《工程力学》项目4 质点运动力学

?工程力学?工程4质点运动力学质点运动力学工程四质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度任务4.2点的复合运动任务4.3质点动力学根本定律任务4.4动静法质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度自然法〔弧坐标法〕

２．点的速度动点在

时间内的平均速度：当Δｔ趋近于零时，Ｍ１趋近于Ｍ，该极限值就是动点在位置Ｍ处〔即时刻ｔ〕的瞬时速度：当Δｔ→０时，线段ＭＭ１趋近于弧长Δｓ，即,所以瞬时速度的大小为：质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度自然法〔弧坐标法〕

３．点的加速度加速度是表示速度变化的一个物理量。动点沿平面曲线运动时，一般情况下，其速度的大小和方向都会发生变化。动点在瞬时t的加速度：其中动点的加速度：=

质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度自然法〔弧坐标法〕切向加速度：=法向〔向心〕加速度：点的全加速度等于切向加速度aτ和法向加速度an的矢量和，即：a=

aτ+an。

因aτ与an互相垂直，故全加速度的大小为：全加速度的方向可由a与an所夹的锐角θ确定：质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度自然法〔弧坐标法〕匀变速曲线运动是曲线运动的一种特殊情况，假设切向加速度aτ，那么可导出速度和弧坐标的相应计算公式有：质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度自然法〔弧坐标法〕例：点M沿半径r=100mm的圆周运动〔如图〕，其运动方程为S=20t2-50t-30,弧坐标的单位为mm，时间的单位t为S〔秒〕。试求初瞬时及t=1S、t=2S时点的位置、速度、加速度，并求时间间隔1~2S内动点的路程。质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度自然法〔弧坐标法〕解:⑴求弧坐标、路程

将t=0、1、2、分别代入运动方程中，便可以求出各瞬时动点的孤坐标：t=0时的坐标：S0=t=1s的坐标

：

t=2s的坐标

：

由弧坐标可在图中找出

M1、M2瞬时动点的位置，计算1S内的路程时，应分两段计算，即

:

⑵求速度

t=1s时的速度

t=2s时同理可得。⑶求当t=1s时加速度

t=2s时的加速度同理可得。质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度直角坐标法1．运动方程、轨迹方程运动方程：轨迹方程：质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度直角坐标法2．速度方向：速度：质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度直角坐标法3．加速度加速度在x、y轴上的投影ax、ay：全加速度的大小为：全加速度的方向为：质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度直角坐标法例：椭圆规机构如下图。AC=CB=OC=r。曲柄OC转动时，,带动AB尺运动，A、B分别在铅直和水平槽内滑动。求BC中点M的速度、加速度。质点运动力学任务4.1点的运动方程、速度、加速度直角坐标法解:⑴运动分析。曲柄OC转动时，带动BC尺运动，而CB中点M作平面曲线运动。M点轨迹未知，故需采用直角坐标法。⑵列运动方程，求未知量。选O为原点，作直角坐标系OXY

。根据图示的几何关系，M点的坐标为:将

φ=ωt及

r代入式中，便得点的直角坐标运动方程：从运动方程中消去时间t

,得出M点的轨迹方程：故M点速度的大小为：又因：故M点加速度的大小为：质点运动力学任务4.2点的复合运动复合运动的根本概念1．运动的合成如下图的车间中的吊车，在小车A沿桥轨作直线平动时，小车上的卷扬机同时提升重物M，这时重物相对于地面的运动，也可看成是小车相对于地面的简单平动与重物相对于小车上升的简单的直线运动合成。质点运动力学任务4.2点的复合运动复合运动的根本概念2．两种坐标系和三种运动两种坐标系：定〔或静〕坐标系和动坐标系。三种运动：动点对定坐标系的运动称为绝对运动；动点对动坐标系的运动称为相对运动；动坐标材系对定坐标系的运动称为牵连运动。质点运动力学任务4.2点的复合运动复合运动的根本概念3．点在三种运动中的速度和加速度⑴动点的绝对速度和加速度，就是动点相对静坐标系运动的速度和加速度，分别记为va和。⑵动点的相对速度和加速度，就是动点相对动坐标系运动的速度和加速度，分别记为vr和ar。⑶牵连速度和加速度，称之为该瞬时动点的牵连速度和牵连加速度，记为ve和ae

。质点运动力学任务4.2点的复合运动点的速度合成定理设动点M沿相对轨迹弧AB按一定的规律运动，同时，弧AB又随同动坐标系一起相对于定坐标系oxyz运动，如下图。现确定绝对速度，牵连速度和相对速度三者的关系。在任一瞬时，动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。质点运动力学任务4.2点的复合运动点的速度合成定理例：仿形床中的凸轮顶杆机构如下图。凸轮速度为v，方向水平向右，求图示位置〔φ=60°〕时推杆的速度。质点运动力学解：选AB杆端的A点为动点，动坐标系固连于半圆凸轮上，定坐标系那么与地面固结。其速度分析图参见以下图。按速度合成定理将各速度沿OA方向投影，那么得：任务4.2点的复合运动点的速度合成定理所以：由于推杆作平动，故就是推杆的速度。质点运动力学任务4.2点的复合运动

点的加速度合成公式及应用1．加速度合成公式⑴当牵连运动为平动时，其合成公式为：

aa=ae+ar上式说明动点的绝对加速度等于动系的牵连加速度与动点相对于动系的加速度的矢量和。⑵当牵连运动为定轴转动时，其合成公式为

aa=ae+ar+ak其中ak=2ωe×vr

ωe为动系转动的角速度，vr为动点的相对速度。ak称科氏加速度。上式说明动点的绝对加速度等于动系为平动时牵连点的牵连加速度与动点的相对加速度及科氏加速度的矢量和。质点运动力学任务4.2点的复合运动

点的加速度合成公式及应用2．加速度合成公式的应用例：仿形床中的凸轮顶杆机构如下图。凸轮速度为v，方向水平向右，求图示位置〔φ=60°〕时推杆AB的加速度。质点运动力学任务4.2点的复合运动

点的加速度合成公式及应用2．加速度合成公式的应用解：选AB杆端的A点为动点，由上节分析可求得：现作加速度分析如下：应用牵连运动是平动的加速度合成公式，把加速度公式沿O’A投影,可得：整理并代入φ=60°,得：质点运动力学任务4.3质点动力学根本定律动力学根本定律第一定律〔惯性定律〕不受力作用的质点，将永远保持静止或作匀速直线运动。第二定律〔力与加速度关系定律〕质点受力作用时将产生加速度。加速度的方向与力的方向相同，加速度与质点质量的乘积等于质点所受的力。第二定律可表示为:F=ma,由此可得质量的物理意义是：质量是质点惯性大小的度量,可得G=mg。第三定律〔作用与反作用定律〕两个质点相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线同时分别作用在这两个质点上。质点运动力学任务4.3质点动力学根本定律质点运动微分方程1．质点运动微分方程的直角坐标形式如图表示质量为m的质点M在合外力F作用下沿平面曲线运动，其加速度为a。根据动力学根本方程有：ma=F或ma=ΣF。取直角坐标系Oxy，并将上式投影在x、y轴上，即得将代入上式，得质点的运动微分方程的直角坐标形式：质点运动力学任务4.3质点动力学根本定律质点运动微分方程2．质点运动微分方程的自然坐标形式如果质点的运动轨迹，那么用弧坐标表示点的运动方程，可把动力学根本方程向质点运动轨迹的切向和法向投影，得maτ=ΣFτman=ΣFn将、代入上式，得质点运动微分方程的自然坐标形式：质点运动力学任务4.3质点动力学根本定律质点运动微分方程3．质点动力学的两类问题第一类问题：质点的运动，求作用于质点上的力。在这类问题中，一般质点的运动方程是的，通过求导数的运算可以求出加速度ax、ay、aτ和an，代入加速度合成公式中即可求出未知力。第二类问题：质点所受的力，求质点的运动。这类问题比较复杂，因为作用于质点上的力可以是常力，也可以是和许多物理因素〔如时间、位置或速度等〕有关的变量。解这类问题的运算中，对微分方程积分时，将出现假设干个积分常数，必须根据初始条件〔t=0时质点的位置和速度〕来确定，以求得质点的运动规律。质点运动力学任务4.4动静法惯性力的概念当物体受到力的作用而使其运动状态发生变化时，由于物体的惯性，对外界产生的反作用力，抵抗运动的变化，这种抵抗力称为惯性力。惯性力的大小等于质量与加速度之积，方向与加速度相反，作用在使此物体产生加速度的其他物体上。如在光滑的水平直线轨道上推车时〔如以下图〕，为了使车产生加速度，人必须对车作用一推力F。由于车的惯性，力图保持它原来的运动状态，所以车给人以反作用力Q，此力作用在人的手上，称为车的惯性力。。质点运动力学任务4.4动静法惯性力的概念设质量为m的质点M受力F作用而作曲线运动〔如以下图〕其加速度为，与加速度方向相反的惯性力为Q。Q的切线方向的分力Qτ和法线方向的分力Qn分别称为切向惯性力和法向惯性力〔或离心惯性力〕。显然有：切向惯性力和法向惯性力的大小为：质点运动力学任务4.4动静法动静法设一质量为m的非自由质点M受主动力F和约束反力N的作用，F和N的合力为R，质点具有加速度〔如以下图〕由动力学根本方程假想在质点M上加上惯性力那么F+N+Q=0上式说明，如果在作加速运动的质点上，假想地加上惯性力，那么作用于质点的主动力、约束反力与惯性力在形式上构成一个平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。实际上，这是用静力学的方法来处理动力学问题，故称为动静法。得F+N=ma质点运动力学将F+N+Q=0投影在直角坐标轴上，那么得任务4.4动静法动静法将G=mg投影在切线和法线方向，那么得式中

：Fx、Nx、Qx分别是主动力、约束反力和惯性力在

轴上的投影Fy、Ny、Qy分别是主动力、约束反力和惯性力在y轴上的投影式中：F

τ、Fn是主动力在切向和法向的投影；N

τ

、Nn是约束反力在切向和法向的投影，Q

τ

、Qn是切向惯性力和法向惯性力切向合法向的投影。质点运动力学任务4.4动静法动静法例：为测定列车的加速度，采用一种称为加速度测定摆的装置。这种装置就是在车厢顶上挂一单