得上方程分离为两个常微分方程：

（4-3-9）（4-3-10）方程(4-3-10)的解为方程(4-3-9)的解：所以，圆柱坐标系中二维平面场的通解为

（4-3-11）【例4.3.3】在电场强度为E0的均匀介质2中放置一半径为a、介电常数为1

的无限长圆柱，柱的轴线与电场相互垂直。求空间电位分布以及柱面上的极化电荷分布。解：建立圆柱坐标系，

z轴沿圆柱的轴线方向，

x轴沿电场方向。柱内、外的电位1

、2

由式(4-3-11)给出。注意到1

、2关于x轴对称，故1

、2中不含sin(n)项。边界条件：

由(1)和(2)，有

再由(3)，有

比较上两式等号两边cos(n)的系数，可得联立上面四式，解得

所以柱面上的极化电荷面密度

4.3.3球坐标系中的分离变量

球坐标系中，拉普拉斯方程为

（4-3-12）对于轴对称场，即与

无关，拉普拉斯方程简化为

设

=R(r)()，代入上方程，整理可得

上方程分离为两个常微分方程：

（4-3-13）（4-3-14）令

=cos，则式(4-3-14)变为(4-3-15)式(4-3-15)是勒让德方程。要求方程在内有有界解，k取值必须为，其解为

n阶勒让德多项式：

(4-3-16)将

k=n(n+1)代入方程(4-3-13)，解得

(4-3-17)于是，轴对称情况下，球坐标系中拉普拉斯方程的通解为

(4-3-18)【例4.3.4】在介电常数为1、半径为R0

的均匀介质球中心放置一个电偶极子，其偶极矩为P。球外充满介电常数为2的另一种均匀介质。求整个空间的电位分布。解：在电偶极子

P

的电场作用下，介质发生极化，在球心出现极化电偶极子

PP=(0

/1

-1)P，在两种介质分界面上出现极化面电荷。整个空间的电场是

P、PP以及极化面电荷共同激发。由电位叠加原理，球内、外的电位可写为：

其中，P表示电偶极子

P、PP在整个空间产生的电位：

表示介质分界面上的极化面电荷在球内、外产生的电位，它们满足拉普拉斯方程，且具有轴对称性。在球坐标中，由式(4-3-18)给出。所以

①

②

边界条件：

将(1)、(2)分别代入

①、②，可得

再由(3)，有

④

③

比较③