利用不等式解应用题

利用不等式解应用题张宁中级教师2003年名师课堂辅导讲座—高中部分学习内容：

将实际问题数学化后，建立不等式或函数关系，再利用不等式知识解决。学习要求：对已经学过的不等式知识与实际问题有机结合起来。学习指导：要点：不等式知识。难点：将实际问题数学化。关键：建立不等式或函数关系，再利用不等式知识解决。例1：如下图，已知是阻值不同的两个电阻，分别按图（1）和图（2）连接。设图（1）中的总阻值为，图（2）中的总阻值为，则的大小关系是（）(1)(2)例2：如图，某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修一条环城公路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A，B两点，

使环城公路在A，B间为直线段，要求AB路段与市中心O的距离为10公里，且使A，B间的距离|AB|最小，请你确定A，B两点的最佳位置（不要求作近似计算）。

解：设|OA|=a，|OB|=b，AOCB北南东西当a=b时，而a=b时，为等腰三角形答：A，B两点距中心O最佳位置为

例3：某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）

A、5公里处B、4公里处

C、3公里处D、2公里处2、利用不等式的应用问题解：设仓库到车站的距离为x当x=10时，=2，=8

当且仅当，即x=5时，因此应选A例4：某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（x是自然数），且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元。现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由。解：设每批购入x台，须进货次，每批进货总价值2000x，全年保管费2000xk。依题意，当且仅当

即x=120台，答：每批进货的数量为120台时会使资金够用。甲、乙两地相距离skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度vkm/h的平方成正比，且比例系数为b，固定部分为a元。（1）把全程运输成本y元表示为速度vkm/h的函数，并指出这个函数的定义域（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？例5：分析：每小时运输成本可变部分:元，共行驶小时,固定部分：a元解:(1)(2)当且仅当即时取“=”号①若

当

时，取“=”号

②若

时，

（法一）利用单调性

（法二）

令

综上，当

时，

当

时，

例6：某工厂有一面旧墙长14m，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形且面积为126m2的厂房，工程条件是①建1m新墙的费用为元，②修1m旧墙的费用是元。③拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用是元。经讨论有两种方案。方案一：利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长。方案二：矩形厂房一面的一段为旧墙，其边长为问如何利用旧墙，即为多少时，建墙费用最省？两种方案哪种最好。解：方案一

方案二令任意

则故当

时，又35a〈35.5a故采用第一种方案好3、利用不等式

的应用题

例7：国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策，现知某种酒瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元征税R元（叫做税率R%），则每年产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？分析：设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收积金为70xR%万元，并且x=100-10R，可建立不等式即

故税率应定在2%—8%之间。解：依题意：70（100-10R）R%

例8：一辆汽车总重量为w，时速为v（km/h），设它从刹车到停车行走的距离L与w，v 之间的关系式L=kv2w（k是常数），这辆汽车空车以每小时50km行驶时，从刹车到停车行进了10m，求该车载有等于自身重量的货物行驶时，若要求司机在15m距离内停车，并且允许司机从得到刹车指令到实施刹车时间为1s，汽车允许的最大时速是多少？（结果精确到1km/h）分析：通过精心理解，单位要统一，需正确建立不等式，再求不等式的解。

解：L=10，V=50时，

故汽车允许最大时速为29km/h例9：某地区上年度电价为0.8元/kWh，年用电量为akWh，本年度计划将电价降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间，而用户期望电价为0.4元/kWh，经测算，下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力的成本价为0.3元/kWh（（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式（（2）设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益=实际用电量（实际电价-成本价））分析：精心理解，列出函数式后，需正确建立不等式，再求不等式的解则新用电量为解；（1）设下调电价x元/kWh（2）由题意知：

故当电价最低为0.6元/kWh时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%例10：某公司急欲将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地，现有汽车、火车、直升飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：运输工具途中速度（千米/小时）途中费用（元/千米）装卸时间（小时）装卸费用（元）汽车50821000火车100442000直升飞机20016210004、利用a-b>0（<0）来比较大小若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中的损耗为300元/小时，问采用哪种运输工具比较好（即运输过程中的费用与损耗之和最小）？

解：设A、B两地相距为S千米（S>0）

运输工具途中及装卸费用运输过程的损耗总支出汽车8S+1000火车4S+2000直升飞机16S+1000因F1=14S+1600，F2=7S+3200，F3=17.5S+1600又S>0，故F1<F3恒成立（1）当时，故火车较好（2）当时，故汽车较好（3）当时，故汽车、火车较好综上，当时，用火车较好当时，用汽车较好当时，用火车、汽车较好例11：例11：某工厂有工人214人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件和加工3个B型零件所需时间相同，现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始，设加工A型零件的人有x人，在单位时间里加工A型零件5k件，加工完成A型零件所需时间为g（x），加工完B型零件所需时为h（x）(1)试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成总任务的时间f（x）的解析式；(2)应怎样分组，才能使任务完成得最快？分析：A型零件31500件，B型零件1500件，做A型零件x人，每人单位时间完成5k件；做B型零件（214-x）人