勾股定理的逆定理(四)

勾股定理的逆定理

三、引入一般地说，在平面几何中，经常是利用直线间的位置关系，角的数量关系而判定直角的；而勾股定理的逆定理则是通过边的计算判定直角的.三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，则这个三角形是直角三角形；如果a2＋b2≠c2，则这个三角形不是直角三角形.例1试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1(n＞0)的三角形是否直角三角形.四、新课【分析】先找到最大边，再验证三边是否符合勾股定理的逆定理.【解】∵2n2＋2n＋1＞2n2＋2n，

2n2＋2n＋1＞2n＋1，∴2n2＋2n＋1为三角形中的最大边.又(2n2＋2n＋1)2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，

(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴(2n2＋2n＋1)2＝(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2.

根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形.例2已知△ABC中，AC＝2，BC＝2，

AB＝4，求AB上的高CD的长.【分析】如果我们不能发现三边间的数量关系，求解就是十分困难的事．但是如果发现三边的关系，应用勾股定理的逆定理问题就迎刃而解了。四、新课例2已知△ABC中，AC＝2，BC＝2，

AB＝4，求AB上的高CD的长.四、新课【解】由于所以△ABC是以∠C为直角的三角形．于是AB·CD＝BC·AC，例3已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，

AD＝13，CD＝12.求：四边形ABCD的面积.

【分析】所给四边形是不规则图形，无面积公式，需转化为规则图形计算.又知∠ABC＝90°，且四条边长已知，不妨连结AC，构成两个三角形，分别求面积.四、新课

3

4

12

13

A

B

C

D

例3已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，

AD＝13，CD＝12.求：四边形ABCD的面积.

四、新课

3

412

13

A

B

C

D

∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝36.【解】连结AC．在△ABC中，∠B＝90°，

AB＝4，BC＝3，∴AC＝

＝5.

在△ACD中，AC＝5，CD＝12，AD＝13∵AC2＋CD2＝25＋144＝169，

AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S△ABC＝AB·BC＝×3×4＝6，

S△ACD＝AC·CD＝×5×12＝30.四、新课例4已知：如图，正方形ABCD中，F为DC

中点，E为BC上一点，且EC＝BC.

求证：∠EFA＝90°.FDCEAB【证明】设正方形ABCD的边长为4a，

则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，由勾股定理得AE

2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2.在Rt△ADF中，由勾股定理得AF

2＝AD2＋DF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2.在Rt△ECF中，由勾股定理得

EF

2＝EC2＋CF2＝a2＋(2a)2＝5a2.∴AF2＋EF2＝AE

2.∴由勾股定理的逆定理可知，∠EFA＝90°.(一)选择题：

练习

1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是()(A)5、12、13(B)2、3、

(C)4、7、5

(D)1、、C(一)选择题：

练习

2．下列命题中，假命题是()(A)三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形(B)三个角的度数之比为1::2的三角形是直角三角形(C)三边长度之比为1::2的三角形是直角三角形(D)三边长度之比为::2的三角形是直角三角形B(二)解答题：

1．已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m、n为正整数，m＞n).

试判定由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．不是练习

(二)解答题：

练习

2．五边形ABCDE的各边的长都是12，∠A＝∠E＝90°，M为五边形内一点，且MA＝13，MB＝5，

求ME、MC、MD的长．MD=7