第八章 相关分析

相关分析是研究变量之间相互关系的密切程度和相互联系方式的重要方法。本章详细讲述相关分析的概念、相关关系的确定、回归方程的建立和应用等内容。第八章相关分析本章主要内容相关的意义和种类相关系数回归分析一、相关分析：对两变量间线性关系的描述与度量。解决的问题主要包括：变量间是否存在关系？如存在，则是什么关系？关系强度如何？样本反映的变量间的关系能否代表总体变量间的关系？实际暗含对总体变量的假设：两个变量均为随即变量，而且二者间存在线性关系。第一节相关的意义和种类二、相关关系的概念函数关系：函数关系是一种严格的依存关系，这种关系可以用y=f（x）的方程来表现。相关关系：相关关系是一种不完全确定的随机关系。函数关系与相关关系的联系：对具有相关关系的现象进行分析时，必须利用相应的函数关系的数学表达式来表明现象之间的相关方程式。相关关系是相关分析的研究对象，而函数关系则是相关分析的工具。相关关系与函数关系的不同之处表现在：函数关系指变量之间的关系是确定的，而相关关系的两变量的关系则是不确定的。可以在一定范围内变动；函数关系变量之间的依存可以用一定的方程y=f(x)表现出来，可以给定自变量来推算因变量，而相关关系则不能用一定的方程表示。函数关系是相关关系的特例，即函数关系是完全的相关关系。三、相关的空间形式图（散点图P201）相关系数：测定两个变量间线性关系强度的统计指标。1、相关系数的计算方法（线性相关系数）通过两变量与各自平均值的离差的乘积来反映两变量之间的相关程度。计算相关系数的简化式：四、相关系数（1）相关系数有正负号，分别表示正相关和负相关。（2）相关系数的取值范围在绝对值的之间。其值大小反映两变量之间相关的密切程度。（3）相关系数表明两变量完全相关；表明两变量完全不相关；2、相关系数的性质例：为了解营业员每人月平均销售额（万元）和利润率（%）之间的关系，特从100家商店中随机抽取10家，得到如下资料，试计算样本相关系数。线性相关的判断准则[解]列表计算如下：相关系数的计算分析则：答：人均销售额与利润率之间存在着高度的正相关关系。说明：相关系数是测定变量之间相关密切程度和相关方向的代表性指标。相关系数用符号“r”表示，其特点表现在：参与相关分析的两个变量是对等的，不分自变量和因变量，因此相关系数只有一个。相关系数有正负号反映相关关系的方向，正号反映正相关，负号反映负相关。计算相关系数的两个变量都是随机变量。利用Excel中地函数可以直接计算两组数据地相关系数：函数为CORREL(Array1，Array2)五、相关关系的显著性检验（P205）提出假设计算统计量确定显著性水平，确定临界值做出决策一、回归分析的意义对具有相关关系的两个或两个以上变量之间的数量变化的一般关系进行测定，确立一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来推测另一个未知量，为估算预测提供一个重要的方法。二、回归的种类按自变量的个数分一元回归多元回归按回归线的形态分线性回归非线性回归第二节回归分析三、回归分析和相关分析的联系和区别1、联系理论和方法具有一致性；无相关就无回归，相关程度越高，回归越好；相关系数和回归系数方向一致，可以互相推算。2、区别相关分析回归分析x与y对等x与y要确定自变量和因变量x，y均为随机变量只有y为随机变量测定相关程度和方向用回归模型进行预测和控制利用一元线性回归方程进行回归分析的前提：所分析的两个变量之间必须存在相关关系，且相关程度在显著相关以上。估计回归线：在两变量相关的散点图中，引出一条最优的直线，这条直线就是估计回归线。它表明了两变量数量变动的一般关系。四、一元线性回归总体一元线性回归模型的一般形式：Y的数学期望E（Y）随机误差称为总体的一元线性回归方程，是对应于自变量X某一取值时因变量Y的均值。未知参数样本的一元线性回归模型和回归方程一元线性回归模型一元线性回归方程截距斜率（回归系数）的理论假定相互独立服从正态分布数学期望为0方差相同回归系数的经济涵义：自变量变动一个单位时，因变量的平均变动值。拟合直线回归方程的方法:拟合直线回归方程的过程就是求解方程系数的过程，求解方法一般采用最小平方法（最小二乘法）。用最小平方法拟合回归直线的基本思想是：在所有的相关点中，通过数学方法拟合一条较为理想的直线，这条直线必须满足：原数列与趋势线的离差平方和为最小值。即:据微积分极值定理求最小值，通过求b0、b1的一阶偏导并分别令其为0，可求出b0、b1的联立方程：解联立方程得到：4544.6

74.4172.0248.0418.0575.0805.2972.01280.0104214

3844739664001210013225174241822525600207.54

1.444.009.6114.4425.0037.2151.8464.00

880

36.4∑

628680110115132135160

1.22.03.13.85.06.17.28.012345678生产费用

月产量序号据前面例题资料拟合生产费用依产量变化的回归方程：则回归方程为:回归系数b的涵义:月产量每增加1000吨,生产费用平均增加12.9万元。计算得到：

670

8290100114140144耐用消费品销售额（万元）

2820

340380450470560620人均年收入（元）合计199019911992199319941995时间要求：分析两变量相关密切程度，若为显著相关以上，则对两变量进行回归分析。例：某地区人均年收入与耐用消费品销售额资料：答案：相关系数r=0.98b1=0.24b0=-1.13

回归系数涵义:人均年收入每增加一元,耐用消费品销售额平均增加0.24万元。用Excel进行回归分析选择（工具）下拉菜单选择（数据分析）选项在分析工具中选择（回归），单击（确定）在弹出的对话框中输入变量数据区域、置信度、输出区域等。上例输出结果为：因为：所以：即：1、回归系数与相关系数的关系月份产量（千件）单位成本（元）１２７３２３７２３４７１４３７３５４６９６５６８例：某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：（１）计算相关系数，说明两个变量相关的密切程度。（２）配合回归方程，指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？（３）假定产量为6000件时，单位成本为多少元？解：计算相关系数时，两个变量都是随机变量，不须区分自变量和因变量。考虑到要配合回归方程，所以这里设产量为自变量（ｘ），单位成本为因变量（ｙ）列表计算如下：月份产量（千件）单位成本ｎｘ（元）ｙｘｙ

１２７３４５３２９１４６２３７２９５１８４２１６３４７１１６５０４１２８４４３７３９５３２９２１９５４６９１６４７６１２７６６５６８２５４６２４３４０合计２１４２６７９３０２６８１４８１（１）计算相关系数

，说明产量和单位成本之间存在高度负相关（２）拟合回归方程回归方程为：=-1.82=77.37

（３）当产量为6000件时，即ｘ＝6，代入回归方程：ｙ＝77.37－1.82×6＝66.45（元）（1）估计标准误的涵义：衡量因变量的估计值与观测值之间的平均误差大小的指标。利用此指标可以说明回归方程的代表性。（2）估计标准误的计算公式：简化公式：2、估计标准误例：根据某部门8个企业产品销售额和销售利润的资料得出以下计算结果：要求:（1）计算产品销售额与利润额的相关关系;（2）建立以利润额为因变量的直线回归方程并说明回归系数的经济意义；（3）计算估计标准误差。解：（１）计算相关系数=0.9934

（２）配合回归方程=0.0742=-7.2773回归方程为：ｙ＝-7.2773+0.0742ｘ

（3）估计标准误：

=2.8493

判定系数（R2）：是对回归模型拟合优度的评价。xY总平方和=回归平方和+残差平方和

R2表示总平方和有百分之几的偏差可由X与Y的回归关系来解释。r的符号同b总平方和分解：在一元回归中，3、一元线性回归模型拟合优度的评价（1）回归系数b1的检验(t检验):设总体回归系数为β

H0：β=0；H1：β≠0n≥30时

检验统计量:

（β=0）

给定显著性水平α，查正态表可知其临界值。n＜30时

给定显著性水平α，查t表可知其临界值。4、一元线性回归模型的显著性检验（2）回归模型整体的F检验

检验统计量F检验假设n≥30时：给定X0，Yf置信度（1-α）的置信区间为：xYX00给定的X0越接，Y值估计的精确度越高。n＜30时：5、预测二元线性回归模型：总体多元线性回归模型的一般形式Y的数学期望E（Y）随机误差表明自变量共同变动引起的Y的平均变动。常数项，和Y构成的平面与Y轴的截距.偏回归系数，表示在固定时每变化一个单位引起的Y的平均变动；*五、多元线性回归模型偏回归系数，表示在固定时每变化一个单位引起的Y的平均变动；随机误差，其理论假定与一元线性回归模型中的一样。在多元回归模型中，还要求各自变量之间不存在显著相关.样本多元线性回归模型的一般形式二元线性回归模型为：其数学期望