专题：概率初步资料

第三十讲概率初步一、确定性事件与随机事件1.必然事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中________发生的事件.2.不可能事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中_________发生的事件.3.随机事件:在一定条件下,_____________________的事件.一定会一定不会可能发生也可能不发生4.事件的分类：事件确定性事件_____________________________随机事件必然事件不可能事件二、事件的概率及求法1.随机事件的概率:对于一个随机事件A,我们把刻画其发生___________的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A).2.概率的求法:如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都_____,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=___.可能性大小相等3.事件A发生的概率的取值范围是___________.特别地,(1)当A为必然事件时,P(A)=__.(2)当A为不可能事件时,P(A)=__.(3)当A为随机事件时,_________.4.求概率的方法:用频率估计概率、列举法、列表法、画树状图法.0≤P(A)≤1100<P(A)<1三、用频率估计概率在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率为P(A)=p,其中p满足0≤p≤1.【思维诊断】(打“√”或“×”)1.早晨的太阳从东方升起是必然事件.()2.掷一枚均匀的正方体骰子，向上的一面点数为6是不可能事件.()3.任意打开一本200页的数学书，正好是第35页是随机事件.()4.在掷一枚硬币的试验中，落地时反面向上的概率为()√×√√5.口袋中有2个红球和3个白球，每个球除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一个红球的概率是()6.在不透明的袋子中装有4个红球和7个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大.()××热点考向一事件类型及其发生可能性大小

【例1】(2014·梅州中考)下列事件中是必然事件的是(

)A.明天太阳从西边升起B.篮球队员在罚球线投篮一次,未投中C.实心铁球投入水中会沉入水底D.抛出一枚硬币,落地后正面向上【思路点拨】本题考查的是必然事件.根据必然事件的定义对各选项进行逐一分析即可.【自主解答】选C.必然事件是一定会发生的事件，A是不可能事件，B是随机事件，C是必然事件，D是随机事件.【规律方法】判断确定性事件与随机事件的方法1.事件肯定会发生,是确定性事件;事件根本不会发生,也是确定性事件.2.对于确定性事件,肯定发生的是必然事件,肯定不会发生的是不可能事件.3.根据描述事件的句子的正确性,可以判断事件是必然事件或不可能事件.【真题专练】1.(2013·衡阳中考)“a是实数，|a|≥0”这一事件是()A．必然事件 B.不确定事件C.不可能事件 D.随机事件【解析】选A.当a是正数时，|a|＞0；当a是负数时，|a|＞0；当a=0时，|a|=0；所以“a是实数，|a|≥0”这一事件是必然事件.【特别提醒】注意“a是实数，|a|≥0”这一事件是必然事件，不是随机事件.2.(2013·兰州中考)“兰州市明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是()A．兰州市明天将有30%的地区降水B．兰州市明天将有30%的时间降水C．兰州市明天降水的可能性较小D．兰州市明天肯定不降水【解析】选C.兰州市明天降水概率是30%是指明天降水的可能性问题，且可能性比较小.3.(2014·孝感中考)下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°．其中是随机事件的是_________．(填序号)【解析】①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件.所以是随机事件的是①和③.答案：①③【变式训练】(2013·武汉中考)袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球.下列事件是必然事件的是()A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【解析】选A.由于袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球有如下几种情况：两个白球和一个黑球，一个白球和两个黑球，三个黑球；因此摸出的三个球中至少有一个球是黑球．应选A．热点考向二用频率估计概率

【例2】(2013·大连中考)某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率,结果如下表所示:移植总数(n)400750150035007000900014000成活数(m)369662133532036335807312628成活的频率0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902根据表中数据,估计这种幼树移植成活率的概率为

(精确到0.1).【思路点拨】本题主要考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比.对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大,为了减少误差,我们经常采用多批次计算求平均数的方法.【自主解答】∵=(0.923+0.883+0.890+0.915+0.905+0.897+0.902)÷7≈0.9,∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9.答案:0.9【规律方法】用频率估计概率的方法用频率估计概率时,一般是通过观察所计算的各频数数值的变化(集中)趋势,即观察各数值主要集中在哪个常数附近,这个常数就是所求概率的估计值.同时要明确,频率只是一个估计值,不同的试验受试验次数及试验条件的影响,所得到的结果可能有所不同.注意试验的次数越多,事件发生的频率越接近于概率.【真题专练】1.(2013·铁岭中考)在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球,它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球可能有(

)A.16个B.15个C.13个D.12个【解题指南】频率的稳定值近似为：×100%，将数据代入计算即可.【解析】选D.设白球有x个，根据题意得：=25%，解得x=12，故选D.2.(2013·贵阳中考)在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球,通过多次摸球试验后,发现摸到白球的频率约为40%,估计袋中白球有

个.【解析】由摸到白球的频率稳定在40%,估计摸到白球的概率是40%,40%×10=4.答案:43.(2013·长沙中考)在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们只有颜色上的区别,其中有2个红球,每次摸球前先将盒中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复试验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,那么可以推算出n大约是

.【解析】由摸到红球的频率稳定于0.2,可推测摸到红球的概率是0.2,根据概率公式可得=0.2,解得n=10.答案:10【知识归纳】用频率估计概率应注意的问题(1)用频率估计概率时一定要注意试验的次数及试验条件对试验结果的影响.只有经过大量的试验，才能用频率的稳定值估计概率.随机事件的概率是客观存在的，它不随试验次数的多少而改变.(2)与统计图有关的问题，解题的关键是正确理解图表信息，计算事件发生的频数及频率，进而估算概率.4.(2013·本溪中考)在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个,除颜色外其他完全相同.小明从这个袋子中随机摸出一球,放回.通过多次摸球试验后发现,摸到黄色球的频率稳定在15%附近,则袋中黄色球可能有

个.【解析】设袋中黄色球可能有x个．根据题意，任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：15%=解得x=6．答案：6热点考向三概率的求法

【例3】(2014·烟台中考)2014年世界杯足球赛6月12日-7月13日在巴西举行.某初中学校为了了解本校2400名学生对此世界杯的关注程度,以便做好引导和教育工作,随机抽取了200名学生进行调查,按年级人数和关注程度,分别绘成了条形统计图(图1)和扇形统计图(图2).(1)四个年级被调查的人数的中位数是多少?(2)如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注,那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名?(3)在这次调查中,初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯,现准备从四人中随机抽取两人进行座谈,请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率.【思路点拨】(1)根据条形统计图的数据,找出中位数.(2)根据扇形统计图,找出关注本届世界杯的百分比,乘以2400即得结果.(3)画树状图得出所有等可能的情况数,找出恰好是甲与乙的情况,即可确定所求概率.【自主解答】(1)四个年级被抽出的人数由小到大排列为30,40,50,80.∴中位数是=45.(2)2400×(1-45%)=1320(名).(3)由图可知,共有12种等可能结果,其中恰好是甲和乙的有2种结果.∴P(恰好是甲和乙)=

【规律方法】画树状图与列表法求概率的三点说明1.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.2.树状图法适合两步或两步以上完成的事件.3.在用列表法或树状图法求可能事件的概率时,应注意各种情况出现的可能性必须相同.【真题专练】1.(2014·苏州中考)如图,一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形,任意转动这个转盘1次,当转盘停止转动时,指针指向阴影区域的概率是(

)【解析】选D.圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，其中阴影区域占了4个，所以当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是2.(2014·潍坊中考)如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市,并连续停留3天.则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是(

)【解析】选C.此人在该市停留期间3天的空气质量指数(86，25，57),(25，57，143),(57，143，220),(143，220，160),(220，160，40),(160，40，217),(40，217，160),(217，160，121)共8种情况．其中只有1天空气质量优良的是(57，143，220),(220，160，40),(160，40，217),(40，217，160),共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气质量优良的概率3.(2014·天津中考)如图,是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌,将它们洗匀后正面向下放在桌上,从中任意抽取一张,则抽出的牌点数小于9的概率为

.【解析】共有13张黑桃牌，其中点数小于9的有8张，所以抽出的牌点数小于9的概率为答案：【变式训练】(2013·佛山中考)在1，2，3，4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于40的概率是________．【解析】用列表法为例列出所有可能事件数:12341121314221232433132344414243所有可能事件数为12，而符合条件，即大于40的只有41，42，43三种可能，所以概率为答案：

【知识归纳】简单事件的概率计算(1)若一次试验中所有的结果数是有限的，并且每一种可能的结果出现的可能性是一样的，这样的概率模型称为等可能模型，等可能模型的概率计算公式为：P(E)=

(2)当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法.(3)当一次试验涉及三个因素或三个以上的因素时，通常用画树状图法.4.(2014·巴中中考)在四边形ABCD中,①AB∥CD,②AD∥BC,③AB=CD,④AD=BC,在这四个条件中任选两个作为已知条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是

.【解析】列表如下:①②③④①(②,①)(③,①)(④,①)②(①,②)(③,②)(④,②)③(①,③)(②,③)(④,③)④(①,④)(②,④)(③,④)所有等可能的情况有12种，其中能判定出四边形ABCD为平行四边形的情况有8种，分别为(②，①)；(③，①)；(①，②)；(④，②)；(①，③)；(④，③)；(②，④)；(③，④)，则答案：5.(2014·抚州中考)某同学报名参加校运动会,有以下5个项目可供选择:径赛项目:100m,200m,400m(分别用A1,A2,A3表示);田赛项目:跳远,跳高(分别用B1,B2表示).(1)该同学从5个项目中任选一个,恰好是田赛项目的概率为

.(2)该同学从5个项目中任选两个,利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果,并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率.【解析】(1)(2)方法一:依题意可画树状图如下:所有可能的结果是A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A1,A2A3,A2B1,A2B2,A3A1,A3A2,A3B1,A3B2,B1A1,B1A2,B1A3,B1B2,B2A1,B2A2,B2A3,B2B1.可见,从5个项目中任选两个,共有20种等可能的情况,其中恰好一个田赛项目和一个径赛项目的有12种情况,分别是A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1A1,B1A2,B1A3,B2A1,B2A2,B2A3,∴P(恰好是一个田赛项目和一个径赛项目)=方法二:列表格如下:A1A2A3B1B2A1(A1,A2)(A1,A3)(A1,B1)(A1,B2)A2(A2,A1)(A2,A3)(A2,B1)(A2,B2)A3(A3,A1)(A3,A2)(A3,B1)(A3,B2)B1(B1,A1)(B1,A2)(B1,A3)(B1,B2)B2(B2,A1)(B2,A2)(B2,A3)(B2,B1)由列表可知所有出现的等可能结果共有20种，其中满足条件的结果有12种,∴P(恰好是一个田赛项目和一个径赛项目)=热点考向四概率的应用

【例4】(2013·营口中考)小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛,游戏规则是:在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球,上面分别标有数字2,3,4,5.一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为偶数,则小丽去参赛;否则小华去参赛.(1)用列表法或画树状图法,求小丽参赛的概率.(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.【思路点拨】(1)列表或画树状图得出所有等可能的情况数,找出数字之和为偶数的情况数,求出小丽去参赛的概率.(2)由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率,比较即可得到游戏公平与否.【自主解答】(1)根据题意列表得:第一次第二次23452(3,2)(4,2)(5,2)3(2,3)(4,3)(5,3)4(2,4)(3,4)(5,4)5(2,5)(3,5)(4,5)由表可知所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是(2,4),(3,5),(4,2),(5,3),所以小丽参赛的概率为

【一题多解】根据题意画树状图如下：由树状图可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是(2，4)，(3，5)，(4，2)，(5，3)，所以小丽参赛的概率为(2)游戏不公平.∵小丽参赛的概率为∴小华参赛的概率为∴这个游戏不公平．【规律方法】游戏公平性的判断的三个步骤1.画出树状图(或列出表格).2.根据概率公式求出事件的概率.3.比较是否相等即可求得答案.(或根据概率求其得分,得分相等就公平,否则就不公平).【备选例题】(2013·锦州中考)一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3(如图所示)．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．(1)用画树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率.(2)你认为游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．【解析】(1)画树状图如下:或列表如下:转盘摸球1231234234534564567∴一共有12种等可能结果，其中所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4的情形有3种．∴P(小颖去)＝

(2)∵P(小颖去)=P(小亮去)=∴游戏不公平．游戏规则修改为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小颖去；否则小亮去．【真题专练】(2014·常德中考)小美周末来到公园,发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个有A,B,C,D,E五个出入口的兔笼,而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的.规定①玩家只能将小兔从A,B两个出入口放入,②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开,则可获得一只价值5元的小兔玩具,否则应付费3元.(1)问小美得到小兔玩具的机会有多大?(2)假设有100人次玩此游戏,估计游戏设计者可赚多少元?【解析】(1)画树状图小美得到小兔玩具的概率=(2)100人次玩此游戏,估计有100×=20人次会获得玩具,花费20×5=100元,估计将有100-20=80人次要付费，估计游戏设计者可赚80×3-100=140(元).命题新视角概率与其他数学知识的综合题【例】(2013·泉州中考)四张小卡片上分别写有数字1,2,3,4,它们除数字外没有任何区别,现将它们放在盒子里搅匀.(1)随机地从盒子里抽取一张,求抽到数字3的概率.(2)随机地从盒子里抽取一张,将数字记为x,不放回再抽取第二张,将数字记为y.请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果,并求出点(x,y)在函数y=图象上的概率.【审题视点】

创新点(1)概率与反比例函数知识相结合.(2)列举图象上的点的坐标求概率切入点(1)求出四张卡片中抽出一张为3的概率即可.(2)列表得出所有等可能的情况数,得出点的坐标,判断在反比例函数图象上的情况数,即可求出所求的概率【自主解答】(1)∵四张小卡片上的数字为1，2，3，4，从盒子里随机抽取一张，抽到数字3的可能性只有1种，∴P(抽到数字3)=(2)画树状图由树状图可知，共有12种机会均等的情况，其中满足点(x，y)在函数y=图象上的情况有2种，∴P(点在函数的图象上)【一题多解】列表y结果x12341(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,