第四章模拟信号数字传输

第四章：模拟信号的数字传输重点：1.什么是抽样，量化和编码2.脉冲编码调制3.十三折线定律4.增量调制5.时分多路复用数字通信系统可以传输两类数字信号，一类是数据信号，如两台计算机之间的数据传输，另一类是模拟信号数字化信号，也就是说模拟信号数字化后，也可以用数字通信的方式传输。模拟信号数字化传输通信系统模型A/D和D/AA/DD/A

mk(t)≈m(t)抽样量化编码m(t){sk}译码低通滤波mk(t){sk}波形编码：特点是利用抽样定理，恢复原始信号的波形。如PCM、等ADPCM参数编码：提取语音的一些特征信息进行编码，在收端利用这些特征参数合成语声

混合型编码：波形编码和参数型编码方式的混合

信源编码方法实用的波形编码方法有PCM和ΔM两种方法

4.1脉冲编码调制抽样数字通信系统量化编码译码低通x(t)x(kTs)xq(kTs){Sk}{Sk}xq(kTs)x(t)模拟信号数字化传输方框图抽样：将模拟信号转换为时间离散的样本脉冲序列。量化：将离散时间连续幅度的抽样信号转换成为离散时间离散幅度的数字信号。编码：用一定位数的脉冲码组表示量化采样值。

抽样定理告诉我们：如果对某一带宽有限的时间连续信号（模拟信号）进行抽样，且抽样速率达到一定数值时，那么根据这些抽样值就能准确地确定原始信号。

这就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，可能只传输按抽样定理得到的抽样值。因此，该定理就为模拟信号的数字传输奠定了理论基础。4.1.1抽样抽样信号的波形抽样过程的实现原理ms(t)=m(t)s(t)×m(t)ms(t)s(t)抽样理想抽样：冲激脉冲抽样脉冲抽样自然抽样平顶抽样抽样定理冲激抽样若抽样脉冲是冲激序列，即s(t)=δT(t)=∑δ(t-nTs)则此时的抽样过程称为“冲激抽样”或“理想抽样”。冲激抽样的时域表达式为ms(t)=m(t)s(t)=m(t)δT(t)冲激抽样的频域表达式为F(ω)=1/Ts·ΣM(ω-nωs)n=-∞∞冲激抽样信号的频谱抽样定理

低通抽样定理是指：一个频带限制在（0，fH）赫兹内的时间连续信号m(t)，如果以Ts≤1/(2fH)秒的间隔对它进行等间隔抽样，则m(t)将被所得到的抽样值完全确定。最低允许的采样频率fs=2fH称为奈奎斯特(Nyquist)频率。最大允许的采样间隔Ts=1/(2fH)称为奈奎斯特间隔。抽样定理的全过程抽样定理的三个要求

信号是严格带限的；否则不管Ts怎样小，只要是有限值，频谱混叠现象就不可避免，混叠误差必然存在。采样用理想冲激序列；实际采样用的是具有一定宽度的采样脉冲。需要理想低通滤波器来恢复原始连续信号；而理想滤波器是物理上不可实现的，实际的滤波器总有一个过渡带，使恢复出的信号中仍保留少量高于ωH的频率分量，会产生一定的混叠。理想抽样与信号恢复已知抽样后信号所以该式是重建信号的时域表达式，称为内插公式。它说明以奈奎斯特速率抽样的带限信号m(t)可以由其样值利用内插公式重建。这等效为将抽样后信号通过一个冲激响应为Sa(ωHt)的理想低通滤波器来重建m(t)。

由图可见，以每个样值为峰值画一个Sa函数的波形，则合成的波形就是m(t)。由于Sa函数和抽样后信号的恢复有密切的联系，所以Sa函数又称为抽样函数。信号的重建带通抽样定理

实际中遇到的许多信号是带通型信号。如果采用低通抽样定理的抽样速率fs≥2fH，对频率限制在fL与fH之间的带通型信号抽样，肯定能满足频谱不混叠的要求，如下图所示，但这样选择fs太高了，它会使0~fL一大段频谱空隙得不到利用，降低了信道的利用率。为了提高信道利用率，同时又使抽样后的信号频谱不混叠，那么fs到底怎样选择呢？带通信号的抽样定理将回答这个问题。带通信号的抽样频谱（fs=2fH）

带通均匀抽样定理：一个带通信号m(t)，其频率限制在fL与fH之间，带宽为B=fH-fL，如果最小抽样速率fs=2fH/m，m是一个不超过fH/B的最大整数，那么m(t)可完全由其抽样值确定。

下面分两种情况加以说明。

（1）若最高频率fH为带宽的整数倍，即fH=nB。此时fH/B=n是整数，m=n，所以抽样速率fs=2fH/m=2B。下

画出了fH=5B时的频谱图，图中，抽样后信号的频谱Ms(ω)既没有混叠也没有留空隙，而且包含有m(t)的频谱M(ω)图中虚线所框的部分。显然，若fs再减小，即fs＜2B时必然会出现混叠失真。fH=nB时带通信号的抽样频谱由此可知：当fH=nB时，能重建原信号m(t)的最小抽样频率为

fs=2B

（2）若最高频率fH不为带宽的整数倍，即

fH=nB+kB,0＜k＜1

此时,fH/B=n+k，由定理知，m是一个不超过n+k的最大整数，显然，m=n，所以能恢复出原信号m(t)的最小抽样速率为

带通抽样定理

B=fH-fLfH/B=n+k0＜k＜1

2B＜fs＜4B

可见，低通抽样较为简单，对模拟信号处理尽可能按低通抽样定理处理fs与fL关系脉冲调制以脉冲序列作为载波的调制方式称为脉冲调制。脉冲调制波形示意图自然抽样自然抽样用乘法器实现，其实质就是连续信号与矩形抽样脉冲相乘。自然抽样的时域表达式为

ms(t)=m(t)s(t)=m(t)∑g(t-nT)

其中，g(t)的脉冲幅度为A，脉宽为τ，周期为T=1/(2fH)。

自然抽样的频域表达式为

Ms(ω)=(Aτ/T)∑Sa(nτωH/2)M(ω-2nωH)n=-∞∞自然抽样信号的波形及频谱瞬时抽样（平顶抽样）瞬时抽样信号的产生MH（ω）=Ms(ω)H(ω)=1/T·H(ω)ΣM(ω-2nωH)=1/TΣH(ω)M(ω-2nωH)n=-∞n=-∞∞∞δT(t)×m(t)ms(t)脉冲形成电路H(ω)mH(t)从瞬时抽样信号的恢复原始信号Ms（ω）=MH(ω)/H(ω)=1/TΣM(ω-2nωH)n=-∞∞M(ω)Ms(ω)脉冲形成电路1/H(ω)MH(ω)4.1.2量化

利用预先规定的有限个电平来表示模拟抽样值的过程称为量化。

抽样是把一个时间连续信号变换成时间离散的信号，而量化则是将取值连续的抽样值变成取值离散的抽样值。量化均匀量化非均匀量化量化过程示意图量化器的输入是经过抽样后的随机模拟信号，量化器的作用是按照预先规定将抽样值m(kTs)变换成M个电平q1，q2，…，qM之一

mq(kTs)=qi

若mi-1≤mq(kTs)<mi

量化器的输出是一个数字序列{mq(kTs)}。量化噪声由于量阶的有限性，在量化过程中就不可避免地会造成实际信号值与量化信号值之间的误差。这种由于量阶的有限性造成的误差被称为量化误差，记为e(t)。

由量化误差产生的噪声叫量化噪声。信号平均功率与量化噪声平均功率之比为量化信噪比。均匀量化把输入信号的取值域按等距离分割的量化称为均匀量化。均匀量化亦称线性量化。在均匀量化中，每个量化区间的量化电平均取在各区间的中点。其量化间隔（量化台阶）Δv取决于输入信号的变化范围和量化电平数。设输入信号的幅度范围是a-b，量化级数为M，则量化间隔为Δv=(b-a)/M

均匀量化中，量阶保持不变。均匀量化特性及量化误差曲线均匀量化的噪声特性当量化电平分别取各层的中间值时，量化过程所形成的量化误差不超过±Δv／2。

均匀量化在大信号时的相对量化误差小，而在小信号时的相对量化误差很大。量化误差与实际输入的样值有关，样值越小，信噪比越小。均匀量化器广泛应用于线性A/D变换接口，例如在计算机的A/D变换中，N为A/D变换器的位数，常用的有8位、12位、16位等不同精度。另外，在遥测遥控系统、仪表、图像信号的数字化接口等中，也都使用均匀量化器。但在语音信号数字化通信（或叫数字电话通信）中，均匀量化则有一个明显的不足：量化噪比随信号电平的减小而下降。产生这一现象的原因是均匀量化的量化间隔Δ为固定值量化电平分布均匀，因而无论信号大小如何，量化噪声功率固定不变，这样，小信号时的量化信噪比就难以达到给定的要求。通常，把满足信噪比要求的输入信号的取值范围定义为动态范围。因此，均匀量化时输入信号的动态范围将受到较大的限制。为了克服均匀量化的缺点，实际中往往采用非均匀量化。

语音信号的幅度概率分布近似拉谱拉斯分布非均匀量化

非均匀量化是根据信号的不同区间来确定量化间隔的。对于信号取值小的区间，其量化间隔Δ也小；反之，量化间隔就大。和均匀量化相比，非均匀量化将使小信号时的相对量化误差减少，而大信号时的相对误差本来就很小，因此，非均匀量化提高了整个信号取值范围内的平均信噪比。在实践中，利用压扩技术（分模拟压扩法和数字压扩法）来实现非均匀量化。模拟压扩法

模拟压扩法就是先将采样信号进行压缩，而后再进行均匀量化。其效果就相当于对信号进行非均匀量化。

压缩电路是一个非线性放大器，它对大信号的放大倍数小，而对小信号的放大倍数大，从而使大信号受到压缩。扩张电路的作用正好与压缩相反。压扩特性曲线图A律压缩特性压缩电路的压缩特性主要有两种：A律压缩特性和μ律压缩特性。二者都属于对数式压缩。归一化的A律压缩特性表示为

y=

在实际使用的系统中，A值是以过原点斜率为16时求出的。可求得A=87.6。A|x|/(1+lnA)·sgn(x),0≤|x|≤1/A[1+ln(A|x|)]/(1+lnA)·sgn(x),1/A≤|x|≤1A律压缩特性曲线μ律压缩特性归一化的μ压缩特性表示为

ln(1+μ|x|)/ln(1+μ)·sgn(x),0≤|x|≤1数字压扩法

数字压扩法就是用数字电路形成许多相连接的折线来近似模拟对数压扩法特性，从而直接对样本信号进行非均匀量化编码。

两种典型的数字压缩特性：

µ律15折线压缩特性（美国、加拿大、日本）

A律13折线压缩特性（欧洲、中国）A律13折线

13折线的取得先对x轴上的输入信号归一化取值范围，按1／2递减规律分为8段，分段点依次为1／2、1／4、1／8、1／16、1／32、1／64、1／128，再把y轴上压缩输出的归一化取值范围均匀地分成8段，即每段长为1／8，然后把x轴和y轴的相应分段线的交点连接起来，共得到8段斜线。负向8段斜线按同样方法得到。13折线及与A律压缩特性的比较

yA/87.6

y13折线

x斜率段落0001611/81/81/1281622108762/81/64833218763/81/32444328764/81/16255438765/81/8166548766/81/41/277658767/81/21/4811113折线的量化方案对x轴上的8段，每段再均匀分为16个，共128个量化间隔，各段的量化间隔互不相同，分别用Δ1、Δ2、…、Δ8表示。对y轴上的8段，各段再分成16层，共被均匀分为128层，分别与x轴上的128个量化间隔相对应。这样就相当于对输入信号进行不均匀量化，即小信号时量阶小，大信号时量阶大。最小量阶Δ1=1/(128×16)=1/2048，最大量阶Δ8=1/(2×16)=1/32=64Δ1。量化信噪比的改善PCM编码

模拟信号经采样、量化等处理后，就可以进行编码，使量化信号变为编码信号，也就是PCM基带信号。在实际数字系统中，一个数字信号是用二进制数来表示的。在PCM中广泛使用的二进制码有：自然二进制码，格雷码，折叠码。三种编码方案的规律样值脉冲极性格雷二进制自然二进码折叠二进码量化级序号正极性部分10001001101110101110111111011100111111101101110010111010100110001111111011011100101110101001100015141312111098负极性部分01000101011101100010001100010000011101100101010000110010000100000000000100100011010001010110011176543210自然码（NBC）自然二进制码(NaturalBinaryCode)就是二进制数的表示形式。优点：与普通的二进制数相对应，编码操作简便，译码也可逐位进行，可简化译码器结构。缺点：编码中，如果最高位判决有误，将使译码后输出所产生的幅度误差达到最大幅度的1/2。折叠码(FBC)折叠码（FoldedBinaryCode）左边第一位表示正负号，第二位至最后一位表示幅度绝对值。第一位用“1”表示正值，用“0”表示负值。

优点：对于双极性信号可以采用单极性编码方法，因此可简化编码电路；同自然二进制码相比，如果在传输过程中出现误码，则它对小信号影响较小。缺点：大信号时误码对折叠码影响较大。格雷码（RBC）格雷码(GrayorReflectedBinaryCode)：任何相邻电平的码组，只有一位码发生变化。优点：在编码过程中，如果判决有误，使量阶数产生的误差较小。缺点：译码电路比较复杂。译码时，不能逐位独立进行，需要转换为自然二进制码后再译码。A律PCM编码规则在A律13折线编码中，总的量化间隔数L=256，编码位数n=8。8位的排列如下：

M1

M2M3M4

M5M6M7M8

第1位码M1为极性码，“1”代表正极性，“0”代表负极性。第2至4位码M2M3M4为段落码，表示信号绝对值处在哪个段落，3位码共表示8个段落，代表了8个段落的起始电平值。

第5至8位码M5M6M7M8为段内码，表示任一段落内的16个量化电平值。A律正输入值编码表（以Δ=Δ1为单位）64512256128641024111832256128643251211071612864321625610168643216812810054321684640114216842320103184211600121842100001段内量化间隔段内电平码对应的电平M5M6M7M8段落码对应的起始电平段落码M2M3M4段落号逐次比较型编码器原理图译码器原理框图PCM信号的码元速率和带宽

由于PCM要用N位二进制代码表示一个抽样值，即一个抽样周期Ts内要编N位码，因此每个码元宽度为Ts/N，码位越多，码元宽度越小，占用带宽越大。显然，传输PCM信号所需要的带宽要比模拟基带信号m(t)的带宽大得多。（1）码元速率。设m(t)为低通信号，最高频率为fH，按照抽样定理的抽样速率fs≥2fH，如果量化电平数为M，则采用二进制代码的码元速率为

fb=fs·log2M=fs·N式中，N为二进制编码位数。（2）传输PCM信号所需的最小带宽。抽样速率的最小值fs=2fH，这时码元传输速率为fb=2fH·N，所需传输带宽为

B=fb=N·fs以常用的N=8，fs=8kHz为例，实际应用的B=N·fs=64kHz，显然比直接传输语音信号m(t)的带宽（4kHz）要大得多。例4.5-2输入信号抽样值x=1260Δ（Δ=1/2048)，按照A律13折线编码，求编码码组C，解码输出ˆx和量化误差q。解：编码码组为：11110011解码输出^x=1248Δ

量化误差q=-12Δ（1）

因输入信号样值为正，极性码M1=1，将x与段落码的起始电平比较，x>1024Δ，故段落码

M2M3M4=111。x-1024Δ=236Δ，再与段内间隔码比较：236Δ<512Δ,M5=0236Δ<256Δ,M6=0236Δ>128Δ,M7=1108Δ>64Δ,M8=1

所以PCM编码为C=11110011（2）解码输出ˆx=1024Δ+128Δ+64Δ+64Δ/2=1248Δ

为了使编码造成的量化误差小于量化间隔Δk的一半，在解码时要加上该层量化间隔的一半，即解码输出为ˆx=ˆxk+Δk/2(3)

量化误差

q=1248Δ-1260Δ=-12Δ

量化误差小于量化间隔的一半。最大可能的量化误差为量化间隔的一半32Δ。4.2增量调制(DM)增量调制(DeltaModulation)是指将信号瞬时值与前一个采样时刻的量化值之差进行量化，而且只对这个差值的符号进行编码，不对差值的大小编码。因此，量化后的编码为1bit，如果差值是正的，就发“1”码，若差值是负的就发“0”码。在接收端，每收到一个“1”码，译码器相对于前一时刻的值就上升一个量阶；每收到一个“0”码，译码器相对于前一时刻的值就下降一个量阶。

DM原理图时延Ts低通滤波+^m(t)^m'ke'ok抽样二电平量化时延Ts++eokm(t)mkeqk^mkm'k-DM波形示意增量编码波形示意图编码器工作过程将模拟信号m(t)与发端译码器输出的阶梯波形m´(t)进行比较，即进行相减，然后在抽样脉冲作用下将相减结果进行极性判决。如果在给定抽样时刻ti有

m(t)︱t=ti--m´(t)︱t=ti->0

则判决器输出“1”码；如有

m(t)︱t=ti--m´(t)︱t=ti-<0

则发“0”码。这里ti-是ti时刻的前一瞬间。DM原理框图之二简单ΔM系统框图积分器译码示意DM的量化噪声在DM中量化误差产生的噪声可分为一般量化噪声（颗粒噪声）和斜率过载（量化）噪声。前者是由电平的量化产生的，而后者是由于当输入信号的斜率较大，调制器跟踪不及而产生的。DM量化噪声(a)一般量化噪声(b)过载量化噪声DM的采样频率为了避免斜率过载，必须使得

|df(t)/dt|max≤σ/Δt=σfs

当输入信号为正弦信号，即

f(t)=Asinωt

此时，不发生斜率过载的条件为

fs≥(A/σ)ω

由于A>>σ，可见为了不致发生过载现象，DM的采样频率要比PCM的采样频率高得多。4.3改进型增量调制简单增量调制的主要缺点是动态范围小和小信号时量化信噪比低。造成这些缺点的原因是量阶σ是固定不变的量，因此，改进是从改变量阶大小考虑的。自适应增量调制(ADM)其基本原理是使量阶σ的大小自适应地随着输入信号增减快慢的变化而改变，即当输入信号增长较快时（斜率大）使量阶σ变大，以改善斜率过载；当输入信号改变率较小时，使量阶σ减小，以改善颗粒噪声。

若量阶能随着信号进行瞬时压扩，则称为瞬时压扩增量调制；若量阶随着时间间隔中信号的平均斜率变化，则称为可变斜率增量调制。数字压扩增量调制差分脉冲编码调制（DPCM）

差分脉冲编码调制(DifferentialPulseCodeModulation)

是介于DM和PCM之间的一种调制方式。

DPCM与PCM的区别是：在PCM中是利用信号采样值进行量化、编码，而DPCM则是对信号采样值与信号预测值的差值进行量化、编码。

DPCM与DM的区别是：在DM中是用一位二进制码表示增量。而在DPCM中是用n位二进制码表示增量。DPCM原理图预测编码

所谓预测编码，主是根据过去的信号样值预测下一个样值，并仅把预测值与现实的样值之差（预测误差）加以量化。编码以后进行传输的方式。在接收端，经过和发信端的完全相同的操作，可以得到量化的原信号，然后通过低通滤波器便可恢复原信号的近似波形。

DPCM的核心在预测，预测越好，信号与预测的差值就越小，压缩数据量的效果就越显著。4.4时分多路复用（TDM)

时分复用（TimeDivisionMultiplexing）：多路信号在时域上互不重叠、互不干扰的传输方式。时分复用TDM与频分复用FDM的区别：TDM在时域上各路信号是分割开的，但在频域上各路信号是混叠在一起的。FDM在频域上各路信号是分割开的，但在时域上各路信号是混叠在一起的。TDM信号的形成和分离都可通过数字电路实现。

频段1（60－64）频段2（50－54）

频段3（40－44）

频段4（30－34）信号A信号B信号C信号D频分多路复用器信号B信号C信号D

信号A频分多路复用器频分多路复用频普迁移信号A信号B信号C信号D时分多路复用器

信号B

信号C

信号D

信号A时分多路复用器

DC

B

ADC

B

A

帧1帧2时分多路复用三路TDM示意框图三路TDM合路PAM波形Ts为抽样周期τ=Ts

/N为时隙PCM数字电话系统方框图单路编译码器在PCM系统中的使用T1-标准北美、日本E1-标准欧洲、中国、南美每125us为一个时间片，每时间片分为32个通道（供32个用户轮流使用）。每通道占用125us/32=3.90625us

每通道一次传送8位二进制数据，即每个二进制位占用0.48828125us，所以

E1速率=1/0.48828125=2.048Mb/s

E1标准也可以这样计算E1速率

E1速率=(32x8bit)/125ms=2.048Mb/sE1-帧格式0121631125ms=32时隙=2.048Mbps帧同步信令信道30路话音数据信道+2路控制信道A律PCM基群帧结构A律PCM基群帧结构PCM基群的信息速率在A律PCM基群中，一帧共有32路时隙，帧周期为125μs，有32×8=256个码元，基群