第四章 导热问题数值解法基础

第四章导热问题数值解法基础第一节建立离散方程的方法第二节稳态导热问题的数值计算第三节非稳态导热问题的数值计算第四章导热问题数值解法基础数值解法为一种近似解法，但其近似精度可人为控制，故又是一种十分精确的解法。数值解法的主要思路和步骤：1.将物体从空间上或时间上划分成若干个网格单元（即离散化），以单元上节点的值替代单元值；2.用各种方法建立起各节点与相邻节点的关系方程式，构成节点方程组；3.解节点方程组，得各节点数值（如：ti,j，传热中多为温度值，此时即认为得温度分布）。第一节建立离散方程的方法如图，i、j分别为沿x、y方向节点的序号，△x、△y为步长，网络线与边界的交点为边界节点。图中每一个节点都代表以它为中心的一个小区域（的温度值等）。节点越多，结果越精确。同样可把时间也分割成许多间隔△，同样△越小，结果越精确。一、区域和时间的离散化

空间上，把物体划分为有限数目的网格单元，将原来在空间上连续的物理量，转变为有限个离散的网格单元节点（又称结点）。i△x（i+1）△x（j+1）△y

j△y（j-1）△y（i-1）△x第一节建立离散方程的方法二、泰勒级数展开法（有限差分法）对于连续函数t，相邻两节点间关系可用泰勒级数描述。1.一阶导级的向前差分表达式：舍去<1>式△x2后各项，则有：2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：第一节建立离散方程的方法二、泰勒级数展开法（有限差分法）对于连续函数t，相邻两节点间关系可用泰勒级数描述。3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：4.二阶导级的中心差分表达式：<1>+<2>式且忽略后项，则有：第一节建立离散方程的方法三、热平衡法基于能量守恒定律，对微元体内，认为相邻节点间温度分布呈线性，如图，节点P与周围节点的导热量由傅里叶定律有：若无热源、常物性、稳态：LP+RP+TP+BP=0则有：第二节稳态导热问题的数值计算一、内节点离散（节点）方程的建立以常物性、无热源的二维稳态导热为例，一般为使计算简便，常使△x=△y，于是由式<3>、<4>的有限差分法和热平衡法均可得到各内节点间的关系为：ti+1,j+ti-1,j+ti,j+1+ti,j-1-4ti,j=0

或写作：ti,j=（ti+1,j+ti-1,j+ti,j+1+ti,j-1）/4值得注意的是：上节点方程中五个节点均应为内节点，否则，上方程就可能不再适用。

对于内节点方程，当导热过程为常物性、无热源或热源均匀分布的稳态导热时可用有限差分法得到，否则，采用有限差分法会产生麻烦，而热平衡法则可克服这些麻烦，这是热平衡法的优点。但此法需对每个节点均作热平衡分析。

一般边界节点与内节点间的联系方程多用热平衡法建立。第二节稳态导热问题的数值计算二、边界节点离散方程的建立第一类边界条件直接给出了边界温度值，可直接以数值形式参加到边界节点与相邻内节点的离散方程中，第二、三类边界条件则应视具体情况，建立具体的离散方程。下面以对流边界条件下的拐角节点为例，介绍建立方法。第二节稳态导热问题的数值计算二、边界节点离散方程的建立△y△x令：△x=△y且有：LP+RP+TP+BP=0代入整理得：第二节稳态导热问题的数值计算三、节点离散方程组的求解

对n个未知温度的节点，用前述方法即可得到n个方程，将节点温度ti,j按顺序号1、2、…、n编号，且整理后总可得到如下方程组：t1=a11t1+a12t2+……+a1ntn+c1

t2=a21t1+a22t2+……+a2ntn+c2………………

tn=an1t1+an2t2+……+anntn+cn采用计算机求解上述方程组时，常用迭代法和高斯消元法，这里仅介绍经常使用的迭代法。第二节稳态导热问题的数值计算三、节点离散方程组的求解1.简单迭代法A.先任设一组节点温度的初始值：t10t20…tn0；B.将t10t20…tn0代入方程组右侧，得一组新值：t11t21…tn1；C.将各项分别与各项相比较，看其中Max|ti1-ti0|是否小于规定的精度值，若小于时则退出循环，打印结果，否则继续迭代；D.将t11t21…tn1代入，得t12t22…tn2，比较Max|ti2-ti1|是否小于规定的精度值，若小于时则退出循环，打印结果，否则继续迭代；E.将t1kt2k…tnk代入方程组，得t1k+1t2k+1…tnk+1，直至Max|tik+1-tik|<，或Max|（tik+1-tik）/tik|<（此时为相对误差），退出循环，打印结果，t1k+1t2k+1…tnk+1这组值即为方程组的解。第二节稳态导热问题的数值计算三、节点离散方程组的求解2.高斯-赛德尔迭代法在简单迭代法基础上作改进，每次迭代时，总是使用节点温度的最新值，例如第k次迭代后的值代入t1的表达式后得t1第k+1次迭代值t1k+1，则t2k+1t2k+1

…tnk+1应为：t2k+1=a21t1k+1+a22t2k+……+a2ntnk+c2t3k+1=a31t1k+1+a32t2k+1+a33t3k+……+a3ntnk+1+c3………………tnk+1=an1t1k+1+an2t2k+1+……ann-1tn-1k+1+anntnk+cn这种迭代方法能使结果很快收敛，且可减少计算时间和计算机存贮量，很快达到精度要求。第三节非稳态导热问题的数值计算一、显式差分格式对一维、常物性、无内热源的非稳态导热沿x方向分割成n段，时间从=0开始，接△间隔分离，对其导热微分方程式中的右侧用中心差分，左侧用向前差分，则有：△△x整理得：或写作：在选择△及△x时，应遵循：或：Fo≤1/2同理得：二维非稳态导热数值解的稳定性条件为：Fo≤1/4第三节非稳态导热问题的数值计算二、隐式差分格式

若将温度对时间的导数采用向后差分，则有：整理后得：或：上式与显式不同的是：不能据k△时刻的温度分布直接得到（k+1）△时刻的温度分布，仅得到此时刻各节点间的方程式，要得到温度分布，还需解节点方程，故此种格式是无条件稳定的，即△、△x可据情况任意选取。令k=k+1，上式可等价地写成：第三节非稳态导热问题的数值计算三、边界节点方程式的建立对二、三类边界，常用热平衡的方法建立节点方程，据采用时间节点的前后不同，依然有显式与隐式之分。△x△x/2=（k+1）△=k△t1k+1t1kt2k+1t2k显式隐式1.显式差分格式如图，对于边界节点1、t1k：A.内节点2导入1的热量：B.表面对流换热量：C.内能增量△u：据热平衡A+B=C并整理得：第三节非稳态导热问题的数值计算三、边界节点方程式的建立1.显式差分格式

t1k+1=2Fo（t2k+Bitfk）+（1-2BiFo-2Fo）t1k

显然要使上式获得稳定解的条件仍然是t1k项前系数：1-2BiFo-2Fo≥0即：Fo≤1/（2Bi+2）讨论：①当问题为第三类边界时，内外节点均需满足上述稳定性条件，因Bi≥0，只要满足上式条件，则必有：Fo≤1/2；②对于绝热边界，因h=0，Bi=0，仍可用Fo≤1/2条件；③对于二维非稳态导热，其内外节点方程的稳定性条件为：第三节非稳态导热问题的数值计算三、边界节点方程式的建立2.隐式差分格式对前图，若以点t1k+1进行热平衡分析，经整理后可得：（1+2BiFo+2Fo）t1k+1=2Fo（t2k+1+Bitfk+1）+t1k四、显式与隐式差分格式的区别：1.显式差分格式有稳定性条件，即：△x、△的选取要受Fo≤1/（2Bi+2）（一维）或Fo≤1/（2Bi+4）（二维）条件的制约，而隐式格式则无此约束，△x、△可任意选取；2.显式只要知道了k△

时刻的温度分布，则（k+1）△时刻的温度分布可直接简单地解得，而隐式则需解出（k+1）△

时刻的节点方程组，才能得此时的温度分布。第三节非稳态导热问题的数值计算五、节点离散方程组的求解1.显式差分格式的数值解法步骤①在满足数值解稳定性条件的基础上，选取适当的△、△x，并对各节点进行编号；②用显式格式写出各内、外节点方程式；③据初始条件逐个计算各节点在△时刻的节点温度，再据△时刻计算2△…（n-1）△

时刻计算n△，即得温度分布。第三节非稳态导热问题的数值计算五、节点离散方程组的求解2.隐式差分格式的数值解法步骤①选取适当的△、△x，并对各节点进行编号；②用隐式格式写出各内、外节点方程式；③将内外节点方程写成矩阵形式［A］［t］=［c］，矩阵左侧［t］向量为所求