2023年高考数学试题(广东)及答案

2004年全国普通高等学校招生全国统一考试数学〔广东卷〕考前须知：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号〞处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型〔A〕填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题〔共12小题，每题5分，计60分〕1．平面向量=〔3，1〕，=〔x，–3〕，且，那么x=〔〕A．－3B．－1C．1D．32．那么 〔〕 A．B．C． D．3．设函数在x=2处连续,那么a= 〔〕 A． B． C． D．4．的值为 〔〕 A．－1 B．0 C． D．15．函数f(x)是 〔〕 A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为2的偶函数D．.周期为2的奇函数6．一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,那么在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 〔〕 A．0.1536 B．0.1808 C．0.5632 D．0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,那么截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 〔〕 A． B． C． D．8．假设双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是2，那么k= 〔〕 A．6 B．8 C．1 D．49．当时,函数的最小值是 〔〕 A．4 B． C．2 D．10．变量x、y满足以下条件：那么使z=3x+2y的值最小的〔x，y〕是 〔〕 A．(4.5,3) B．(3,6) C．(9,2) D．(6,4)11．假设那么 〔〕A．B．C．D．12．如右以下图,定圆半径为(b,c),那么直线ax+by+c=0与直线x–y+1=0的交点在()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限D．第一象限二、填空题(共4小题，每题4分，计16分)13．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生中选的概率是(用分数作答)14．复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,那么z=.15．由图(1)有面积关系:那么由(2)有体积关系:16．函数的反函数三、解答题(共6小题,74分)17．(12分)成公比为2的等比数列(也成等比数列.求的值.18．如右以下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.19．(12分)设函数(1)证明:当0<a<b,且时,ab>1;(2)点P(x0,y0)(0<x0<1)在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达).20．(12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)21．(12分)设函数 其中常数m为整数.(1)当m为何值时,(2)定理:假设函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,那么至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0,在[e-ｍ-m,e2ｍ-m]内有两个实根.22．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB．求直线的方程.2004年普通高等学校招生全国统一考试广东数学标准答案选择题：题号123456789101112A卷BCBAADBCDBACB卷CACABDDAABDB填空题：〔13〕〔14〕－2i(15)(16)解答题17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，18．解：〔I〕以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，那么有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设向量与平面C1DE垂直，那么有〔II〕设EC1与FD1所成角为β，那么19．证明：〔I〕故f(x)在〔0，1上是减函数，而在〔1，+∞〕上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和故〔II〕0<x<1时，曲线y=f(x)在点P〔x0，y0〕处的切线方程为：∴切线与x轴、y轴正向的交点为故所求三角形面积听表达式为：20．解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，那么A〔－1020，0〕，B〔1020，0〕，C〔0，1020〕设P〔x,y〕为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680,c=1020，用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.21．〔I〕解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且当x∈(-m,1-m)时,f’〔x〕<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)当x∈(1-m,+∞)时,f’〔x〕>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x∈(-m,+∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m故当整数m≤1时，f(x)≥1-m≥0(II)证明：由〔I〕知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续减函数.由所给定理知，存在唯一的而当整数m>1时，类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续增函数且f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m>1时，方程f(x)=0在