函数单调性证明和计算

函数单调性张斌老师单调性在函数中的地位函数的三性一般所指：（1）单调性（2）奇偶性（3）周期性其中，单调性排在首位，是函数的基本性质，是每个初等函数要研究的性质.其他性质则不然，如奇偶性，周期性等，不是每个初等函数都具有的性质.由此看到，单调性在函数中的重要地位.知识点一—考点分析函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画以及用严格的推理论证并完成规范的书面表达是学习的难点之一．另一难点是如何利用单调性解决含参的一些简单的数学问题．知识点对于“函数的函数的单调性”问题，高考中主要有四个考点:考点一是“函数单调性的判断与证明”，考点二是“求函数的单调区间”，考点三是“利用函数的单调性求参数的取值范围”，考点四是“利用函数的单调性求最值”。

二、知识点归纳

1.单调性的概念①如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数（或单调递增函数）②如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时，都有

f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数（或单调递减函数）对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。对于给定区间上的函数f(x):二、知识点归纳

2.单调性是针对某个区间而言的，是个局部概念.3.单调性的证明步骤：①取量定大小；

②作差定符号；

③判断定结论.4.单调区间的求法：①通常用图象直接写出；②利用单调性证明后得出；

③求导法，根据导数的正增负减.设x1、x2∈给定区间，且x1＜x2

f(x1)－f(x2)的结果化积或化完全平方式的和；判断f(x1)与f(x2)的大小

，下结论，

结论一定要指出在那个区间上。针对x而言的二、知识点归纳

函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．

例1

证明：函数在(0,+∞)上是增函数.证明：设0＜x1

＜x2

＜+∞则f(x1)－f(x2)∵0＜x1

＜x2

＜+∞∴x1

－x2

＜0即f(x1)－f(x2)＜0∴f(x1)＜f(x2)

故此函数在(0,+∞)

上是增函数.三、题型讲解例2

判断函数在区间(-1,1)上的单调性.解：设－1＜x1

＜x2

＜1则f(x1)-f(x2)∵－1＜x1

＜x2

＜1∴1+x1x2

＞0，x2

－x1

＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0

即f(x1)＞f(x2)故此函数在(－1,1)上是减函数.三、题型讲解三、题型讲解例3确定函数在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？解:(1)求函数的定义域是(－∞,＋∞)（2）求函数的导数（3）令以及求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。令2x-4>0,解得x>2，x∈(2,+∞)时，是增函数令2x-4<0,解得x<2，x∈(-∞,2)时，是减函数三、题型讲解例4

确定函数，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数.解：函数f(x)的定义域是(-∞,+∞)令6x2－12x>0,解得x>2或x<0∴当x∈(2,+∞)时，f(x)是增函数；当x∈(-∞,0)时，f(x)也是增函数令6x2－12x<0,解得,0<x<2∴当x∈(0,2)时，f(x)是减函数。1.求函数y=2x2

－4x+1的单调区间2.写出图中函数的单调区间.xyo1－54解：由题y=2(x－1)2

－1yxo11－1由图知：单调递增区间为[1,+∞)单调递减区间为(－∞,1]解：由图知：单调递增区间为[－5,1]，[4,+∞)单调递减区间为(－∞,－5]，[1,4]四、自我操练四、自我操练3.确定函数的单调区间.解：该函数的定义域为（-，），由于当x（-，1）时，有f(x)0，所以，函数f(x)在这个区间内为严格单调增加。当x（1，2）时，有f(x)<0，所以，函数f(x)在该区间内为严格单调减少。当x（2，+）时，有f(x)0，所以，函数f(x)在这个区间内为严格单调增加。五、小结函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．求导法，是求函数单调区间及最（极）值的重要方法，要熟记导数公式及求导法则.复合函数f(g(x))的单调性的判断:u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))