数理方程-第五章

第五章贝塞尔函数讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程；讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质。稳恒状态圆域上热传导问题—欧拉方程。瞬时状态圆域上热传导问题—贝塞尔方程。5.1贝塞尔方程的引入设有半径为R

的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。可归结为求解如下定解问题令，代入方程得进而得齐次偏微分方程化为两个微分方程:它的解为(1)(2)亥姆霍兹方程(Helmholtz)由边界条件，可知在极坐标系下，问题可以写成再次分离变量,令,代入化简得引入参数分解本征值，将代入另一方程得n阶贝塞尔方程.结合自然周期条件，得本征值问题本征函数由条件得由温度是有限的，得原问题就转化为求贝塞尔方程在条件下的特征值和特征函数.做代换,并记考虑贝塞尔方程n阶贝塞尔方程的标准形式.方程转化为5.2贝塞尔方程的求解5.2贝塞尔方程的求解用x

表示自变量,y=y(x)

表示未知函数,则n阶贝塞尔方程为其中n为任意实数或者复数,我们仅讨论的情形.假定方程有如下形式的级数解：其中为常数。逐项求导,有代入方程确定系数和：比较系数得5.2贝塞尔方程的求解取c=n由选取由得因此5.2贝塞尔方程的求解这样，得到方程的一个特解称为阶第一类贝塞尔函数(n>=0).5.2贝塞尔方程的求解取指标得方程的另一特解当n

不为整数时,

和线性无关．所以方程的通解可以表示为结论：

5.2贝塞尔方程的求解如果选取得到称为n阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,方程的通解也可表示为当n

不为整数时,

和线性无关．5.2贝塞尔方程的求解当m,n为整数时，有Gamma函数的定义与性质

5.3n为整数时贝塞尔方程的通解5.3n为整数时贝塞尔方程的通解(1)由得（２）取n=N,在中,由于m<N时，

所以级数从m=N开始

所以，当n为整数时,与线性相关此时定义第二类贝塞尔函数为不为整数.可以证明和线性无关，通解可写为5.3n

为整数时贝塞尔方程的通解其中C为欧拉常数C=0.5772165.3n

为整数时贝塞尔方程的通解5.4贝塞尔函数的递推公式x=(0:0.02:16)';y=besselj(1,x);plot(x,y)holdon;>>z=0;>>plot(x,z,'b')>>y2=besselj(0.5,x);>>plot(x,y2,'r')>>y3=besselj(1.5,x);>>plot(x,y3,'g')5.4贝塞尔函数的递推公式建立不同阶的贝塞尔函数之间递推公式.首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间关系.分别令及得:微分J0

的第2k+2项×（－１）所以则又5.4贝塞尔函数的递推公式一般的,有上面两式左边的导数求出来,并经过化简,则得5.4贝塞尔函数的递推公式分别消去和,可以得到两式相加减贝塞尔函数的递推公式若知道的值,就可以求出进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.5.4贝塞尔函数的递推公式对于第二类贝塞尔函数,也有相应的递推公式.5.4贝塞尔函数的递推公式例5.4n

为整数时贝塞尔方程的通解例求不定积分.解由，可得5.4贝塞尔函数的递推公式5.5函数展成贝塞尔函数的级数5.5函数展成贝塞尔函数的级数在本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中，导出了贝塞尔方程的特征值问题：方程的通解为由于,由条件知,从而为了求出特征值问题,必须判明的零点是否存在,分布情形如何．由可得:贝塞尔函数的零点的结论：

(1)Jn(x)有无穷多个单重实零点,这些零点在x

轴上关于原点对称分布,因而Jn(x)有无穷多个正的零点;

(2)Jn(x)

的零点和Jn+1(x)

的零点是彼此相间分布.(3)设()为的正零点,则有5.5函数展成贝塞尔函数的级数与这些特征值相应的特征函数为的解为5.5函数展成贝塞尔函数的级数贝塞尔函数的正交性的正平方根称为函数的模值.的正交性讨论

n阶贝塞尔函数序列(m=1,2…)在区间(0,R)上带权r

正交,即结论１5.5函数展成贝塞尔函数的级数结论2.在区间［０，R］上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数f(r),如果在r=0处有界,在r=R处等于零,则它必可以展开为如下形式的一致收敛的级数：其中5.5函数展成贝塞尔函数的级数５.6应用举例例1

设有半径为1的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度分布为1-r2，其中r

为圆盘内任一点的极半径，求圆盘的温度分布规律。分析:由于是在圆域内求解问题,故采用极坐标.考虑到定解条件和无关,所以温度只能是和的函数.５.６应用举例解:问题可归结为求下列定解问题:设由于和无关,,可以化简为问题５.６应用举例由物理意义,,且当时,解(1)得：,因为时,,……………..……(1)…..……(2)令代入方程得所以,令,即５.６应用举例(2)为零阶非标准的贝塞尔方程,通解为由的有界性,可以知道,由条件得,即是