第四章定积分第01讲

DefiniteintegralsanditsApplicationsinOneVariable本章内容定积分概念、性质微积分学基本定理(Newton-Leibniz)定积分与不定积分的关系积分的计算——两大基本积分法定积分的应用(微元法研究函数整体性态)第一节§4.1.1

积分问题举例§4.1.4

定积分的性质§4.1.5

微积分基本公式基本概念§4.1.2

定积分的定义实例1(几何问题__求曲边梯形的面积)§4.1.1问题的提出曲边梯形：由连续曲线abxyo曲边梯形的面积计算abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）解决问题的基本思想——

局部“以直代曲”求得面积的近似值，最后通过取极限，得出面积的准确值。具体做法：

曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为实例2(求变速直线运动的路程)思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．(1)分割部分路程值某时刻的速度(2)求和(3)取极限路程的精确值

许多类似的实际问题：“求一个整体量

——Tointegrate”最终在数学上都归结为:求一种特殊结构的和式的极限——

就是所谓的定积分。§4.1.2

定积分的定义被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限因此前面两个问题可以分别写为面积路程定义2.定义2.注意

G.F.B.Riemann(1826-1866)

(3)可积

可积某一特殊分割和特殊取点法,极限存在.实际上任意方法取点，任意分割及在极限都存在;极限过程是(4)定义中区间的分法、ix的取法是任意的.

例Dirichlet函数在[0,1]上可积?

任意细分区间而在每个上取点为无理数时,而在每个上取点为有理数时,不

(3)可积

可积某一特殊分割和特殊取点法,极限存在.实际上任意方法取点，任意分割及在极限都存在;极限过程是(4)定义中区间的分法、ix的取法是任意的.被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和定积分的定义:定义1注意(5)函数在[a,b]上可积，则在[a,b]上必有界！（可积的必要条件）证

(反证法)若在上无界，从而可以使任意大,上不可积。无界函数在定义域上定不可积；有界函数未必可积!(5)[a,b]上可积必有界！第一节§4.1.1

积分问题举例§4.1.4

定积分的性质§4.1.5

微积分基本公式基本概念§4.1.2

定积分的定义定理3若函数在区间上单调有界，则在上黎曼可积。定理2若函数在区间上有界，只有有限个第一类间断点，则在上黎曼可积。存在定理(可积准则Ⅰ&Ⅱ)§4.1.3曲边梯形的面积曲边梯形面积的负值定积分的几何意义几何意义封闭部分“有号面积”的代数和.“曲边梯形面积”,

第一节§4.1.1

积分问题举例基本概念§4.1.2

定积分的定义我们可以选择有利于计算的‘分割区间’与‘取点’的方法,然后通过计算极限求出定积分的值。

可积某一特殊分割和特殊取点法,极限存在.任意方法取点，任意分割积分区间，及在极限都存在;解@2

用定积分的定义计算解:为便于计算将[a,b]区间n

等分,整理和式为一个紧凑的形式:分点为：

为整理和式为一个紧凑的形式:用定义来计算定积分是很困难的.一是积分和式的整理一般是相当困难的,

大多甚至得不到结果；二是即便能整理出一个公式,极限的计算往往也很困难.第一节§4.1.1

积分问题举例§4.1.4

定积分的性质§4.1.5

微积分基本公式基本概念§4.1.2

定积分的定义对定积分的补充规定:证明:(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)证明:由常数可提到求和号/极限号外面来即得.常数的积分:k线性运算的积分=积分的线性运算---推广到n个[a,b]上可积函数的线性组合计算.整个区间上的积分=各部分区间上积分之和证：在分割时，让c是一个分点，则有令,cA2A1上式两端同取极限即得结论成立.例如若（定积分对于积分区间具有可加性）则证明保号性性质6证明保序性>>性质7：绝对值性质证明基本估值不等式mM基本估值不等式

x=0解:解:…..证明由介值定理,即积分中值公式的几何解释：平均高度——函数在区间[a,b]上的积分平均值证明设证明设用定义来计算定积分是很困难的.一是积分和式的整理一般是相当困难的,

大多甚至得不到结果的；二是即便能整理出一个公式,极限的计算往往也很困难.因此有必要寻找新的计算方法,这就首先需要了解定积分的性质，先考察最基本的性质.第一节基本概念§4.1.1问题的提出§4.1.4定积分的性质§4.1.5

微积分基本公式§4.1.2定积分的定义变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程函数为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出牛顿—莱布尼茨公式考察定积分记二、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质证明由积分中值定理得积分上限函数的性质可导，则它与积分上限函数构成复合函数

定理1推广则，解证明由复合函数求导法，得到积分上限函数的性质定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.二、积分上限函数及其导数证明三、牛顿—莱布尼茨公式牛顿—莱布尼茨公式证明…微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.…..用定积分的定义计算解:为便于计算将[a,b]区间n

等分,分点为：整理和式为一个紧凑的形式:为整理和式为一个紧凑的形式:一、问题的提出二、积分上限函数及其导数三、牛顿—莱布尼茨公式!§4.1.3

微积分基本公式原式解解@3解由图形可知常义积分：有限区间上有界函数的积分广义积分：有限区间上无界函数或者函数在无限区间上积分第一节§4.1.1