点线面的投影

第三章点、直线、平面的投影

第一节点的投影第二节直线的投影第四节平面的投影第三节两直线的相对位置第一节点的投影点在两投影面体系中的投影HB2B1Aba构成：立体→面→边→点讲解顺序：点→线→面→体点的单面投影：

不能唯一确定空间点

[一]两面投影体系OXHVⅠⅡⅣⅢH与V相交→OX投影轴水平投影面H

正立投影面

V垂直相交3一点的两面投影[二]点的两面投影VVHOAaaX正面投影水平投影aXaoxaxa点的投影特性：1.

aa的连线OX轴

2.

aaX=AaaaX=Aa4点的两面投影规律：（1）点的两投影连线垂直于投影轴，即

aa'⊥ox；（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点到相邻投影面的距离，即：

a'ax=Aaaax=Aa'用两面投影是否均能唯一确定空间形体？不能OXHVXO5VVHOAa,aX正面投影水平投影[一]三面投影体系WYZa侧面投影二点的三面投影水平投影面H

正立投影面

V侧立投影面W垂直相交H与V

相交→OX投影轴H与W相交→OY投影轴V与W相交→OZ投影轴67aaa[二]点的三面投影oxzyHyW45

垂直关系,a

aOXa,,a,OZ

相等关系axazaaxa,,azayay投影特性：1.aaz=aay=xaaz=aax=yaax=aay=z

三投影面体系中点的投影规律2.aaoxaaozHVXZYWOayaxazxyzaaaHa

aa

VWXOZYWYHaxayazay点在三投影面体系中的投影XYHYWZOa'a"a规定：空间点A用大写字母表示，在H面的投影a，在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。aVHWXYHYW

Za'a"O例题1已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。XZYWYHOa

a

a已知点A的正面投影和侧面投影,求其水平投影。注:这是二求三问题的基础。a8xzOyWyHaa例题2VOAaaXYZa9三点的投影与直角坐标的关系投影面→坐标面投影轴→坐标轴轴的交点O→坐标原点xzy

Aa=XaAa=YaAa=Za距离的关系：投影坐标立体图wXOZYwaXHYHYaaaaaZYa例题3已知点A的坐标(20，10，20)，求Ａ的三面投影。沿轴准确量取X，Y，Z单位为mmyWyHzxoa10已知A（35，10，25），作出其三面投影图。10mm351025aa注:一个投影点反映两个坐标。两个投影点确定一个空间点。例题3VXYZ12a"Cc例题4

已知A、C两点的投影图，作出其立体图，并判别各点的空间位置。aa'c'c"AX轴Y轴a'ac"c'yWyHzxa"A位于C位于特殊点的投影HVOXb

bc

cHVOXCcca

bBb

Aaa

aYVZOX13四两点的投影VWHA左右上下前后[一]两点的相对位置关系XOZY两点的相对位置两点中X值大的点——在左两点中Y值大的点——在前两点中Z值大的点——在上a

a

ab

b

bXZYWYHOaa

ab

bb

BA14[二]重影点的概念A与B对H面重影由V投影判断高低不可见投影点的标记加括号HVAB

a(b)baXO

a(b)XOaba'b'a(b)c'(d')dca''c''b''d''重影点的可见性判断左遮右3、若两点的侧面投影重合，可从正投影或水平投影判别，x坐标值大的点为可见（同学自己分析）。将不可见点的投影加上括号来表示，如（b）（d'）。前遮后2、若两点的正面投影重合，可从水平投影判别其可见性，y坐标值大的点为可见（点C在前）。上遮下1、若两点的水平投影重合，可从正面投影判别其可见性，z坐标值大的点为可见（点A在上）。例题5已知点的坐标值为：A（20，10，15）和

B（0，15，20）求它们的三面投影图。解：（1）量取坐标值；XOYHYWZaa'a"bb'b"（2）作点的投影。bb"c'c"xyHywoa'a"z例题6

已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置。点A的三个坐标值均不为0，A为一般位置。点B的Z坐标为0，故点B为H面上的点。点C的x、y坐标为0，故点C为z轴上的点。ab'c例题7已知点D的三面投影，点C在点D的正前方15mm，

求作点C的三面投影，并判别其投影的可见性。解：由已知条件知：XC=XDZC=ZD

YC-YD=15mm因为点C、D在V面上的投影重影。cc'c"又因为YC>YD所以C的V面投影为可见点，则D的V面投影为不可见点。d'YWYHOXZdd"()例题8已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985ZYXObcaBAC11已知A、B、C三点的投影图，作出其立体图，并判别各点的空间位置。空间H面V面cababcyWyHzxA位于B位于C位于acbacbbaac例题9直线的投影直线上的点各种位置直线的投影特性线段的实长及倾角第二节直线的投影2一直线的投影直线的投影特性显实积聚类似1.直线平行于投影面，其投影反映实长。2.直线垂直于投影面，其投影积聚成点。3.直线倾斜于投影面，其投影长度缩短。

3直线的投影图b,,a,,abb,a,xzOyWyH作图：1.作出直线上两点的投影2.用直线分别连接其各同面投影。直线上的点具有两个特性：1从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。2定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。例题2例题3例题4

二直线上的点ABbbaaXOccCc10b,aefbf,e,a,例1E点在AB直线上F点不在AB直线上判断E、F点是不是在直线AB上。试判断K点是否在直线EF上。feefkkXOYZVfefeefEFKkkk例2XO直接判断例3K点不在直线上1,k,2,1,1k22,k,k判断K点是否在直线上。OXbXaabcc例题4已知线段AB的投影图，试将AB分成2：1两段，求分点C的投影。例题5已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV已知K点在直线AB上，试求作K点的H面投影。ababXOk'k例64三、直线与投影面的相对位置1.特殊位置直线投影面的平行线：平行于一个投影面的直线投影面的垂直线：垂直于一个投影面的直线2.一般位置直线一般位置直线与各个投影面均倾斜：其投影均小于实长。‖H：水平线‖V

：正平线‖W：侧平线H:铅垂线V:正垂线W:侧垂线三投影面各种位置直线的投影特性

投影面平行线

正平线//Ｖ面水平线//Ｈ面侧平线//Ｗ面

平行于一个投影面倾斜于另外两个投影面。平行线分三种：

水平线（//Ｈ面、倾斜Ｖ和Ｗ面）XZYOaababb

Xa

b

ab

baOzYHYWAB投影特性：1、正面和侧面投影比实长短，abOX;abOYW2、ab=AB反映实长，倾斜于OX轴，反映、

角。XZYO正平线（//Ｖ面、倾斜Ｈ和Ｗ面）aababbXabab

baOZYHYWAB

投影特性：1、水平和侧面投影比实长短，abOX;abOZ2、ab=AB反映实长,倾斜于OX轴，反映、角XZYOＨ面侧平线（//Ｗ面、倾斜Ｖ和）XZa

b

bbaOYHYWaaa

b

a

bbAB投影特性：1、正面和水平投影比实长短，abOZ;abOYH2、ab

=AB反映实长,倾斜于OZ轴，反映、角投影面垂直线侧垂线⊥Ｗ面正垂线⊥Ｖ面铅垂线⊥Ｈ面垂直于一个投影面平行于另外两个投影面。垂直线分三种：OXZYb

a(b)a

abZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1、水平投影ab积聚成一点2、ab//OZ;ab//

OZ；

abOX;ab

OY

3、ab=ab=AB反映实长铅垂线（Ｈ面、//Ｖ面、//Ｗ面）AB正垂线（Ｖ面、//Ｈ面、//Ｗ面）OXZYbababa投影特性：1、正面投影ab积聚成一点。2、ab//OY;ab//OY；

ab

OX;ab

OZ

3、ab=ab=AB反映实长。ABzXab

baOYHYWab侧垂线（Ｗ面、//Ｖ面、//Ｈ面）OXZYAB投影特性：1、侧面投影ab积聚成一点2、ab//

OX

;ab//

OX；ab

OYH;ab

OZ

3、ab=ab=AB反映实长。baababZXabbaOYHYWab从属于V面的直线ZXabaOYHYWabbOXZYABbbabaa从属于V投影面的铅垂线OXZYABba(b)aabZYWbXaba(b)OYHa

从属于OX轴的直线ZXabaOYHYWa(b)bOOXZYABbba(b)aa一般位置直线倾斜于三个投影面的直线。直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面Ｈ、Ｖ、Ｗ的倾角，用、、表示。OXZY一般位置直线的投影特性ABbbabaa投影特性：1、ab、ab、ab均小于实长2、ab、ab、ab均倾斜于投影轴

3、不反映

、

、

实角与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。ZXabaOYYabb

直角三角形法求解实长、倾角。1求直线的实长及对水平投影面的夹角角2求直线的实长及对正面投影面的夹角角3求直线的实长及对侧面投影面的夹角角

一般位置线段的实长及其与投影面的夹角|zB-zA

|ABABbbaaboXO1求直线的实长及对水平投影面的夹角角XaabbABab|zB-zA|AB|zB-zA|ab|Z直角三角形法：距离差实长投影:H投影,Z，实长:V投影,Y，实长:W投影,X，实长基本作图：倾角XOababABb0ABbbaaCXO2求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB||YA-YB|AB|YA-YB|XZYO3求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|试用直角三角形法确定直线AB的实长及对投影面V的倾角。例题ababXOAB投影长度a'b'Y实长投影长度a'b'实长例题

已知线段AB＝30毫米及其投影ab和a，试求出ab。baab例题已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zB-zA|abab|yA-yB|ABABab|zB-zA|bXabABa第3节两直线的相对位置

一、两直线平行二、两直线相交三、两直线交叉四、两直线垂直两直线的相对位置Va'b'd'c'a'a'b'b'd'c'c'e'(f')AAABBBDCCCDEF平行两直线相交两直线交叉两直线XOV一两直线平行5规则：若空间两直线平行，则它们的各同名投影平行。abcdbacdABDCbadcbacdabcd同向、同比例6不平行判断空间两直线是否平行。badcbacdXO平行cdcdghhgXOYZVfefeefCDdccddc7EF基本作图8过已知点A作直线AB平行于已知直线CD。bacdcdabbXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk二相交两直线

交点K的三面投影符合点的投影规律。10dcaba'b'c'd'c''d''b''a''k'kk''投影图利用投影判两断直线是否相交？e'f'efg'h'ghe'f'基本作图过已知点作直线与已知直线相交。11答案有多少个？关键问题是什么？交点。无数个。c'd'cd1220mmb'k'a'答案有多少个？无数个。abk举例

如图所示，作一条与V面相距20mm并与已知直线CD相交的直线AB。xdd'kk'aa'bb'cc'••例：过C点作水平线CD与AB相交。先作CD的正面投影三交叉两直线空间既不平行又不相交的二直线为交叉直线。bXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21交叉两直线的同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。aa'bb'cc'dd'cdcdghhgXOYZVfefeefCDdccddc7EF判断交叉两直线重影点的可见性XOBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。

前遮后、上遮下、左遮右上遮下前遮后aa'bb'cc'dd'

交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。

11'22'33'44'()()基本作图过已知点作直线与已知直线交叉。cdc'd'a'abb'15能否过A点随意作线呢？答案有多少个？无数个。例题判断两直线的相对位置dacboYWYHzXaacddcbb例题判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1例：判断两直线的相对位置。交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两线。∵ab与cd在一直线上，而a'b'∥c'd'，∴两直线平行。∵CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'Emk例：已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MN∥CD并与直线AB相交于N点。nn'm'作图：过m作mn∥cd，并与ab交于n；由n求出n'；过n'作n'm'∥c'd'，求得m'。aa'bb'cc'dd'mOX例题判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)

直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四：两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。一、垂直相交的两直线的投影AHBCacbcXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac二、交叉垂直的两直线的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac17两垂直直线的判断

关键是：两垂直直线中必须有一条直线是投影面的平行直线。acbc'b'a'd'e'def'g'fg18基本作图

过已知点，作直线垂直于已知直线。a'b'abk'kl'l答案有多少个？ox例题过点A作EF线段的垂线AB。bbaaOfeefXffcXcddee垂直相交f例题过点E作线段AB、CD的公垂线EF。fOcbaabXcddee19ZZ距离注意：距离直线只有平行于投举例求作点到直线的距离。两平行直线的距离8投影面垂直线badca(b)c(d)ef距离efabcda(b)c(d)ef9eg'f'e'hgfh'ijk'l'lkj'i'距离投影面平行线两平行直线的距离实距例6：已知：直线EF平行CD并与直线AB相交，F点在H面上。.求所缺的投影(书P74)aa'bb'cc'dd'OXeeffKKABab|yA-yB|bc=BCb例题作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcnmaaXmnc

掌握点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。

点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。点分割直线成定比——定比定理。

小结：第四节平面的投影平面的表示法各种位置平面的投影特性属于平面的点和直线平面的投影一、平面的表示法用几何元素表示平面不在同一直线上的三点。aa'bb'cc'a'ab'bc'c一直线和线外一点。c'ca'ab'b相交两直线。b'ba'ac'cdd'平行两直线。b'ba'ac'c任意平面形。平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQHQVQQW4二平面的投影特性显实积聚类似1.平面平行于投影面，其投影反映实形。2.平面垂直于投影面，其投影积聚成直线。3.平面倾斜于投影面，其投影为其类似形。

5[四]平面与投影面的相对位置1.特殊位置平面投影面的平行面：平行于一个投影面的平面投影面的垂平面：垂直于一个投影面的平面2.一般位置平面一般位置平面与各个投影面均倾斜：其投影均小于实形，为平面的类似形。‖H：水平面‖V

：正平面‖W：侧平面H:铅垂面V:正垂面W:侧垂面投影面垂直面垂直于一个投影面，与另两个投影面倾斜的平面。投影面垂直面可分为三种：垂直于Ｖ面的平面叫正垂面垂直于Ｈ面的平面叫铅垂面垂直于Ｗ面的平面叫侧垂面VXHYOZWPppp立体图投影图倾角和投影特性（1）水平投影积聚成直线，并反映倾角β和γ（2）正面投影和侧面投影不反映实形,缩小的类似形.βγZXOpppwYγβ铅垂面（⊥Ｈ面，倾斜Ｖ、Ｗ面）VWHPPH铅垂面.

ABCacbababbacccVWH铅垂面迹线表示法PHPPH投影特性立体图投影图（1）正面投影积聚成直线，并反映倾角α和γ。（2）水平和侧面投影不反映实形，是缩小了的类似形。XVZWYHOPppppXOZHYwYpp正垂面（⊥Ｖ面，倾斜Ｈ、Ｗ面）VWHQQV正垂面.

αababbacccAcCabBVWH正垂面的迹线表示法QQVαγQVVWHSWS侧垂面（⊥Ｗ面，倾斜Ｈ、Ｖ面）.CabABcabbbaaαβccc投影特性（1）侧面透影积聚成直线，并反映倾角α和β。（2）水平和正面投影不反映实形，是缩小了的类似形。侧垂面的迹线表示法VWHSHSZXOYSwYαβ投影面垂直面的投影特性：平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线；其余两投影面的投影为原形的类似形，但比实形小；

平面具有积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的倾角。投影面的平行面平行于一个投影面，与另两个投影面垂直的平面。投影面平行面可分为三种：平行于Ｖ面的平面叫正平面

平行于Ｈ面的平面叫水平面平行于Ｗ面的平面叫侧平面XVZWOPHpYppZXpHYOppwY立体图投影图（1）水平投影反映实形（2）正面投影积聚为直线，且//ＯＸ轴；侧面投影积聚为直线，且//OYw轴。投影特性水平面（//Ｈ面⊥VW面）VWH水平面CABabcbacabccabbbaaccVWH水平面的迹线表示法Pv正平面（//Ｖ面⊥HW面）VWH.cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性（1）正面投影反映真形。（2）水平投影//OX，侧面投影//OZ，分别积聚成直线。VWHphp正平面的迹线表示法侧平面（//Ｗ面⊥VH面）VWHabbbacccabcbacabcCABa（1）侧平面投影反映真形。（2）正面投影//OZ，水平投影//OYH，分别积聚成直线。VWHRRHRV侧平面的迹线表示法投影面平形面的投影特性：

平面在所平行的投影面上的投影反映

实形；

其余两投影积聚为直线，并分别平行于相应的投影轴。一般位置平面的投影特性：平面在三个投影面上的投影均不反映实形，但为类似形。面积均比实形小。HXVabcYbacABCOWacbZ直观图aaXcHYbbcOabZYwc投影图一般位置平面aaXcbbcOwbacbcaabbaccabbbaaαβccc一框两线平行面，直线竖或横。两框一线垂直面，斜线积聚成。三框无线一般面，位置最分明。特点记忆三、平面上的点和直线几何条件1：若直线过平面上的两点，则此直线必在

该平面内。几何条件2：若一直线过平面内的一点，且平行于该平面上另一直线，则此直线在该平面内。几何条件3：若点在平面内，它必在平面内的一条直线上。平面上的点和直线若点在平面的一直线上，则此点必在该平面上。若直线通过