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第九章第七节一、方向导数

二、梯度三、物理意义方向导数与梯度§9.7方向导数和梯度定义1一、方向导数的定义定义2.设函数zf(x,y)在点P0(x0

y0)的某一邻域U(P0)内有定义

l是xOy平面上以P0(x0

y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(cos

cos)为函数

在处

沿方向的方向导数.Why？关于定义的说明1.函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?

结论:

沿x轴正向时:沿x轴负向时:沿y轴负向时:沿y轴正向时:

如果函数zf(x,y)在点P0(x0

y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向l(el(cos

cos))的方向导数都存在,且有:定理(方向导数的计算)

证明所以推广可得三元函数方向导数的定义解解解令1等值面和等值线使函数f(x,y,z)值等于常数c

的点的全体组成的曲面,称为函数u=f(x,y,z)的等值面,它的方程是

f(x,y,z)=c.

当c取不同数值时就得到一系列等值面,称为等值面族，如气象学中的等温面、等压面

等值面

f(x,y,z)=c

上任一点P(x,y,z)处的法向量为三、梯度的概念使函数u=f(x,y)等于c的全体点组成的曲线称为此函数的等值线,它的方程是f(x,y)=c,c取不同数值时得到的一系列等值线称为等值线族.方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：2,方向导数:1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作在点处的梯度

说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量梯度方向的方向导数最大.

在几何上表示一个曲面;曲面被平面所截得所得曲线在xOy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量,方向指向函数的增加方向梯度的几何意义:解由梯度计算公式得故内容小结1.方向导数•

三元函数在点沿方向l

(方向角的方向导数为•

二元函数在点的方向导数为沿方向l

(方向角为2.梯度•

三元函数在点处的梯度为•

二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l

上的投影.方向:

f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值•

梯度的特点备用题

1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z

具有轮换对称性(1992考研)指向B(3,－2,2

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