第四章：复变函数积分

第四章复变函数的积分

同微积分一样，在复变函数中，积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法．在解决实际问题中也是有力的工具另一方面为其它学科提供了广泛的几何定性研究方法．

本章先介绍复变函数积分的概念，性质和计算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西－古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我们建立柯西积分公式，最后证明解析函数的导数仍是解析函数，从而导出高阶导数公式§4.1.复积分的概念１.积分的定义：有向曲线：平面上一条光滑曲线（或按段光滑曲线）可理解为代有方向的曲线．如果从A到B的方向定义为C的正向．则从B到A的方向就是C的负方向，记为规定：正方向总是指从起点到终点的方向弧长曲线积分存在强烈的实用背景：例地理信息的三维地图问题中，所给出的可以表示二维数量场（即在处的地形高度），则从A到B的实际路程定义：设函数定义在区域D内，C为

D内起点为A,终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线任意分成n个弧段，设分点为：在每个弧段上任取一点作和当无限增大，趋于零时，如果不论对的分法及的取法如何．有唯一的极限．则称此极限值为函数沿曲线的积分．记作如果为闭曲线，则积分记为２.积分存在的条件及其计算法设光滑曲线由参数方程给出，正方向为参数增加的方向．参数对应于起点及终点如果是由等光滑曲线依次连接所组成的按段光滑曲线．则

复积分的计算

定理：设在区域D内连续，C是D内的光滑曲线，则复积分

计算公式：

见42面3.1.2复积分的计算由定义可知，当，且小弧段长度的最大值时，不论对L的分法如何，点的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于连续，则都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到例１：计算其中为从原点到点的直线段解：通过点的直线段方程为所以过原点和的直线段方程为说明：1.定理表明，复积分的计算可以通过二元实变函数的线积分来计算。

2.关于曲线C的参数方程的构造：直线：圆周：于是容易证明，此积分与线路无关，即无论是怎样的连接原点到的曲线，积分值均为另解：采用实二元一次函数的积分法（练习）例２：计算其中为以为中心，为半径的正方向，为整数解：的方程为所以：结论非常重要，必须记住：其特点是与积分路线的圆周中心及半径无关．

例３：计算的值，其中为（１）沿从原点到点的直线段（２）沿从原点到的直线段与从到的直线段所接成的折线说明：复变函数的积分与路径是有关的，采用不同的路程积分所得的积分值不一样。３.积分的性质(P41)【证明】由于在L上恒有，所以又，则

成立。§4.2复积分基本定理从上三个例子可见，例１中被积函数在复平面内处处解析．复平面是单连通的所以积分和路线无关．例２中当时被积函数为其在以为心的圆周内部不是处处解析的．而若把除去，则函数在的内部是处处解析的．但这个区域不是单连通的例３中被积函数在复平面内处处不解析，其积分值与路线有关．首先必须探讨一下：

什么情况下复变函数的积分值与路线无关？

1.被积函数的解析性；

2.区域的单连通性等．：如果函数在单连通区域内处处解析．那么函数沿内任何一条封闭曲线的积分为零一、柯西积分定理（P45)（柯西－古萨基本定理）如果曲线是区域的边界，在内及上解析．即在闭区域上解析则柯西积分定理的两个推论推论4.1若函数在单连通域D内处处解析，则函数沿D内的曲线C的积分与路径无关，只与曲线C的起点和终点有关。推论4.2若曲线C是单连通域D的边界，函数在D内解析，在上连续，则

思考：柯西积分定理讨论的其实是单连通域的情形，对于多连通域又会是怎样的情形呢？定理：(闭路变形原理)设在多连通域D内解析，是D内的两条简单闭曲线，在的内部，以为边界的区域全含在D内，则复积分计算题中注意：由柯西－古萨基本定理知．设在多连通域内解析，为内一条简单曲线，如果的内部完全含于，则在上及其内部解析，故有但当的内部不完全含于时，就不一定有上面的等式。思考以下情况：假设及为内包含“空洞”的任意两条简单闭曲线（正向都为逆时针）在的内部而且以和为边界的区域全含于作两条不相交的弧段和．它们依次连接上某点到上某点两式相加有：即或（1）式说明：如果把两条简单闭曲线及看成是条复合闭路，而且规定的正方向为：外面闭曲线按逆时针进行，内部闭曲线按顺时针进行，则（2）式说明：一个解析函数沿闭曲线的积分．不同闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值．（