《结构可靠性分析》第2章工程概率和数理统计基础

工程概率和数理统计基础第二章1/11/20231东南大学2.1概率论的基本概念随机现象随机试验和样本空间频率与概率古典概率（等可能概型）条件概率独立性1/11/20232东南大学一、随机现象在个别试验中呈现出不确定性，在大量重复试验中，又具有统计规律性，这样的一类现象称为随机现象。

概率论和数理统计是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。1/11/20233东南大学二、随机试验和样本空间可以在相同的条件下重复地进行；每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前，不能确定哪一个结果会出现。1．随机试验：E1/11/20234东南大学随机试验的例题：E1：抛一枚硬币，观察出现正面H、反面T的情况。E2：掷一颗骰子，观察出现的点数。E3：在一批Ⅱ级钢筋中，任意抽取试样并测试其抗拉强度。E4：记录某地某时的风速。E5：一口袋中装有红白二色乒乓球，从袋子中任取一球观察其颜色。E6：将一枚硬币抛两次，观察出现正面H、反面T的情况。1/11/20235东南大学随机事件：在一个随机试验中，它的每一个可能出现的结果都为一个随机事件。基本事件：所有可以直接发生的事件。即最简单的随机事件。复合事件：由基本事件复合而成的事件。另有：必然事件，不可能事件几个基本概念：1/11/20236东南大学2.样本空间：S

E的所有基本事件所组成的集合叫做E的样本空间SE＝{E的基本事件}1/11/20237东南大学样本空间的例题S1：｛H，T｝S2：｛1，2，3，4，5，6｝S3：｛f∣a＜f＜b｝S4：｛v∣c＜f＜d｝S5：｛红色，白色｝S6：｛(H，H)，(H，T)，(T，H)，(T，T)｝1/11/20238东南大学3.事件之间的关系和运算1/11/20239东南大学1/11/202310东南大学若：E中的基本事件有有限个，或可列无限个，则E中的任何一个事件均可表示为若干个基本事件的和。

所有的基本事件的和是必然事件，记为S：S=A1+A2+…+An另有：1/11/202311东南大学三、频率与概率

1.

频率频率是某一随机变量出现可能性的数字表示。若随机事件A在n次试验中出现nA次，则频率fn为：1/11/202312东南大学频率的性质0≤fn(A)≤1fn(S)＝1若A、B互不相容（AB=φ），则

fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)频率有稳定性：当n→∞时，有fn(A)≈P(A)

即概率的统计意义。

1/11/202313东南大学2.

概率对于每一个事件A有：0≤P(A)≤1，P(S)＝1，对于两两互不相容的事件Ak（k＝1,2,…）有

P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An);

P(A1∪A2∪…∪An∪…)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…设E是随机试验，S是样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。它满足下列条件：此即为概率的公理化定义。已证:当n→∞时，fn(A)＝P(A)1/11/202314东南大学概率的性质：1/11/202315东南大学四古典概率（等可能概型）试验的样本空间的基本事件有有限个（n个）：A1，A2，A3，…，An

每个基本事件的发生是等可能的

1.定义：则称这样的随机试验为等可能概型若随机试验E满足下列条件：1/11/202316东南大学古典概率的性质1/11/202317东南大学例题1.口试考场设有50张考签，编号为1,2,…,50，学生任取一张来回答问题，问取到第5号签的概率是多少？取到前5号签的概率又是多少？〔解〕

假定事件A为取到第5号签

假定事件B为取到前5号签1/11/202318东南大学5号考签代表有1个基本事件，即m＝1，所以：P(A)＝m/n＝1／50＝0.02前5号签代表有5个基本事件，即m＝5，所以：P(B)＝m/n＝5／50＝0.1答：（略）基本事件共有50个，即n＝501/11/202319东南大学2.

有产品100件，正品95件，次品5件。从中任取5个检验。若规定发现一个次品就拒收，求拒收的概率。〔解〕假定事件A为产品被接受，事件B为被拒收。（从100件产品中抽取了5件）基本事件的总数n＝C5

100（从95件正品中抽取了5件）A中所包含的事件总数m＝C595

1/11/202320东南大学所以，产品被接收的概率为：P(A)＝m/n＝0.77则被拒收的概率为：P(B)＝1－0.77＝0.23答：（略）又，

P(B)＝1－P(A)1/11/202321东南大学3.从一批由97块正品、3块次品组成的预制钢筋混凝土桥面板中任取4块，试求：其中有且仅有一块次品的概率。

〔解〕假定A为4块板中有且仅有一块次品的事件。所以，抽取3块正品、1块次品的抽法共有：C397×C13＝442320（种）抽取4块板，其中有3块正品的抽法C397，另一块是次品的抽法有C13种。1/11/202322东南大学基本事件共有C4100个故，P(A)＝C397×C13／C4100答：（略）1/11/202323东南大学4.一个口袋装有6只乒乓球，其中有4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次取一只。分两种情况：(a)放回抽样，(b)不放回抽样。求：(1)取到两只白球的概率，(2)取到两只相同颜色球的概率，(3)取到的球中至少有一白球的概率。〔解〕

设样本空间为S，事件A、B分别为取到的两只球都是白球和红球的概率，事件C为取到的两只球中至少有一只是白球。那么，取到同色球的概率为A∪B。1/11/202324东南大学(a)放回抽样取两球共有取法C16×C16种，它即是S中元素的总数。取两只白球共有取法C14×C14种，它即是事件A中所包含的元素总数。同理，C12×C12即是事件B中所包含的元素总数。(1)P(A)＝C14×C14／C16×C16＝0.444P(B)＝C12×C12／C16×C16＝0.1111/11/202325东南大学(2)由于AB＝，得

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.556(3)又由于P（C）＝1－P(B)，得

P（C）＝1－P(B)＝0.889样本空间S中元素的总数为C16×C15。(b)不放回抽样取两只白球共有取法C14×C13种，它即是事件A中所包含的元素总数。1/11/202326东南大学同理，C12×C11即是事件B中所包含的元素总数。(1)P(A)＝C14×C13／C16×C15＝0.4P(B)＝C12×C11／C16×C15＝0.067(2)由于AB＝，得

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.467(3)又由于P（C）＝1－P(B)，得

P（C）＝1－P(B)＝0.9331/11/202327东南大学5.

在1～2000中随机取一整数，问取到的整数不能被6或8除尽的概率是多少？〔解〕设A为事件“取到被6除尽的数”，B为事件“取到被8除尽的数”，则所求概率为P＝1－P(A∪B)＝1－〔P(A)＋P(B)－P(AB)〕因为

333<2000/6<334故得

P(A)＝333/2000由于

2000/8＝250故得

P(B)＝333/20001/11/202328东南大学又由于一个数同时被6和8除尽就相当于被24除尽，而

83<2000/24<84故得

P(AB)＝83/2000所以，所求概率为

P＝1－〔P(A)＋P(B)－P(AB)〕＝3/41/11/202329东南大学6.

现欲将15名新生平均分配到三个班级中，这15人中有三人为优秀生。问(1)每一个班级中各分配到一名优秀生的概率是多少？(2)三名优秀生分配到同一个班级中的概率是多少？〔解〕15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为

C515×C510×

C55每一个班级中各分配到一名优秀生的分法总数为

C13×C12×C11

1/11/202330东南大学其余12名新生平均分配到三个班级中的分法总数为C412×C48×C44所以，每一个班级中各分配到一名优秀生的分法总数为〔C13×C12×C11〕×〔C412×C48×C44〕(1)每一个班级中各分配到一名优秀生的概率为

P＝〔C13×C12×C11〕×〔C412×C48×C44〕/〔C515×C510×

C55〕＝0.2747(2)三名优秀生分配到同一个班级中的分法总数为C131/11/202331东南大学其余12名新生分法（一个班2名，另两个班各5名）总数为

C212×C510×C55所以，三名优秀生分配到同一个班级中的概率为P＝

C13×〔C212×C510×C55〕/〔C515×C510×

C55〕＝0.06591/11/202332东南大学

古典概型定义的推广：

对随机试验的基本事件为无穷多个的情形，概率的定义可以推广为：若试验的某种数量特征来表示总和，设为S（样本空间）；其中，随机事件A可用相同的数量特征s来表示。则随机事件A的概率为：1/11/202333东南大学甲、乙两个人相约某一段时间T内在预定地点会面。先到的人应等候另一个人，经过时间t（t<T）后方可离开。求甲、乙两个人会面的概率。假定，他们在时间T内的任一时刻到达预定地点是等可能的。例题两人会面的必要条件是：|x－y|t即右图中阴影部分。则有：1/11/202334东南大学五．条件概率

设A、B为两个随机变量，在A发生的条件下B发生的概率P（B/A）为：1.条件概率1/11/202335东南大学研究一个简单的例子：设有产品10只，其中3只次品,从中抽取2只，作不放回抽样。问第一次抽到次品后再取到次品的概率是多少？设事件A为“第一次取到次品”，设事件B为“第二次取到次品”。显然有：P(A)＝C13/C110。第一次取走一只次品后，只剩9只产品，其中2只次品。这时再作第二次抽样，B发生的概率为C12/C19=2/9。因为这是在A已经发生的条件下求B发生的概率，故称它为A发生的条件下B发生的条件概率，记为：P(B/A)，即P(B/A)＝2/9〔解〕1/11/202336东南大学现在我们再来求P(B)可见P(B/A)≠P(B)1/11/202337东南大学计算P(B/A)的方法：在S的缩减样本空间SA中计算B发生的概率P(B/A)在样本空间S中，计算P(AB)和P(A)后，有：概率的乘法定律：设P(A)>0，则有P(AB)=P(B/A)×P(A)1/11/202338东南大学2.全概率公式BiBk=φ（i≠k）B1∪B2∪…∪Bn＝S1）样本空间的一个划分（完备事件组）设S为随机试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若有:定义：则称B1，B2，…Bn为样本空间S的一个划分1/11/202339东南大学2)全概率公式P(A)＝P(A/B1)•P(B1)＋P(A/B2)•P(B2)＋…＋P(A/Bn)•P(Bn)

设随机试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…Bn为样本空间S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则有全概率公式如下：1/11/202340东南大学1/11/202341东南大学例题

设有一箱同类型产品由三家工厂所生产，第一家生产了1/2的产品，其余两厂各生产了1/4，已知第一、第二两厂的次品率为2%，第三家工厂的次品率为4%。现从此箱中任取一件产品，问拿到次品的概率是多少？〔解〕样本空间S＝｛箱中全部产品｝，设事件A＝｛取到的产品是次品｝，Bi＝｛取到的产品属于第I家工厂｝（i＝1,2,3）1/11/202342东南大学B1、B2、B3为S的一个划分，且有P(Bi)>0，P(B1)＝1/2，P(B2)＝1/4，P(B3)＝1/4又已知：P(A|B1)＝2/100，P(A|B2)＝2/100，P(A|B3)＝4/100由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)×P(B1)＋P(A|B2)×P(B2)＋P(A|B3)×P(B3)＝0.0251/11/202343东南大学3)贝叶斯（Bayes）公式设B1，B2，…Bn为样本空间S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n)。对于任意一个事件A，P(A)>0,有：贝叶斯公式

1/11/202344东南大学例题根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有现在对一大批人进行癌症普查，设被试验的人种患有癌症的比率为0.005，即P(c)＝0.005,试求P(C︱A)1/11/202345东南大学〔解〕因为由贝叶斯（Bayes）公式

＝0.0871/11/202346东南大学六、独立性一般情况下：P(B/A)≠P(B)，即A的发生对B发生的概率是有影响的。若：P(B/A)＝P(B)，则A,B互不影响。定义

1设A,B是二事件，若满足：P(AB)＝P(A)P(B)则称A，B为互相独立的事件。1/11/202347东南大学定理：设A,B为二事件，且P(A)>0，若A,B互相独立，则，P(B/A)=P(B)，反之亦然。推广：

设A，B，C是三事件，若满足：P(AB)＝P(A)P(B)

P(AC)＝P(A)P(C)

P(BC)＝P(B)P(C)则称A，B，C为两两互相独立的事件。1/11/202348东南大学定义2设A，B，C是三事件，若满足：P(AB)＝P(A)P(B)P(AC)＝P(A)P(C)P(BC)＝P(B)P(C)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)则称A，B，C为互相独立的事件。1/11/202349东南大学定义3设A1，A2，…，An是n个事件，如果对于任意k(1<k<n)，任意1<i1<i2<i3<…<ik<n,若满足：则称A1，A2，…，Ak为互相独立的事件上述等式个数为C2n+C3n+…+Cnn＝2n-n-1P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)1/11/202350东南大学例题系统Ⅰ和系统Ⅱ1/11/202351东南大学对于元件，它能正常工作的概率p叫这个元件的可靠性。由元件组成的系统，它能正常工作的概率叫做系统的可靠性。设构成系统的每个元件的可靠性均为r（0<r<1），且个元件能否正常工作是相互独立的。设以2n个元件按照下面二种不同的联接方式构成二个系统，试求它们的可靠性。并比较二个系统可靠性的大小。〔解〕先讨论系统Ⅰ。

1/11/202352东南大学由于各条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各个元件都能正常工作，故每条通路的可靠性为：

Rc=rn通路发生故障的概率为1-rn。由于系统是由二条通路并联组成的，二条通路同时发生故障的概率为（1-rn）2，因此，系统Ⅰ可靠性为：

Rs＝1－（1－rn）2＝Rc（2－Rc）注意到：Rc<1，故有Rs>Rc，这表明增加一条通路能使系统的可靠性增加。1/11/202353东南大学对于系统Ⅱ,每对并联元件的可靠性为：

R’=1-(1-r)2=r(2-r)由于系统是由各对并联元件串联组成的，因此系统Ⅱ可靠性为：

Rs’＝(R’)n＝rn（2-r）n＝Rc(2-r)n

显然，Rs’>Rc。因此用附加元件的方法也同样能增加系统的可靠性。

上面两个系统都是由2n个可靠性相同的元件组成的，用数学归纳法可以证明Rs’>Rs,因此系统Ⅱ比系统Ⅰ的可靠性来得大。1/11/202354东南大学总结随机现象随机试验和样本空间频率与概率古典概率（等可能概型）条件概率独立性1/11/202355东南大学2.2随机变量及其分布随机变量离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量1/11/202356东南大学一、随机变量抛硬币试验

X(e)是定义在样本空间S＝｛e｝上的函数函数X(e)的取值是随机的称X(e)为随机变量。1/11/202357东南大学定义：设E是随机试验，其样本空间是S＝{e}，如果对于每一个eS有一个实数x(e)和它对应，这样就得到一个定义在S上的实值单值函数x(e)，称x(e)为随机变量。随机变量与函数的区别：

定义域对应法则值域随机变量函数样本空间实数轴事件f不可预知唯一确定的值1/11/202358东南大学二、离散型随机变量1.定义：随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限个。2.概率分布设离散型随机变量X所有可能取的值为Xk（k＝1,2,…），X取各个可能值的概率，即事件｛X＝Xk｝的概率为：1/11/202359东南大学P｛X＝Xk｝＝pk，

k＝1，2，…，称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。由概率的定义知，pk满足如下二条件：另外，分布律还可用表格或用图的形式来表示。1/11/202360东南大学3.（0-1）分布设随机变量X只可能取0和1二个值，它的概率分布是：P｛X＝1｝＝p，P｛X＝0｝＝1-p0<p<1则称这种分布为（0-1）分布。它也可以用右图的形式来表示：1/11/202361东南大学4.二项分布1）独立试验序列

将试验E重复进行n次，事件A发生与否，其概率在每次试验中与其它试验结果无关，即事件A在各次试验中的概率P(A)是相同的，则称这样的一系列试验为独立试验序列。2）贝努利试验将一个具有（0-1）分布的随机试验独立地进行n次，则称这一串试验为n重贝努利试验。1/11/202362东南大学事件A恰发生k次（0≤k≤n）的概率为：

Pn（k）＝Cnkpkqn－k

以X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则X是一随机变量，其取值范围为0,1,2,…,n，且有：

P=｛x＝k｝＝Pn（k）＝Cnkpkqn－k

其中，k＝1,2,…n称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为：

X～B(n，p)1/11/202363东南大学3)泊松定理与泊松分布设随机变量Xn（n＝1，2，…）服从参数为n，p的二项分布，其分布律为：P｛xn＝k｝＝Cnkpnk（1-p）n－k，

k＝1,2,…n

当n很大，p很小时，设n•p＝λ〉0是常数(n=1,2,…n)则有：泊松定理：1/11/202364东南大学泊松分布设随机变量X的所有可能取的值为0,1,2,…,n，其取各个值的概率为：k＝1,2,…n

其中，λ>0是常数，则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记为：

X～π（λ）1/11/202365东南大学例子1.某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次，试求击中目标的次数大于等于2的概率。〔解〕

将每次射击看成是一次试验。设击中的次数为X，则X服从参数为n＝400，p＝0.02的二项分布，其分布律为P{X＝k}＝Ck4000.02k（0.98)400-k，k＝0,1,…,4001/11/202366东南大学于是所求概率为P(X2)

1－〔P｛x＝0｝＋P｛x＝1｝〕

1-〔（0.98）400＋400（0.02）（0.98）399〕

1－e－8－8e－8＝0.997这个概率很接近1。说明一个小事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但只要试验次数很多，且试验是独立地进行的，这一事件的发生是肯定的。即决不能轻视小概率事件。1/11/202367东南大学2.为了保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人，现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都为0.01，假设一台设备的故障可由一个人来处理，问：a）至少需配备多少工人才能保证设备发生故障时，不能及时维修的概率小于0.01。b）若由一人负责维修20台设备，求设备发生故障而不能及时处理的概率。若由3人共同负责维修80台呢？1/11/202368东南大学〔解〕

设需要配备n人，同一时刻发生故障的设备数为x,那么，

X～B（300，0.01）a）要求出n，使P｛xn｝0.01由泊松定理（＝np＝3）1/11/202369东南大学查表后可得到n＝8，即需配备8个工人。b）即要求P｛x2｝这里n＝20，＝np＝0.2，所以若3人负责80台，则所求概率为1/11/202370东南大学三、随机变量的分布函数1.定义设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数：F(x)＝P(Xx)称为X的分布函数。1/11/202371东南大学2.性质10Ｆ(ｘ)１，且：Ｆ(－∞)＝０,Ｆ(∞)＝120对于任意x1,x2(x1<x2)有：

P(x1xx2)=P(xx2)-P(xx1)=F(x2)-F(x1)30由２０可知，Ｆ（ｘ）是一个非减函数40Ｆ(ｘ＋０)＝Ｆ(ｘ)，即Ｆ(x)是右连续的。1/11/202372东南大学四、连续型随机变量1.定义对于一个随机变量Ｘ的分布函数F(x)，若存在非负的函数f(x),使对于任意实数ｘ有：则Ｘ是连续型的随机变量，其中函数f(x)称为Ｘ的概率密度函数，简称为概率密度。1/11/202373东南大学2.性质概率密度函数f(x)具有以下性质：推论：P(X=x)=01/11/202374东南大学1/11/202375东南大学3.均匀分布设连续型随机变量ｘ在有限区间(a,b)内取值，且其概率密度为：则称ｘ在区间(a,b)上服从均匀分布1/11/202376东南大学对于任一长度为ｌ的子区间(c,c+l)，a≤c<c+l≤b，有说明ｘ落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。1/11/202377东南大学服从均匀分布的随机变量ｘ的分布函数为例设电阻Ｒ均匀分布在900欧～1100欧，求Ｒ落在950欧～1050欧的概率。〔解〕1/11/202378东南大学4.(负)指数分布（1）定义：则X为服从参数为α的指数分布（2）它为典型的寿命分布。1/11/202379东南大学5.正态分布则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布。记为：X～N(，2)或X～N(，)（1）定义：1/11/202380东南大学（2）性质①曲线关于x＝μ对称，说明对任意h>0有(见下图)：P｛μ－h<X≤μ｝＝P｛μ<X≤μ+h｝1/11/202381东南大学②当x＝μ时取到最大值：X离μ越远，f(x)的值越小。这表明对于同样长度的区间，当区间离μ越远，X落在这个区间上的概率越小（如右图）。1/11/202382东南大学③在x±μ处曲线有拐点，曲线以Ox轴为渐近线。④如果固定σ，改变μ的值，则f(x)的图形将沿着Ox轴平移，而不改变形状（见下图），可见正态分布的概率密度y＝f(x)的位置完全由μ所确定。1/11/202383东南大学如果固定μ，改变σ的值，则当σ的值越小f(x)的图形越尖，因而X落在μ附近的概率越大。见下图。1/11/202384东南大学（3）标准正态分布当μ＝0，σ＝1，称x服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示：1/11/202385东南大学（4）一般正态分布可化为

标准正态形式。1/11/202386东南大学(5)a.100α百分位点标准正态随机变量x~N(0,1)，若Zα满足：P{X>Zα}=α，0＜α＜1则称Zα为标准正态分布的上100α百分位点。见右图。

1/11/202387东南大学b.双侧100α百分位点称Zα/2为标准正态分布的双侧100α百分位点。

若：1/11/202388东南大学2.3随机变量的数字特征

一、数学期望1.定义1/11/202389东南大学例：1)一车间检验员每天随机抽n个零件来检验，查出的废品件数X是一个随机变量，若查了N天，出现废品为0,1,…,n个的天数分别为0,1,…,n,那么，N天废品的总数为，N天出现废品的算数平均为k/N为出现k个废品的频率，若pk是出现k个废品的概率，则随机变量X的算数平均接近于1/11/202390东南大学2)设在ox轴上分布着连续质量，其线密度为f(x)，由于所以，数学期望或均值E(x)就表示质量中心的坐标。1/11/202391东南大学2性质（1）若C为常数，则有E（C）＝C（2）设X为随机变量，C为常数，则有：E（CX）＝CE(X)表示常数可以提到括号外面。说明非随机变量（常数）的数学期望就等于其自身。（3）E（X＋C）＝E(X)＋C（4）E（CX＋b）＝CE(X)＋b1/11/202392东南大学3.随机变量的函数y=g(x)的期望：1/11/202393东南大学例：例：在N个人中抽血普查某种疾病，可用两种方法进行，(1)将每个人的血都化验，即化验N次。(2)按k个人一组进行分组，把从k个人抽的血混在一起进行化验，若混合血呈阴性，就说明k个人的血都呈阴性，k个人只化验一次；若混合血呈阳性，则须再对这k个人分别进行化验，这样k个人要化验k+1次。假定对所有人来说试验呈阳性的概率都是p，试说明k取什么值最好，并说明第二种方案可以减少化验次数。1/11/202394东南大学〔解〕

个人的血呈阴性反应的概率为q＝1-p，因而k个人混合血成阴性反应的概率为qk，混合血呈阳性的概率为1-qk设以k个人为一组时，组内每人化验的次数为X，则X是一个随机变量，其分布律为1/11/202395东南大学X的数学期望为所以N个人平均须化验的次数为由此知道，只要选择k使那么第二种方案就能减少化验次数。我们选取k使上式取到最小值，此时对应的k最好，也即是最好的分组方法。1/11/202396东南大学如p＝0.1，则能求得k＝4最好，此时若N＝1000，则按第二种方案平均只需化验这样可以减少40%的工作量。1/11/202397东南大学二、方差1/11/202398东南大学例：设随机变量X具有（0-1)分布，其分布律为

P{X=1}＝p，P{X=0}＝q求D(X)〔解〕

E(X)＝1×P＋0×q

＝pE(X2)＝12×p＋02×q＝pD(X)＝E(X2)－〔E(X)〕2＝pq1/11/202399东南大学2.设随机变量X具有概率密度求D(X)〔解〕1/11/2023100东南大学3性质（1）若C为常数，则D（C）＝0（3）随机变量X与常数C的代数和的方差就等于X的方差，即：D（X±C）＝D(X)（2）常数提到方差符号外面时必须加平方：（4）D（X）＝0的充要条件是X依概率1取常数C，即：P｛X＝C｝＝1D（CX）＝E〔CX－E（CX）〕2＝E〔CX－CE（X）〕2＝C2E〔X-E(X)〕＝

C2D(X)1/11/2023101东南大学4.标准差及变异系数(1)标准差(均方差)：

(2)变异系数：

5.契比雪夫不等式：

随机变量X:E(X)，D(X)均有限：

1/11/2023102东南大学2.4结构可靠度中常用的概率分布1，均匀分布设连续型随机变量X在有限区间（a，b）其概率密度为：则称X在区间（a，b）上服从均匀分布。X的数学期望为：E（X）＝（a＋b）/2X的方差为：D（X）＝1/12（a＋b）21/11/2023103东南大学2，正态分布若X属于正态分布，即X～N(，2)。X的数字特征：期望：E(X)＝μ方差：D（X）＝2

1/11/2023104东南大学3，对数正态分布设连续型随机变量X，如果其对数lnX服从正态分布，则称X服从对数正态分布。其概率密度为：X在区间（a,b)取值的概率可以换算成标准正态分布利用查表可得：1/11/2023105东南大学从上式可知，概率即为参数｛λ和ξ｝的函数。这些参数与随机变量X的均值和方差有如下关系：1/11/2023106东南大学3，指数分布其均值和方差为：概率密度：1/11/2023107东南大学4，极值分布设连续型随机变量X，其概率密度为：-∞<x<∞则称X为服从参数为α，β的极值Ⅰ型分布。其期望和方差分别为：1/11/2023108东南大学1/11/2023109东南大学同样，也可以用E(X)及σ来表示α和β：1/11/2023110东南大学5，泊松分布随机变量X～（）（k＝0,1,…,n）其均值和方差为：1/11/2023111东南大学2.5多维随机变量及其分布二维随机变量二维随机变量函数的分布多维随机变量的数字特征1/11/2023112东南大学一、二维随机变量二维随机变量的分布函数

1）定义：二维随机变量的分布函数或称联合分布函数F(x,y)＝P｛Xx，Yy｝2）性质：10P｛x1Xx2，y1Yy2｝＝F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)1/11/2023113东南大学1/11/2023114东南大学1/11/2023115东南大学1/11/2023116东南大学2.二维离散型随机变量定义如果二维随机变量（x,y）的所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称（x,y）是离散型随机变量。P{X=xi,Y=yj}＝pij（i,j＝1,2,...）为二维离散型随机变量（x,y）的概率分布或分布律，也称为随机变量x和y的联合分布律。1/11/2023117东南大学3.二维连续型随机变量1）定义对于二维随机变量（x,y）的分布函数F(x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)，使对于任意实数x,y有则称（x,y）是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(x,y)的概率密度。1/11/2023118东南大学2）概率密度f(x,y)的性质1/11/2023119东南大学3）推广设X1＝X1(e),…,Xn＝Xn(e)是定义在样本空间S上的随机变量，则向量(X1,X2,…Xn)叫做n维随机变量或随机向量。F(x1,x2,…,xn)＝P{X1x1,X2x2,…,Xnxn}称为n维随机变量的(X1,X2,…Xn)的分布函数或联合分布函数。1/11/2023120东南大学4.边缘分布二维随机变量(x,y)作为一个整体，具有分布函数F(x,y)。X和Y也都是随机变量，分别有分布函数Fx(x),Fy(y)，依次被称为二维随机变量(x,y)关于X和Y的边缘分布函数。同理：FY(y)＝F(＋,y)1/11/2023121东南大学对于离散型随机变量：X和Y的分布律分别为1/11/2023122东南大学对于连续型随机变量：X和Y的概率密度分别为单由边缘分布一般不能确定联合分布1/11/2023123东南大学5.条件分布离散型随机变量：

对于固定的j，若P{Y=yj}>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。对于固定的i，若P{X=xi}>0，则称为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。1/11/2023124东南大学连续型随机变量：对于任意固定的正数，P{y-<Yy+}>0，若极限存在，则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数，写成P{Xx|Y=y}或FX|Y(x|y)。1/11/2023125东南大学若记fX|Y(x|y)为在条件Y=y下X的条件概率密度，则完全类似地可以定义1/11/2023126东南大学6.独立性定义：设F(x,y)及FX(x)，FY(y)分别是二维随机变量(x,y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有则称随机变量X和Y是相互独立的。1/11/2023127东南大学对离散型随机变量有：对连续型随机变量有：1/11/2023128东南大学二、二维随机变量函数的分布设（X,Y）的概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y的分布函数为：化成累次积分：将上式对Z求导，得到Z的概率密度：两个随机变量之和的分布1/11/2023129东南大学积分区域G：x+yz是直线x+y=z左边的半平面注意：x＝z－y1/11/2023130东南大学由X,Y的对称性，fz(z)又可以写成：(1)和(2)式是两个随机变量和的概率密度的一般公式。特别地，当X和Y互相独立时，对于所有x,y有代入(1)和(2)两式得到：1/11/2023131东南大学这两个公式称为卷积公式，记为fX*fY，即：注意：若fX(x)，fY(y)在(-,+)上都大于0，好算。若fX(x)，fY(y)至少有一个不是在(-,+)上都大于0，难算。1/11/2023132东南大学例：设X和Y是两个相互独立的随机变量，X~N（μ1，σ12），Y~N（μ2，σ22），试求Z＝X+Y的密度函数。〔解〕1/11/2023133东南大学推广：若Xk～N(μk，σk2)，k＝1,2,…n独立，各个Ck为常数。比如：设－构件的抗力R，荷载S相互独立，且R～N(μR，σR2)，S～N(μS，σS2)。则：Z＝R-S～N(μR－μS，σR2＋σR2)1/11/2023134东南大学2.随机变量的函数Z=g(X,Y)的分布设（X,Y）的概率密度为f(x,y)，则Z=g(X,Y)的分布函数为：注意：关键在于找出积分区域g(x,y)ｚ。1/11/2023135东南大学1.已知：X,Y相互独立，且都具有（0,σ2）分布，即：求的分布函数。例：1/11/2023136东南大学〔解〕由于X,Y相互独立，所以当ｚ<０时，因Z是非负的，故FZ(z)＝０当ｚ０时，积分区域是以原点为中心，ｚ为半径的圆域。采用极坐标变换：x＝rcos，y＝rsin，得1/11/2023137东南大学于是Z的分布函数为称Z服从参数为(>0)的瑞利分布。1/11/2023138东南大学2.设X,Y相互独立，且都服从区间(0,a)上的均匀分布，试求Z=X/Y的分布函数和密度函数。〔解〕故1/11/2023139东南大学于是有当z<0时，FZ(z)＝0当0z<1时，由上图a)得1/11/2023140东南大学当z1时，由上图b)得所以1/11/2023141东南大学3.M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X,Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y)。现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y）的分布函数。由于M=max(X,Y）不大于z等价于X和Y都不大于z，故：P｛M≤z｝＝P{X≤z，Y≤z}又由于X和Y相互独立，得到M=max(X,Y）的分布函数为：1/11/2023142东南大学Fmax(z)＝P｛M≤z｝＝P{X≤z，Y≤z}＝P{X≤z｝P{Y≤z}即有：Fmax(z)＝FX(z)FY(z)类似地，可得到N=min(X,Y）的分布函数为：Fmin(z)＝P｛N≤z｝＝1-P｛N>z｝=1-P{X>z，Y>z}＝1-P{X>z｝P{Y>z}即有：Fmin(z)＝1-[(1-FX(z))][1-FY(z)]1/11/2023143东南大学以上结论推广到n个随机变量的情况：设X1,X2,…,Xn,是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX1(x1),FX2(x2),…FXn(xn)。则M=max(X1,X2,…Xn)及N=min(X1,X2,…Xn)的分布函数分别为：Fmax(z)＝FX1(z)FX2(z)，…FXn(z),Fmin(z)＝1-[1-FX1(z)][1-FX2(z)]…[1-FXn(z)]1/11/2023144东南大学例：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2组成，它们联接的发生分别为（1）串联，（2）并联，（3）备用（当系统L1损坏时，系统L2开始工作。如图.已知L1,L2的寿命分别为X,Y，概率密度分别为：1/11/2023145东南大学〔解〕其中α>0,β>0,且β≠α，就以上三中联接方式写出L的寿命Z的概率密度。（ⅰ）串联的情况：这时，L的寿命为：Z=min(X,Y）。由(1)，(2)两式X,Y的分布函数为：1/11/2023146东南大学则Z=min(X,Y）的分布函数为：于是Z＝min（X,Y)的概率密度为：（ⅱ）并联的情况：这时，L的寿命为：Z=max(X,Y），其分布函数为：1/11/2023147东南大学于是Z=max(X,Y）的概率密度为：1/11/2023148东南大学（ⅲ）备用的情况：这时，整个系统L的寿命为L1和L2的和：Z=X＋Y按前述，当z>0时Z=X＋Y的概率密度为：1/11/2023149东南大学当z<0时Z=X＋Y的概率密度为：1/11/2023150东南大学三、多维随机变量的数字特征1.期望1/11/2023151东南大学2.方差D(X+Y)＝E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}证明：1/11/2023152东南大学其中又X,Y相互独立，即E(XY)＝E(X)E(Y)所以D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)1/11/2023153东南大学3.g(x,y)的期望4.协方差和相关系数1/11/2023154东南大学5.性质D(X±Y)＝D(X)＋D(Y)±2Cov（X，Y）(X,Y独立：D(X±Y)＝D(X)＋D(Y))Cov（X，Y）＝2Cov（Y，X）Cov（aX，bY）＝abCov（X，Y）Cov（X1＋X2，Y）＝Cov（X1，Y）＋2Cov（X2，Y）定理：设xy是随机变量X与Y的相关系数则有1/11/2023155东南大学当X和Y相互独立时，Cov(X,Y)＝0于是xy＝0。当xy＝0时，称X和Y是不相关的。所以当X和Y相互独立时，它们必定不相关；但是当X和Y不相关时，X和Y不一定相互独立。1/11/2023156东南大学6.矩定义设X和Y是随机变量，若分别存在，称它们分别为X的k阶原点矩和k阶中心矩。1/11/2023157东南大学显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是二阶中心矩，协方差Cov（X,Y）是X,Y的二阶中心混合矩。1/11/2023158东南大学2.6大数定理和中心极限定理1.大数定理X1,X2,…,Xn相互独立，μ，σ相同，且定理21/11/2023159东南大学1.中心极限定理定理1X1,X2,…,Xn独立，均值、方差分别为μi，σi2～N(0,1)1/11/2023160东南大学定理2（李雅普诺夫Liapunov）定理设随机变量X1,X2,…Xn,…相互独立，它们具有有限的数学期望和方差：E(Xk)＝μk，D(XK)＝σk2≠0（k＝1,2,…）若存在正数δ，使得当n→∞时1/11/2023161东南大学则随机变量的分布函数Fn（x）对于任意x，满足1/11/2023162东南大学上述定理表明，随机变量当n很大时，近似服从标准正态分布N（0,1）。由此，当n很大时，1/11/2023163东南大学这就是说，无论各个随机变量Xk（k＝1,2,…）具有怎样的分布，只要满足定理的条件，那么它们的和。当n很大时，就近似服从标准正态分布。1/11/2023164东南大学定理3随机变量ηn（n＝1,2,…）服从二项分布B(n,p)，那么有：1/11/2023165东南大学2.7数理统计基础知识一、一般概念1母体、个体和样本母体(总体)：研究对象的全体，常指X取值的全体个体：组成母体的每个元素，常指X的取值（实数）样本：从母体中抽取出来的用来进行观测和试验的部分个体。抽样：从母体中抽取样本。1/11/2023166东南大学简单随机抽样：抽取的样本相互独立，且与母体同分布简单:抽一个后。再抽下一个时，母体性质不变随机：所有个体等概率被抽取设X为具有分布函数F的随机变量，若X1,X2,…,Xn为具有同一分布函数F的相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，它们的观测值x1,x2,…xn又称为X的n个独立的观查值。1/11/2023167东南大学设有总体X的n个独立的观察值，按大小次序可排成1/11/2023168东南大学定理因此，当n很大时，样本分布函数Fn(x)实际上将近似的等于总体的分布函数。这就是我们用样本来推断总体的依据。1/11/2023169东南大学2.统计量和样本矩统计量：X1,X2,…Xn为母体X的容量为n的样本，若函数g(x1,x2,…xn)中不包含任何未知参数，则称g(x1,x2,…xn)为一个统计量。常用统计量：1/11/2023170东南大学二、抽样分布1.样本均值的分布统计量的分布又称为抽样分布。

2.2分布设X～N(0,1)，X1,X2,…Xn为母体X的容量为n的样本，且1/11/2023171东南大学称2为服从参数为n的2分布，记为2～2(n)2(n)分布的概率密度为1/11/2023172东南大学1/11/2023173东南大学2分布的性质：1)可加性2)若X1,X2,…Xn为正态母体N(，2)的一个样本，样本均值和样本方差分别为1/11/2023174东南大学1/11/2023175东南大学

3.t分布设X～N(0,1)，Y～2(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量t分布的概率密度为1/11/2023176东南大学f(t)为偶函数，E(t)＝0D(t)＝n/（n－2）1/11/2023177东南大学1/11/2023178东南大学定理1、设X1,X2,…Xn为正态总体N(，2)的一个样本，则定理的来源：1/11/2023179东南大学定理2、设X1,X2,…Xn1和Y1,Y2,…,Yn2分别是从正态总体N(1，2)和N(2，2)中抽取的样本，S12和S22分别是这两个样本的样本方差，它们相互独立，则定理的来源：当改进X～N(1，2)为Y～N(2，2)以后，会用到如比较1和2的大小的问题1/11/2023180东南大学

4.F分布设U～2(n1)，V～2(n2)，且U与V相互独立，则称随机变量F分布的概率密度为1/11/2023181东南大学F分布的上100百分位点F(n1,n2)是指满足1/11/2023182东南大学F(n,n)的数学期望和方差分别为1/11/2023183东南大学三、参数估计得到了一组样本观察值x1,x2,…,xn，就会想到用这组数据来估计总体参数的值，称为参数的点估计问题。设为总体X的待估计的参数，一般用样本X1,X2,…,Xn构成的一个统计量来估计，称它为的估计量。1/11/2023184东南大学1.矩法：用样本的数字特征来估计总体的数字特征2.顺序统计量：估计量由样本实现按大小次序排列而得样本中位数：1/11/2023185东南大学常用样本中位数来估计总体均值，即样本极差R：R=max(x1,x2,…,xn)－min(x1,x2,…,xn)它是衡量总体离散度的一个尺度。当n大时，不太准确，故当n大于10时，可将数据分成个数相等的组并求出各组的R后，取平均值作为最终的R，再查表得系数dn后即可估计。1/11/2023186东南大学3.最大似然估计法主要思想：如果在一次观察中，一个事件出现了，可认为此事出现的可能性很大。母体的概率密度为f(x,θ)，样本x1…xn的联合概率密度为称为似然函数，若存在，使得则为θ的一个最大似然估计。如果L关于θ可微，将似然函数对θ求导并令等于零即可求得其最大似然估计，即：1/11/2023187东南大学因为L和lnL在同一θ值处取得极值，将似然函数的对数对θ求导并令等于零有时更加方便，即：最大似然估计法也可适用于分布中含有多个未知参数1,…k的情况。这时，似然函数是这些参数的函数，令lnL（或L）关于这些参数的偏导数等于0，即可解得为θi的最大似然估计，即1/11/2023188东南大学