2010《现代控制理论基础》考试题A卷及答案

班号姓名注意行为规范遵守考场纪律管导核字

主领审签班号姓名注意行为规范遵守考场纪律管导核字

主领审签哈工大2010年春季学期现代控制理论基础试题A答案题号一二三四五六七八卷面分作业分实验分总分满分值1010101010101010801010100得分值一.(本题满分10分)如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块(质量均为M)视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，0与0分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当。=6时，弹簧没有伸长和压缩。1 2 1 2水平向右的外力f(t)作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin0=0，cos0=1。写出系统的运动微分方程；写出系统的状态方程。【解】(1)对左边的质量块，有ML20=f•—cos0-k—(sin0-sin0)—cos0-MgLsin012 12 1 2 2 1 1对右边的质量块，有ML20=k•—(sin0-sin0)4cos0-MgLsin0

2 2 1 2 2 2 2在位移足够小的条件下，近似写成：ML0=f-kL(0]-02)-Mg。】ML0=性(0]-02)-Mg020.—ii4M°2+2ML(2)定义状态变量02-击0i-—02k~X3+2MLx—x

3 4k或写成——x或写成二.(本题满分10分)设一个线性定常系统的状态方程为x=Ax,1—二.(本题满分10分)设一个线性定常系统的状态方程为x=Ax,1—1若x(0)—x(t)—-e-1时，状态响应为x(t)—e-21—e-21；x(0)—。试求当x(0)—3时的状态响应x(t)。状态响应为一0100一1-_-nri0x(kg)kx1— +—0011•xk4ML)4Mx2—2+2MLx0001x330•xk(kg)x1-4」0———+-0404Mk4ML)3i【解答】系统的状态转移矩阵为①(t)—eAt，根据题意有e—2t1x(t)——e—21—eAt—12e-1一2]x(t)—_—e—t_=eAt_-1_合并得

求得状态转移矩阵为当x（0）=3时的状态响应为2-1e-2t—求得状态转移矩阵为当x（0）=3时的状态响应为2-1e-2t—e-2tx(t)=eAt—e-2t+2e-te—2t—e—t—2e-2t+2e—t1 —e—2t+2e—t3= e-2t—e-1—2e—2t+2e—t2e-2t—e—t—7e—2t+8e-t7e—2t—4e-1.（本题满分10分）已知某系统的方块图如下，1■儿礼$_2回答下列问题:（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式；（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数上的取值范围。【解答】（1）系统的状态空间表达式为（2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数k丰3且k丰0。四.(本题满分10分)离散系统的状态方程为(1)x(1)x(k+1)]「一4x2(k+1)=_2是否存在一个有限控制序列｛u(0)x(k)

-3x(k)

L2u(1)・.・u(N))，使得系统由已知的初始状态x(0)，x(0)转移到x(N+1)=0,x(N+1)=0？试给出判断依据和判断过程。1 2 1 2(2)若存在，求N的最小值及控制序列｛u(0)u(1)..・u(N)).G=「-G=「-41-，h=「0-，Q=\hGh]=「01一2-31c1-3【解答】(1)由题意,,rankq=2,由系统能控性的定义可知：存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零.(2)由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的u(0)，u(1)，使得x(2)=0，即N的最小值为1.根据状态方程x(k+1)=Gx(k)+hu(k)进行递推如下：x⑴=Gx(0)+hu(0)x(2)=Gx(1)+hu⑴=GGx(0)+hu(0)]+hu(1)=G2x(0)+Ghu(0)+hu(1)=0,由上面最后一步可得Ghu(0)+hu(1)=-G2x(0)\hGh]=-G2x(0)\hGh]=-G2x(0)u⑴_u(0)即u(0)=-18x1(0)+7x2(0)「-4010-x(0)=「-4010-x(0)1_-187_-187x(0)2u⑴u(0)u⑴u(0)=-G2x(0)=-Q-G2x(0)cu(1)=-40x(0)+10x2(0).五.(本题满分10分)对下列系统「0 1] 「0]x=,x+[u

-6-5_| |_1试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：闭环系统的阻尼系数匚=0.707；阶跃响应

的峰值时间等于3。14秒。【解答】假设状态反馈控制律为u=假设状态反馈控制律为u=[k1k]，代入状态方程得闭环系统「°1「°1一「0一X=X+—6—5_1「012[kk—6+—6+k1-5+k2-1闭环特征多项式为闭环特征多项式为f（人）f（人）=det（XI—A）=-1=X2+（5—k）X+6—k根据题意的要求，?=°-707=w，与3n=*，期望特征多项式为f*（X式为f*（X）=X2+2^3X+32=X2+2X+2根据多项式恒等的条件可得:‘5—k=26—k=2i1解得状态反馈控制律为u状态反馈控制律为u=¥k2]x1x2六.（六.（本题满分10分）设系统的状态空间表达式为-5-5100y=\10]x若该系统的状态X2不可测量,试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为-10,要求写出降维观测器动态方程，并写出状态£2的估计方程。【解答】将状态空间表达式写成：X1=X2<X=-5x+100u22y=X1进一步写成X——5x+100u©=y—XTOC\o"1-5"\h\zI 2设降维观测器方程为X-(-5-1)X+100u+1©2 2引入中间变量z—X2-lyz—X2 -X—(—5引入中间变量z—X2-lyz—X2 -两边求导数得X—ly=(一5—1)X+100u+ly—ly=(一5—1)X+100u一 2 2z=(—5—1)(z+ly)+100uz=(—5—1)z—1(5+1)y+100u根据题意，降维观测器的极点为一10，即-5—1=—10，解得1=5。最终得到降维观测器的动态方程为z=-10z-50y+100u状态估计的表达式为X2=z+5y.

七。(本题满分10分)证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数(矩阵)保持不变。【证明】设原线性系统为〃x=Ax+Bu,y=^x+Du其传递函数矩阵为W(s)=C(sI-A)-1B+D设线性变换为x=Tz，变换后的线性系统为JZ=T-ATz+T-iBu[y=CTz+Du该系统的传递函数矩阵为W(s)=CT(sI-T-ATAT-iB+D=CT(sT-iT-TATI1T-iB+D=CT[T-i(si-A)T]-1T-iB+D=CTT-i(si-A)-1TT-iB+D=C(si-A)-1B+D显然,W(s)=W(s)，即其传递函数(矩阵)保持不变。 证毕某2阶非线性系统的状态方程为《某2阶非线性系统的状态方程为《. 2XX5，证明该系统在坐标原点处X=—XX2—X5+ 1―2-1渐近稳定。【证明】2XX5'—12 2 X2+3)1 /2XX5'—12 2 X2+3)1 /V(x)=2xX+2xX=2x(x3-3x)+2x-xx2-x5+1122 121 21X2+3J令函数y=———，则yx2-