微积分.第六节 函数的连续性_第1页
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文档简介

1在观察自然与社会现象时,所观察到的许多变量都是“连续不断”变化的,如物体的运动、气温的升降、人和生物的生长、物价的涨跌等.这种现象在数学中体现为函数的连续性,连续性的实质在于,自变量的微小变化引起因变量的微小变化.与连续性相反的现象是“间断”,如断裂、爆炸、恶性通货膨胀、由自然灾害或战争引起的人与生物的大量死亡等.间断的实质在于自变量的微小变化将导致因变量的剧烈变化.当然,这里所谓“微小”与“剧烈”变化的确切含义尚需说明,这得借助极限的概念.第六节函数的连续性2一、连续与间断的概念定义12

设函数)(xfy=在点

0x的某一邻域内有定义，(1)如果

34连续与间断具有明显的几何解释：若f(x)连续,则函数y=f(x)的图形是一条连续不间断的曲线；若x0是f(x)的间断点,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处发生断裂函数f(x)在区间(a,b)内共有三个间断点：x1、x2、x3.在这三个点附近f(x)的图形形态各异,但其共同点是曲线y=f(x)在三个点处出现“断裂”5定理定义136例2-28解x=0处7例2-28解x=1处8例证9例解1011函数间断点的类型定义14(1)左右极限都存在的间断点,称第一类间断点：

10

可去间断点20

跳跃间断点12(2)左右极限至少有一个不存在的间断点,称第二类间断点。

10

无穷间断点20

非无穷第二类间断点13例如14例如15例如，例2-28中解x=1处16例如17例如18小结第一类间断点:可去、跳跃第二类间断点:无穷、非无穷间断点分类(见下图)19可去间断点第一类间断点oyx跳跃间断点无穷间断点非无穷第二类间断点第二类间断点oyxoyxoyx20二、连续函数的性质定理12例如,连续函数的四则运算法则三角函数在其定义域内皆连续.21定理13复合函数的连续性极限运算与函数运算可以交换22定理14

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.反函数的连续性234、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★均在其定义域内连续.24所有基本初等函数在其定义域内都是连续的.一切初等函数在其有定义的区间内是连续的.25利用函数的连续性可以计算一些极限.

初等函数求极限的方法：代入法.例2-29解26例2-29解27例2-29解28例2-30(1)解极限运算与函数运算可以交换29例2-30(2)解30例2-30(3)解31常用等价无穷小:32例2-31解33例2-31解34定义15设函数f(x)在区间I上有定义.若存在x0∈I,使对I内一切x,恒有四、闭区间上的连续函数35定理15在闭区间上连续的函数在该区间一定能取得最大值和最小值.最值定理四、闭区间上的连续函数推论10闭区间上的连续函数一定是有界函数36注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区

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