量子力学薛定谔方程

第20章薛定谔方程§20.1波函数及几率解释经典的平面波为：利用一．波函数描述微观粒子运动状态用波函数（一维）来表示即为一个沿X轴正向运动的．具有确定动量P和能量E的自由粒子的波函数。三维空间运动的微观粒子，用表示其波函数。微观粒子的波函数表示什么？经典物理中的机械波函数表示振移，而波强度表示波的能流密度的时间平均值。对电磁波来说，波函数表示或是电场强度或是磁场强度，而波的强度就是坡印亭失量，这些都是可测量的量。二.波函数和概率波1.玻恩假定（1926）德布罗意波的物理意义是什么？爱因斯坦：关于电磁波和光子的关系，提出电磁波振幅的平方决定了在各处的单位体积内一个光子存在的概率玻恩：物质波是概率波2.用电子双缝衍射实验说明概率波的含义两缝同时打开依次打开一个缝电子确是粒子，但电子的去向是完全不确定的，一个电子到达何处完全是概率事件

这种概率在一定条件下（经双缝）有确定的规律a.双缝同时打开(1)入射强电子流(2)入射弱电子流概率波的干涉结果在波强强度较强的地方，单个事件发生的概率大；在波强强度较弱的地方单个事件发生的概率小12＝P122＝P2两缝同时打开依次打开一个缝b.双缝依次打开上缝打开，下缝打开c.同时打开多了一个干涉项3.状态叠加原理若体系具有一系列的可能状态则也是可能的状态4.波函数满足的条件（2）归一化条件（1）自然条件：单值、有限和连续在汤姆逊电子衍射实验中，衍射图象上亮条纹处出现的电子数目多。

亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大；

暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。电子作为一个整体，只能在某处出现，决不会一半出现在某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性的表现。但是，电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定，这就是它的波动性的表现。实物粒子也具有波粒二象性电子在空间某处出现的概率正比于物质波的强度即微观粒子的物质波是概率波。则物质波的概率密度为：由归一化条件物质波的概率密度：得：引入归一波函数

此式表示物质波的波函数的物理意义：

即：波函数(归一化的)模的平方（即波强度）表示物质波的概率密度。令：设归一化因子为C，则归一化的波函数为(x)=C

exp(-2x2/2)计算积分得Ｃ２＝／１／２Ｃ＝（／１／２）１／２ｅｉ取＝0，则归一化的波函数为(x)=（／１／２）１／２

exp(-2x2/2)例：将波函数归一化有了波，就应该有一个描述波的方程，德拜说。方程应有下面的性质：1、方程应是线性的。即与是方程的解，那么是方程的解，其中是复数2、能量—动量关系一致。与或没有矛盾3、能量守恒。自由粒子或4、可以描述平面波。5、一定条件下，与波动方程一致。6、粒子数守恒。7、应含有§20.2薛定谔方程

描述粒子运动的波函数和粒子所处条件的关系首先由薛定谔得出，称为薛定谔方程。一．动量为P．能量为E的自由粒子的薛定谔方程的建立一维自由粒子物质波的波函数求导由可得自由粒子的薛定谔方程上面式中得：算符：作用于一个函数上得出另外一个函数的符号。如果算符作用于一个函数等于乘一个常数，即则：为本征值，为本征函数，方程为本征方程就是算符量子力学中用算符表示力学量。如果用表示力学量当体系处于的本征态时，力学量有确定值，这个值是在态的本征值。如:一维自由粒子的薛定谔方程三维自由粒子的薛定谔方程：式中：称为拉普拉斯算符二．薛定谔一般方程当粒子处在势场中时，粒子的能量与上同样推导：非自由粒子的薛定谔方程引入哈密顿算符薛定谔一般方程：三．定态薛定谔方程一般地当势场仅仅是空间坐标的函数时波函数可分解为：此时微观粒子所处的状态称为定态；波函数称为定态波函数。满足的方程即是定态薛定谔方程。代入薛定锷方程得（1）（2）两边同除=E由（1）式可得：定态薛定谔方程由（2）式可得：定态波函数在整个空间粒子的概率分布是不随时间变化的，这就是定态（稳定的态）的含义。

波函数必须是时间．坐标的单值．有限．连续函数，这称为波函数的标准条件（自然条件）。量子力学处理问题的方法1、分析、找到粒子在势场中的势能函数U，写出薛定谔方程。2、求解，并根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数。3、由2

得出粒子在不同时刻、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。§20.3势阱中的粒子一.一维无限深势阱中的粒子势函数波函数在阱内有值，在边界无值边界条件：1．分析－axU(x)=0a令

阱内：2．定态薛定谔方程由通解为：由边界条件，可得：方程组具有非零解的条件是系数行列式应等于零即即值只能取一些分立的值。得能量为：

一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的，只能取分立值，每一个可能的能量值叫做一个能级，n称为量子数，n＝1的能级叫基态，也称零点能。

当时，量子化？

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